VEKTORY VO VESMÍRE: AKO GRAFOVAŤ, APLIKÁCIE, CVIČENIA - FYZICKÝ - 2026

Vektor v priestore je všetko, čo reprezentovaný súradnicovom systéme danej x, y a z. Najčastejšie je rovinou xy vodorovná povrchová rovina a os z predstavuje výšku (alebo hĺbku).

Karteziánske súradnicové osi znázornené na obrázku 1 rozdeľujú priestor na 8 oblastí nazývaných oktanty, analogicky tomu, ako osi x - y delia túto rovinu na 4 kvadranty. Potom budeme mať 1. Octant, 2. Octant a tak ďalej.

Obrázok 1. Vektor vo vesmíre. Zdroj: vlastný.

Obrázok 1 obsahuje vyobrazenie vektora v v priestore. Určitá perspektíva je potrebná na vytvorenie ilúzie troch rozmerov v rovine obrazovky, čo sa dosiahne nakreslením šikmého pohľadu.

Na graf 3D vektoru je potrebné použiť bodkované čiary, ktoré určujú na mriežke súradnice projekcie alebo „tieňa“ v na xy povrchu. Táto projekcia začína na O a končí na zelenom bode.

Keď tam už je, musíte pokračovať v zvislej polohe do potrebnej výšky (alebo hĺbky) podľa hodnoty z, až kým nedosiahnete P. Vektor sa nakreslí počnúc od O až po P, čo je v príklade 1. oktant.

aplikácia

Vektory vo vesmíre sa široko používajú v mechanike a iných odvetviach fyziky a techniky, pretože štruktúry, ktoré nás obklopujú, vyžadujú geometriu v troch rozmeroch.

Polohové vektory v priestore sa používajú na polohovanie objektov vzhľadom na referenčný bod nazývaný OR pôvod, a preto sú tiež nevyhnutnými nástrojmi v navigácii, ale to nie je všetko.

Sily pôsobiace na štruktúry, ako sú svorníky, konzoly, káble, vzpery a ďalšie, sú svojou povahou vektorové a orientované v priestore. Aby bolo možné poznať jeho účinok, je potrebné poznať jeho adresu (a tiež miesto jej použitia).

Smer sily je často známy tým, že pozná dva body v priestore, ktoré patria k jej línii pôsobenia. Takto je sila:

F = F u

Kde F je veľkosť alebo veľkosť sily a u je jednotkový vektor (modul 1) smeruje pozdĺž línii pôsobenia F .

Zápis a reprezentácia vektorov 3D

Než budeme pokračovať v riešení niektorých príkladov, krátko preskúmame 3D vektorový zápis.

V príklade na obrázku 1 má vektor v, ktorého východiskový bod sa zhoduje s počiatočným O a ktorého koncom je bod P, kladné súradnice xyz, zatiaľ čo súradnica y je záporná. Týmito súradnicami sú: x ₁ , y ₁ , z ₁ , ktoré sú presne súradnicami P.

Takže ak máme vektor spojený s pôvodom, to znamená, ktorého počiatočný bod sa zhoduje s O, je veľmi ľahké určiť jeho súradnice, ktoré budú súradnicami extrémneho bodu alebo P. Na rozlíšenie medzi bodom a vektorom použijeme posledné tučné písmená a zátvorky, ako je tento:

v = <x ₁ , y ₁ , z ₁ >

Zatiaľ čo bod P je označený v zátvorkách:

P = (x ₁ , y ₁ , z ₁ )

Ďalšie znázornenie využíva jednotkové vektory i , j a k, ktoré definujú tri smery priestoru na osi x, y a z.

Tieto vektory sú navzájom kolmé a tvoria ortorormálny základ (pozri obrázok 2). To znamená, že trojrozmerný vektor je možné písať ako:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Uhly a režisér Cosines vektora

Obrázok 2 tiež ukazuje, že riaditeľ uhly y ₁ , γ ₂ a γ ₃ , že vektor V je v tomto poradí s x, y a z osi. Znalosť týchto uhlov a veľkosti vektora je úplne určená. Kosiny režisérskych uhlov sa navyše stretávajú s týmto vzťahom:

(Cos y ₁ ) ² + (cos y ₂ ) ² + (cos γ ₃ ) ² = 1

Obrázok 2. Jednotkové vektory i, j a k určujú 3 preferenčné smery priestoru. Zdroj: vlastný.

Riešené cvičenia

- Cvičenie 1

Na obrázku 2 sú uhly y ₁ , γ ₂ a γ _3, že vektor v module pružnosti 50 formy s osami súradníc sú v tomto poradí: 75.0º, 60.0º a 34.3º. Nájdite karteziánske komponenty tohto vektora a reprezentujte ho v jednotkových vektoroch i , j a k .

Riešenie

Projekcia vektora v na os _x je v _x = 50. cos 75º = 12 941. Rovnakým spôsobom projekcia v na osi y je v _y = 50 cos 60 ° = 25 a nakoniec na osi z je v _z = 50 cos 34,3 ° = 41,3. Teraz v možno vyjadriť ako:

v = 12,9 i + 25,0 j + 41,3 k

- Cvičenie 2

Nájdite napätie v každom z káblov, ktoré držia vedro na obrázku, ktorý je v rovnováhe, ak je jeho hmotnosť 30 N.

Obrázok 3. Stresový diagram cvičenia 2.

Riešenie

Na vedra, voľný tela diagram ukazuje, že T _D (zelená) kompenzuje hmotnosť W (žltý), teda T _D = W = 30 N.

V uzla, je vektor T _D smeruje zvislo smerom dole a potom:

T _D = 30 (- k ) N.

Ak chcete zistiť zvyšné napätie, postupujte takto:

Krok 1: Nájdite súradnice všetkých bodov

A = (4,5,0,3) (A je v rovine steny xz)

B = (1,5,0,0) (B je na osi x)

C = (0, 2,5, 3) (C je v rovine steny a z)

D = (1,5, 1,5, 0) (D je v horizontálnej rovine xy)

Krok 2: Nájdite vektory v každom smere odpočítaním súradníc konca a začiatku

DA = <3; -1,5; 3>

DC = <-1,5; jedna; 3>

DB = <0; -1,5; 0>

Krok 3: Vypočítajte moduly a jednotkové vektory

Jednotkový vektor sa získa expresiou: u = r / r, pričom r (tučným písmom) je vektor a r (nie tučným písmom) je modul uvedeného vektora.

DA = (3 ² + (-1,5) ² + 3 ² ) ^pol = 4,5; DC = ((-1,5) ² + 1 ² + 3 ² ) ^½ = 3,5

u _DA = <3; -1,5; 3> 4,5 = <0,67; -0,33; 0,67>

u _DC = <-1,5; jedna; 3> 3,5 = <-0,43; 0,29; 0,86>

u _DB = <0; onu; 0>

u _D = <0; 0; -1>

Krok 4: Vyjadrite všetky napätia ako vektory

T _DA = T _DA u _DA = T _DA <0,67; -0,33; 0,67>

T _DC = T _DC u _{DC =} T _DC <-0,43; 0,29; 0,86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0; onu; 0>

T _D = 30 <0; 0; -1>

Krok 5: Použite podmienky statickej rovnováhy a vyriešte systém rovníc

Nakoniec sa podmienka statickej rovnováhy aplikuje na vedro, takže súčet vektorov všetkých síl v uzle je nula:

T _DA + T _DC + T _DB + T _D = 0

Pretože napätia sú v priestore, výsledkom bude systém troch rovníc pre každú zložku (x, y a z) napätí.

0,67 T _DA -0,43 T _DC + 0 T _DB = 0

-0,33 T _DA + 0,29 T _DC - T _DB = 0

0,67 T _DA + 0,86 T _DC + 0 T _DB - 30 = 0

Roztok je: T _DA = 14,9 N; T _DA = 23,3 N; T _DB = 1,82 N

Referencie

1. Bedford, 2000. A. Inžinierska mechanika: Statika. Addison Wesley. 38-52.
2. Figueroa, D. Séria: Fyzika pre vedu a techniku. Zväzok 1. Kinematika 31-68.
3. Fyzický. Modul 8: Vektory. Získané z: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mechanika pre inžinierov. statický 6. vydanie. Spoločnosť Continental Publishing. 15-53.
5. Kalkulačka sčítania vektorov. Obnovené z: 1728.org