SPOJITÁ PREMENNÁ: VLASTNOSTI, PRÍKLADY A CVIČENIA - FYZICKÝ - 2026

Kontinuálne premenná je ten, ktorý môže mať nekonečný počet číselných hodnôt medzi dvoma danými hodnotami, aj keď sú tieto dve hodnoty sú ľubovoľne blízko. Používajú sa na opis merateľných atribútov; napríklad výška a hmotnosť. Hodnoty, ktoré berie spojitá premenná, môžu byť racionálne čísla, reálne čísla alebo komplexné čísla, aj keď posledný prípad je v štatistike menej častý.

Hlavnou charakteristikou spojitých premenných je to, že medzi dvoma racionálnymi alebo reálnymi hodnotami sa vždy nájde iná, a medzi druhou a prvou ďalšou sa dá nájsť, a tak ďalej.

Obrázok 1. Krivka predstavuje plynulé rozdelenie a tyče sú diskrétne. Zdroj: pixabay

Napríklad predpokladajme, že variabilná hmotnosť je v skupine, kde najťažšia váži 95 kg a najnižšia váži 48 kg; to by bol rozsah premennej a počet možných hodnôt je nekonečný.

Napríklad medzi 50,00 kg a 50,10 kg môže byť 50,01. Opatrenie 50.005 však môže byť medzi 50,00 a 50,01. To je nepretržitá premenná. Na druhej strane, ak by sa pri možných meraniach hmotnosti stanovila presnosť jedného desatinného miesta, potom by použitá premenná bola diskrétna.

Nepretržité premenné patria do kategórie kvantitatívnych premenných, pretože s nimi súvisí číselná hodnota. S touto číselnou hodnotou je možné vykonávať matematické operácie v rozsahu od aritmetických po nekonečno metódu výpočtu.

Príklady

Väčšina z premenných vo fyzike sú spojité premenné, medzi ktoré môžeme pomenovať: dĺžka, čas, rýchlosť, zrýchlenie, energia, teplota a ďalšie.

Spojité premenné a diskrétne premenné

V štatistike je možné definovať rôzne typy premenných, kvalitatívnych aj kvantitatívnych. Spojité premenné patria do druhej kategórie. S nimi je možné vykonávať aritmetické a výpočtové operácie.

Napríklad premenná h, ktorá zodpovedá ľuďom s výškou medzi 1,50 ma 1,95 m, je spojitá premenná.

Porovnajme túto premennú s touto premennou: koľkokrát minca vyhodí mince, ktoré nazývame n.

Premenná n môže mať hodnoty medzi 0 a nekonečnom, avšak n nie je spojitá premenná, pretože nemôže mať hodnotu 1,3 alebo 1,5, pretože medzi hodnotami 1 a 2 nie je žiadna iná. Toto je príklad diskrétnej premennej.

Cvičenie s kontinuálnymi premennými

Zoberme si nasledujúci príklad: stroj vyrába zápalky a balí ich do svojej krabice. Definujú sa dve štatistické premenné:

Nominálna dĺžka zápasu je 5,0 cm s toleranciou 0,1 cm. Počet zápasov v škatuli je 50 s toleranciou 3.

a) Označte rozsah hodnôt, ktoré môžu mať L a N.

b) Koľko hodnôt môže mať L?

c) Koľko hodnôt môže n niesť?

V každom prípade uveďte, či ide o diskrétnu alebo spojitú premennú.

Riešenie

Hodnoty L sú v rozsahu; to znamená, že hodnota L je v intervale a premenná L môže medzi týmito dvoma meraniami uskutočňovať nekonečné hodnoty. Je to teda spojitá premenná.

Hodnota premennej n je v intervale. Premenná n môže v intervale tolerancie brať iba 6 možných hodnôt, potom je to diskrétna premenná.

Cvičenie

Ak okrem kontinuálnych hodnôt majú hodnoty prevzaté premennou určitú pravdepodobnosť výskytu, je to spojitá náhodná premenná. Je veľmi dôležité rozlišovať, či je premenná diskrétna alebo spojitá, pretože pravdepodobnostné modely použiteľné pre jeden a druhý sa líšia.

Nepretržitá náhodná premenná je úplne definovaná, keď sú známe hodnoty, ktoré môže predpokladať, a pravdepodobnosť, že sa každá z nich stane.

- Cvičenie 1 pravdepodobností

Zápasník ich robí takým spôsobom, že dĺžka palíc je vždy medzi hodnotami 4,9 cm a 5,1 cm a nula mimo týchto hodnôt. Pravdepodobne je možné získať palicu, ktorá meria medzi 5,00 a 5,05 cm, hoci by sme mohli vyťažiť aj jednu z 5 0003 cm. Sú tieto hodnoty rovnako pravdepodobné?

Riešenie

Predpokladajme, že hustota pravdepodobnosti je jednotná. Pravdepodobnosť nájdenia zhody s určitou dĺžkou je uvedená nižšie:

- To, že zhoda je v rozsahu, má pravdepodobnosť = 1 (alebo 100%), pretože stroj nevyťahuje zhody mimo týchto hodnôt.

- Po zhode, ktorá je medzi 4,9 a 5,0, je pravdepodobnosť = ½ = 0,5 (50%), pretože je polovica rozsahu dĺžok.

- Pravdepodobnosť, že zápas má dĺžku medzi 5,0 a 5,1, je tiež 0,5 (50%)

- Je známe, že neexistujú žiadne zápalky, ktoré majú dĺžku medzi 5,0 a 5,2. Pravdepodobnosť: nula (0%).

Pravdepodobnosť nájdenia špáradla v určitom rozsahu

Pozrime sa teraz na nasledujúce pravdepodobnosti P pri získavaní palíc, ktorých dĺžka je medzi ₁ a ₂ :

-P, že zhoda má dĺžku medzi 5,00 a 5,05, sa označuje ako P ():

-P, že kopec má dĺžku medzi 5,00 a 5,01, je:

- P, že kopec má dĺžku medzi 5 000 a 5 001, je ešte menší:

Ak stále znižujeme interval, aby sme sa priblížili a priblížili k 5,00, pravdepodobnosť, že špáradlo je presne 5,00 cm, je nula (0%). Máme pravdepodobnosť nájdenia zhody v určitom rozsahu.

Pravdepodobnosť nájdenia viacerých špáradiel v danom rozsahu

Ak sú udalosti nezávislé, pravdepodobnosť, že dve špáradlá sú v určitom rozsahu, je výsledkom ich pravdepodobností.

- Pravdepodobnosť, že dve paličky sú medzi 5,0 a 5,1, je 0,5 x 0,5 = 0,25 (0,25%)

- Pravdepodobnosť, že 50 špáradiel je medzi 5,0 a 5,1, je (0,5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16, to znamená takmer nula.

- Pravdepodobnosť, že 50 špáradiel je medzi 4,9 a 5,1, je (1) ^ 50 = 1 (100%)

- Cvičenie 2 pravdepodobností

V predchádzajúcom príklade sa predpokladalo, že pravdepodobnosť je v danom intervale jednotná, nie je to však vždy tak.

V prípade skutočného stroja, ktorý vyrába špáradlá, je pravdepodobnosť, že sa špáradlo nachádza v strednej hodnote, väčšia ako v jednej z extrémnych hodnôt. Z matematického hľadiska je to modelované funkciou f (x) známou ako hustota pravdepodobnosti.

Pravdepodobnosť, že miera L je medzi aab je vypočítaná pomocou určitého integrálu funkcie f (x) medzi aab.

Predpokladajme napríklad, že chceme nájsť funkciu f (x), ktorá predstavuje rovnomerné rozdelenie medzi hodnoty 4,9 a 5,1 z cvičenia 1.

Ak je rozdelenie pravdepodobnosti rovnomerné, potom sa f (x) rovná konštante c, ktorá sa stanoví pomocou integrálu medzi 4,9 a 5,1 z c. Pretože tento integrál je pravdepodobnosť, výsledok musí byť 1.

Obrázok 2. Jednotná hustota pravdepodobnosti. (Vlastné spracovanie)

Čo znamená, že c má hodnotu 1 / 0,2 = 5. To znamená, že funkcia rovnomernej hustoty pravdepodobnosti je f (x) = {5, ak je 4.9,9xx5,1 a 0 mimo tohto rozsahu. Jednotná funkcia hustoty pravdepodobnosti je znázornená na obrázku 2.

Všimnite si, ako je v intervaloch rovnakej šírky (napríklad 0,02) pravdepodobnosť rovnaká v strede ako na konci rozsahu spojitej premennej L (dĺžka špáradla).

Realistickejší model by bol funkciou hustoty pravdepodobnosti, ako je táto:

Obrázok 3. Nejednotná funkcia hustoty pravdepodobnosti. (Vlastné spracovanie)

Na obrázku 3 je možné vidieť, ako je pravdepodobnosť nájdenia špáradiel medzi 4,99 a 5,01 (šírka 0,02) väčšia ako pravdepodobnosť nájdenia špáradiel medzi 4,90 a 4,92 (šírka 0,02).

Referencie

1. Dinov, Ivo. Diskrétne náhodné premenné a pravdepodobnostné rozdelenie. Zdroj: stat.ucla.edu
2. Diskrétne a spojité náhodné premenné. Zdroj: ocw.mit.edu
3. Diskrétne náhodné premenné a pravdepodobnostné rozdelenie. Zdroj: homepage.divms.uiowa.edu
4. H. Pishro. Úvod do pravdepodobnosti. Obnovené z: pravdepodobnosť course.com
5. Mendenhall, W. 1978. Štatistika pre riadenie a ekonomiku. Grupo Editorial Iberoamericana. 103-106.
6. Problémy s náhodnými premennými a modely pravdepodobnosti. Získané z: ugr.es.
7. Wikipedia. Spojitá premenná. Obnovené z wikipedia.com
8. Wikipedia. Štatistická premenná. Obnovené z wikipedia.com.