- Ako dostať normálny vektor do lietadla?
- Normálny vektor z vektorového produktu
- príklad
- Riešenie
- Výpočet vektorového produktu
- Rovnica roviny
- Referencie
Normálový vektor je ten, ktorý definuje smer kolmý k nejakej geometrický objekt uvažovanom, ktorý môže byť podľa krivky, lietadlom alebo povrch, napríklad.
Je to veľmi užitočný koncept pri polohovaní pohybujúcej sa častice alebo nejakého povrchu v priestore. V nasledujúcom grafe je možné vidieť, aký je normálny vektor k ľubovoľnej krivke C:
Obrázok 1. Krivka C s vektorom kolmým na krivku v bode P. Zdroj: Svjo
Zoberme si bod P na krivke C. Bod môže predstavovať pohybujúcu sa časticu, ktorá sa pohybuje pozdĺž cesty v tvare C. Tangentná čiara k krivke v bode P je nakreslená červenou farbou.
Všimnite si, že vektor T sa dotýka bodu C v každom bode, zatiaľ čo vektor N je kolmý na T a ukazuje na stred imaginárneho kruhu, ktorého oblúk je segmentom C. Vektory sú v tlačenom texte označené tučným písmom pre odlíšiť ich od iných ne vektorových množstiev.
Vektor T vždy indikuje, kde sa častica pohybuje, a preto označuje rýchlosť častice. Na druhej strane vektor N vždy ukazuje v smere, v ktorom sa častica otáča, čím indikuje konkávnosť krivky C.
Ako dostať normálny vektor do lietadla?
Normálny vektor nemusí byť nevyhnutne jednotkovým vektorom, to znamená vektorom, ktorého modul je 1, ale ak je to tak, nazýva sa normálny jednotkový vektor.
Obrázok 2. Vľavo rovina P a dva vektory kolmé na uvedenú rovinu. Na pravej strane jednotky vektory v troch smeroch, ktoré určujú priestor. Zdroj: Wikimedia Commons. Pozri autorskú stránku
V mnohých aplikáciách je potrebné poznať vektor normálny k rovine, nie krivku. Tento vektor odhaľuje orientáciu tejto roviny v priestore. Zoberme si napríklad rovinu P (žltá) obrázku:
K dispozícii sú dva normálne vektory k tejto rovine: n 1 a n 2 . Použitie jedného alebo druhého závisí od kontextu, v ktorom sa uvedená rovina nachádza. Získanie normálneho vektora do roviny je veľmi jednoduché, ak je známa rovnica roviny:
Tu je vektor N vyjadrený ako kolmý jednotkový vektor i , j a k , nasmerovaný pozdĺž troch smerov, ktoré určujú priestor xyz, viď obrázok 2 vpravo.
Normálny vektor z vektorového produktu
Veľmi jednoduchý postup na nájdenie normálneho vektora využíva vlastnosti vektorového produktu medzi dvoma vektormi.
Ako je známe, tri rôzne body, ktoré nie sú kolineárne, určujú rovinu P. Teraz je možné získať dva vektory u a v, ktoré patria do uvedenej roviny, ktorá má tieto tri body.
Po získaní vektorov je vektorovým produktom u x v operácia, ktorej výsledkom je zase vektor, ktorý má tú vlastnosť, že je kolmý na rovinu určenú pomocou u a v .
Tento vektor, ktorý je známy týmto vektorom, je označený ako N a z ktorého bude možné určiť rovnicu rovnice vďaka rovnici uvedenej v predchádzajúcej časti:
N = u x v
Nasledujúci obrázok ilustruje opísaný postup:
Obrázok 3. S dvoma vektormi a ich vektorovým produktom alebo krížikom sa stanoví rovnica roviny, ktorá obsahuje dva vektory. Zdroj: Wikimedia Commons. Nebol poskytnutý žiadny strojovo čitateľný autor. Predpokladá sa M. Romero Schmidtke (na základe nárokov z autorských práv).
príklad
Nájdite rovnicu roviny určenú bodmi A (2,1,3); B (0,1,1); C (4.2.1).
Riešenie
Toto cvičenie ilustruje vyššie opísaný postup. Tým, že majú 3 body, je jeden z nich vybraný ako spoločný pôvod dvoch vektorov, ktoré patria do roviny definovanej týmito bodmi. Napríklad bod A sa nastaví ako začiatok a skonštruujú sa vektory AB a AC .
Vektor AB je vektor, ktorého pôvod je bod A a ktorého koncový bod je bod B. Súradnice vektora AB sa určujú odčítaním súradníc B od súradníc A:
Rovnakým spôsobom nájdeme vektor AC :
Výpočet vektorového produktu
Existuje niekoľko postupov na nájdenie krížového produktu medzi dvoma vektormi. Tento príklad používa mnemonickú procedúru, ktorá používa nasledujúci obrázok na nájdenie vektorových produktov medzi jednotkovými vektormi i , j a k:
Obrázok 4. Graf na určenie vektorového produktu medzi jednotkovými vektormi. Zdroj: vlastný.
Na začiatok je dobré si uvedomiť, že vektorové produkty medzi paralelnými vektormi sú preto nulové:
i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0
A keďže vektorový produkt je ďalší vektor kolmý na zúčastnené vektory, pohybujúce sa v smere červenej šípky, máme:
Ak sa musíte pohybovať opačným smerom ako šípka, pridajte znak (-):
Celkovo je možné vyrobiť 9 vektorových produktov s jednotkovými vektormi i , j a k , z ktorých 3 budú nulové.
AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k ) x (2 i + j -2 k ) = -4 ( i x i ) -2 ( i x j ) +4 ( i x k ) +0 ( j x i ) + 0 ( j x j ) - 0 ( j x k ) - 4 ( k x i ) -2 ( k x j ) + 4 ( k x k ) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k
Rovnica roviny
Vektor N bol určený predtým vypočítaným produktom vektora:
N = 2 i -8 j -2 k
Preto a = 2, b = -8, c = -2, hľadaná rovina je:
Hodnota d zostáva určiť. Je to ľahké, ak hodnoty ktoréhokoľvek z dostupných bodov A, B alebo C sú nahradené v rovnici roviny. Napríklad možnosť C:
x = 4; y = 2; z = 1
Zvyšky:
Stručne povedané, hľadaná mapa je:
Zvedavý čitateľ sa môže pýtať, či by sa dosiahol rovnaký výsledok, ak by sme sa namiesto toho, aby sme robili AB x AC , rozhodli urobiť AC x AB. Odpoveď je áno, rovina určená týmito tromi bodmi je jedinečná a má dva normálne vektory, ako je znázornené na obrázku 2.
Pokiaľ ide o bod vybraný ako pôvod vektorov, nie je problém pri výbere ktoréhokoľvek z ďalších dvoch.
Referencie
- Figueroa, D. (2005). Séria: Fyzika pre vedu a techniku. Zväzok 1. Kinematika. Editoval Douglas Figueroa (USB). 31-62.
- Nájdenie normálu k rovine. Obnovené z: web.ma.utexas.edu.
- Larson, R. (1986). Výpočet a analytická geometria. Mc Graw Hill. 616-647.
- Línie a roviny v R 3. Získané z: math.harvard.edu.
- Normálny vektor. Obnovené z mathworld.wolfram.com.