VEKTOR RIADITEĽA: ROVNICA PRIAMKY, RIEŠENÉ CVIČENIA - FYZICKÝ - 2026

Pod vektorom režiséra sa rozumie taký vektor, ktorý definuje smer priamky, buď v rovine, alebo v priestore. Vektor, ktorý je rovnobežný s čiarou, sa preto môže považovať za smerovací vektor.

Je to možné vďaka axiómu euklidovskej geometrie, podľa ktorého dva body definujú čiaru. Potom orientovaný segment tvorený týmito dvoma bodmi tiež definuje riadiaci vektor uvedenej línie.

Obrázok 1. Vektor riaditeľa čiary. (Vlastné spracovanie)

Vzhľadom na bod P, ktorý patrí k priamke (L) a vzhľadom na riadiaci vektor u tejto priamky, je priamka úplne určená.

Rovnica čiary a vektora riaditeľa

Obrázok 2. Rovnica priamky a vektora riaditeľa. (Vlastné spracovanie)

Vzhľadom na bod P súradníc P: (Xo, I) a vektor u riaditeľa priamky (L) musí každý bod Q súradníc Q: (X, Y) vyhovovať skutočnosti, že vektor PQ je rovnobežný s u. Táto posledná podmienka je zaručená, ak je PQ úmerná u :

PQ = t⋅ u

vo vyššie uvedenom výraze t je parameter, ktorý patrí k reálnym číslam.

Ak sa zapíšu karteziánske zložky PQ a u , vyššie uvedená rovnica sa zapíše takto:

(X-Xo, Y-Yo) = ti (a, b)

Ak sú zložky vektorovej rovnosti vyrovnané, získa sa táto dvojica rovníc:

X - Xo = a⋅ty Y - I = b⋅t

Parametrická rovnica priamky

Súradnice X a Y bodu, ktorý patrí k priamke (L), ktorá prechádza súradnicovým bodom (Xo, Yo) a je rovnobežná s vektorom režiséra u = (a, b), sa určujú priradením reálnych hodnôt premennému parametra t:

{X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t}

Príklad 1

Aby sme ilustrovali význam parametrickej rovnice priamky, berieme ako smerovací vektor

u = (a, b) = (2, -1)

a ako známy bod čiary bod

P = (Xo, I) = (1, 5).

Parametrická rovnica priamky je:

{X = 1 + 2 + t; Y = 5 - 1 t; -∞

Na ilustráciu významu tejto rovnice je znázornený obrázok 3, kde parameter t mení svoju hodnotu a bod Q súradníc (X, Y) zaujíma rôzne polohy na priamke.

Obrázok 3. PQ = t u. (Vlastné spracovanie)

Čiara vo vektorovej podobe

Vzhľadom na bod P na priamke a jej riadiaci vektor u možno rovnicu priamky písať vo vektorovej podobe:

OQ = OP + ⋅⋅ u

Vo vyššie uvedenej rovnici je Q akýkoľvek bod, ktorý však patrí k priamke a λ je skutočné číslo.

Vektorová rovnica priamky je použiteľná pre ľubovoľný počet rozmerov, dokonca je možné definovať hyperlinku.

V trojrozmernom prípade pre riadiaci vektor u = (a, b, c) a bod P = (Xo, Yo, Zo) súradnice všeobecného bodu Q = (X, Y, Z), ktorý patrí k priamke, sú: :

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + X (a, b, c)

Príklad 2

Znovu zvážte čiaru, ktorá má ako smerovací vektor

u = (a, b) = (2, -1)

a ako známy bod čiary bod

P = (Xo, I) = (1, 5).

Vektorová rovnica uvedenej línie je:

(X, Y) = (1,5) + A (2, -1)

Nepretržitá forma čiary a vektor režiséra

Vychádzajúc z parametrického tvaru, zúčtovania a porovnávania parametra λ, máme:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

Toto je symetrická forma rovnice priamky. Všimnite si, že a, bac sú zložkami vektora režiséra.

Príklad 3

Zvážte čiaru, ktorá má ako smerovací vektor

u = (a, b) = (2, -1)

a ako známy bod čiary bod

P = (Xo, I) = (1, 5). Nájdite jeho symetrický tvar.

Symetrická alebo súvislá forma čiary je:

(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)

Všeobecná forma rovnice priamky

Všeobecný tvar priamky v rovine XY je známy ako rovnica, ktorá má nasledujúcu štruktúru:

A⋅X + B⋅Y = C

Výraz pre symetrickú formu možno prepísať tak, aby mal všeobecnú podobu:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

v porovnaní so všeobecným tvarom línie je to:

A = b, B = -a a C = b = Xo - a⋅Yo

Príklad 3

Nájdite všeobecnú podobu čiary, ktorej vektor režiséra je u = (2, -1)

a to prechádza bodom P = (1, 5).

Na nájdenie všeobecnej formy môžeme použiť dané vzorce, ale zvolí sa alternatívna cesta.

Najprv nájdeme duálny vektor w riadiaceho vektora u, definovaný ako vektor získaný výmenou komponentov u a vynásobením druhého koeficientom -1:

w = (-1, -2)

duálny vektor w zodpovedá 90 ° rotácii hlavného vektora v smere hodinových ručičiek .

Skalárne sa vynásobíme w (X, Y) a (Xo, Yo) a nastavíme rovné:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11

zostávajúce nakoniec:

X + 2R = 11

Štandardný tvar rovnice priamky

Je známy ako štandardný tvar priamky v rovine XY, ktorý má nasledujúcu štruktúru:

Y = m + X + d

kde m predstavuje sklon ad d priesečník s osou Y.

Vzhľadom na smerový vektor u = (a, b) je sklon m b / a.

Yd sa získa nahradením X a Y známym bodom Xo, I:

I = (b / a) Xo + d.

Stručne povedané, m = b / a ad = I - (b / a) Xo

Všimnite si, že sklon m je kvocient medzi komponentom y vektora režiséra a jeho zložkou x.

Príklad 4

Nájdite štandardný tvar čiary, ktorej vektor režiséra je u = (2, -1)

a to prechádza bodom P = (1, 5).

m = - 1 a d = 5 - (- 1) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

Riešené cvičenia

- Cvičenie 1

Nájdite riadiaci vektor priamky (L), ktorá je priesečníkom roviny (Π): X - Y + Z = 3 a roviny (Ω): 2X + Y = 1.

Potom napíšte súvislú formu rovnice priamky (L).

Riešenie

Z rovnice roviny (Ω) vôle Y: Y = 1 - 2 x

Potom nahradíme v rovnici roviny (Π):

X - (1 - 2X) + Z = 3 x 3X + Z = 4 = Z = 4 - 3X

Potom parametrizujeme X, zvolíme parametrizáciu X = λ

To znamená, že priamka má vektorovú rovnicu danú:

(X, Y, Z) = (A, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

ktoré možno prepísať ako:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + A (1, -2, -3)

s ktorým je zrejmé, že vektor u = (1, -2, -3) je smerovacím vektorom línie (L).

Nepretržitá forma čiary (L) je:

(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

- Cvičenie 2

Vzhľadom na rovinu 5X + Y + 4Z = 5

a priamka, ktorej rovnica je X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

Určte hodnotu takého, aby rovina a čiara boli rovnobežné.

Riešenie 2

Vektor n = (5, a, 4) je vektor kolmý na rovinu.

Vektor u = (1, 3, -2) je smerovacím vektorom čiary.

Ak je čiara rovnobežná s rovinou, potom n • v = 0.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

Referencie

1. Fleming, W., a Varberg, DE (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. (2006). Lineárna algebra. Pearson Education.
3. Leal, JM, a Viloria, NG (2005). Analytická geometria roviny. Mérida - Venezuela: Editorial Editorial Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vektory. Obnovené z: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
6. Prenowitz, W. 2012. Základné pojmy geometrie. Rowman a Littlefield.
7. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.