TROJUHOLNÍKY: HISTÓRIA, PRVKY, KLASIFIKÁCIA, VLASTNOSTI - VEDA - 2026

Tieto trojuholníky sú ploché a uzavreté geometrické obrazce, ktorý sa skladá z troch strán. Trojuholník je určený tromi čiarami, ktoré sa pretínajú dvoma dvoma, pričom navzájom vytvárajú tri uhly. Trojuholníkový tvar plný symboliky je prítomný v nespočetných objektoch a ako konštrukčný prvok.

Pôvod trojuholníka je v histórii stratený. Z archeologických dôkazov je známe, že to primitívne ľudstvo dobre vedelo, pretože archeologické zvyšky potvrdzujú, že sa používalo v nástrojoch a zbraniach.

Obrázok 1. Trojuholníky. Zdroj: Publicdomainictures.

Je tiež zrejmé, že starí Egypťania mali dobrú znalosť geometrie a najmä trojuholníkového tvaru. Odrážali sa v architektonických prvkoch jeho monumentálnych budov.

V Rhind papyrus nájdete vzorce na výpočet oblastí trojuholníkov a lichobežníkov, ako aj niektoré objemy a ďalšie koncepcie základnej trigonometrie.

Čo sa ich týka, je známe, že Babylončania boli schopní vypočítať plochu trojuholníka a ďalšie geometrické útvary, ktoré použili na praktické účely, napríklad rozdelenie krajiny. Boli tiež oboznámení s mnohými vlastnosťami trojuholníkov.

Sú to však starí Gréci, ktorí systematizovali mnohé geometrické koncepty, ktoré dnes prevládajú, hoci väčšina týchto znalostí nebola exkluzívna, pretože ich určite zdieľali s ostatnými starými civilizáciami.

Prvky trojuholníka

Prvky ľubovoľného trojuholníka sú uvedené na nasledujúcom obrázku. Existujú tri: vrcholy, boky a uhly.

Obrázok 2. Zápis trojuholníkov a ich prvkov. Zdroj: Wikimedia Commons, modifikovaný F. Zapatou

- Otvory : sú priesečníky čiar, ktorých segmenty určujú trojuholník. Napríklad na obrázku vyššie priamka L _AC, ktorá obsahuje segment AC, pretína priamku L _AB, ktorá obsahuje segment AB, presne v bode A.

- Strany : medzi každou dvojicou vrcholov sa nakreslí čiara, ktorá predstavuje jednu stranu trojuholníka. Tento segment môže byť označený koncovými písmenami alebo pomocou špecifického písmena na jeho označenie. V príklade na obrázku 2 sa strana AB nazýva aj „c“.

- Uhly : Medzi každou stranou so spoločným vrcholom vzniká uhol, ktorého vrchol sa zhoduje s vrcholom trojuholníka. Všeobecne je tento uhol označený gréckym listom, ako bolo uvedené na začiatku.

Ak chcete vytvoriť konkrétny trojuholník s daným tvarom a veľkosťou, stačí mať jeden z nasledujúcich súborov údajov:

- Tri strany, celkom zrejmé v prípade trojuholníka.

- Dve strany a uhol medzi nimi a okamžite sa nakreslí zostávajúca strana.

- Dva (vnútorné) uhly a strana medzi nimi. Po predĺžení sa dve chýbajúce strany nakreslia a trojuholník je pripravený.

symboly

Vo všeobecnosti sa pri zápise do trojuholníka používajú tieto konvencie: vrcholy sa označujú veľkými písmenami latinky, strany malými písmenami latinčiny a uhly gréckym písmom (pozri obrázok 2).

Týmto spôsobom je trojuholník pomenovaný podľa svojich vrcholov. Napríklad trojuholník vľavo na obrázku 2 je trojuholník ABC a trojuholník vpravo je trojuholník A'B'C '.

Je tiež možné použiť iné zápisy; napríklad uhol a na obrázku 2 je označený ako BAC. Všimnite si, že písmeno vrcholu je v strede a písmená sú napísané proti smeru hodinových ručičiek.

Inokedy sa na označenie uhla používa karietka:

a = ∠A

Druhy trojuholníkov

Existuje niekoľko kritérií na klasifikáciu trojuholníkov. Najbežnejšou vecou je ich klasifikácia podľa miery ich strán alebo podľa miery ich uhlov. V závislosti od miery ich strán môžu byť trojuholníky: stupnice, rovnoramenné alebo rovnostranné:

-Scaleno : jeho tri strany sú rôzne.

-Jednoduché : má dve rovnaké strany a jednu odlišnú stranu.

- Efilátero : tri strany sú si rovné.

Obrázok 3. Klasifikácia trojuholníkov podľa ich strán. Zdroj: F. Zapata

Podľa miery ich uhlov sú trojuholníky pomenované takto:

- prekážka , ak je jeden z vnútorných uhlov väčší ako 90 °.

- Akútny uhol , keď sú tri vnútorné uhly trojuholníka ostré, tj menšie ako 90 °

- Obdĺžnik , v prípade, že jeden z jeho vnútorných uhlov má hodnotu 90 °. Strany, ktoré tvoria 90 °, sa nazývajú nohy a strana opačná k pravému uhlu je prepona.

Obrázok 4. Klasifikácia trojuholníkov podľa ich vnútorných uhlov. Zdroj: F. Zapata.

Zhoda trojuholníkov

Ak majú dva trojuholníky rovnaký tvar a sú rovnakej veľkosti, hovorí sa, že sú zhodné. Zhoda sa samozrejme spája s rovnosťou, tak prečo hovorí geometria o „dvoch zhodných trojuholníkoch“ namiesto „dvoch rovnakých trojuholníkov“?

Namiesto toho sa uprednostňuje použitie výrazu „kongruencia“, aby sa držala pravdy, pretože dva trojuholníky môžu mať rovnaký tvar a veľkosť, ale môžu byť v rovine orientované odlišne (pozri obrázok 3). Z hľadiska geometrie by už viac neboli rovnaké.

Obrázok 5. Zhodné trojuholníky, ale nie nevyhnutne rovnaké, pretože ich orientácia v rovine je odlišná. Zdroj: F. Zapata.

Kritériá zhody

Dva trojuholníky sú zhodné, ak sa vyskytne niečo z nasledujúceho:

- Tri strany merajú to isté (opäť je to najzreteľnejšie).

- Majú medzi sebou dve rovnaké strany as rovnakým uhlom.

- Majú dva rovnaké vnútorné uhly a strana medzi týmito uhlami meria to isté.

Ako vidno, jedná sa o dva trojuholníky, ktoré spĺňajú potrebné podmienky, takže keď sú postavené, ich tvar a veľkosť sú úplne rovnaké.

Kritériá zhody sú veľmi užitočné, pretože v praxi musí byť nespočetné množstvo kusov a mechanických častí vyrábaných v sérii tak, aby ich rozmery a tvar boli presne rovnaké.

Podobnosť trojuholníkov

Trojuholník je podobný druhému, ak má rovnaký tvar, aj keď má inú veľkosť. Aby sa zabezpečil rovnaký tvar, vyžaduje sa, aby vnútorné uhly mali rovnakú hodnotu a aby strany boli úmerné.

Obrázok 6. Dva podobné trojuholníky: ich veľkosť sa líši, ale ich rozmery sú rovnaké. Zdroj: F. Zapata.

Trojuholníky na obrázku 2 sú tiež podobné, ako na obrázku 6. Týmto spôsobom:

Pokiaľ ide o strany, platia tieto ukazovatele podobnosti:

vlastnosti

Základné vlastnosti trojuholníkov sú tieto:

- Súčet vnútorných uhlov každého trojuholníka je vždy 180 °.

- Pre každý trojuholník je súčet jeho vonkajších uhlov rovný 360 °.

- Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch vnútorných uhlov, ktoré nesusedia s uvedeným uhlom.

vety

Thalesova prvá veta

Pripisujú ich grécky filozof a matematik Thales of Miletus, ktorý vyvinul niekoľko teorémov týkajúcich sa geometrie. Prvý z nich uvádza:

Obrázok 7. Thalesova veta. Zdroj: F. Zapata.

Inými slovami:

a / a´ = b / b´ = c / c´

Thalesova prvá veta sa dá použiť na trojuholník, napríklad máme naľavo modrý trojuholník ABC, ktorý je napravo odrezaný červenými rovnobežkami:

Obrázok 8. Thalesova veta a podobné trojuholníky.

Fialový trojuholník AB'C 'je podobný modrému trojuholníku ABC, preto podľa Thalesovej vety možno písať toto:

AB´ / AC´ = AB / AC

A je to v súlade s tým, čo už bolo vysvetlené v segmente podobnosti trojuholníkov. Mimochodom, paralelné čiary môžu byť tiež vertikálne alebo rovnobežné s preponou a podobné trojuholníky sa získavajú rovnakým spôsobom.

Thalesova druhá veta

Táto veta sa vzťahuje aj na trojuholník a kružnicu so stredom O, ako sú uvedené nižšie. Na tomto obrázku je AC priemer obvodu a B je na ňom bod, B sa líši od A a B.

Thalesova druhá veta uvádza, že:

Obrázok 9. Thalesova druhá veta. Zdroj: Wikimedia Commons. Inductiveload.

Pythagorova veta

Toto je jedna z najslávnejších vier v histórii. Je to kvôli gréckemu matematikovi Pythagorasovi zo Samosu (569 - 475 pnl) a uplatňuje sa na pravouhlý trojuholník. Takto hovorí:

Ak vezmeme ako príklad modrý trojuholník na obrázku 8 alebo fialový trojuholník, pretože obidva sú obdĺžniky, potom možno konštatovať, že:

AC ² = AB ² + BC ² (modrý trojuholník)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (fialový trojuholník)

Oblasť trojuholníka

Plocha trojuholníka je daná súčinom jeho bázy a a výšky h, delenej 2. A trigonometriou je možné túto výšku zapísať ako h = b sinθ.

Obrázok 10. Plocha trojuholníka. Zdroj: Wikimedia Commons.

Príklady trojuholníkov

Príklad 1

Hovorí sa, že vďaka svojej prvej vete sa Thalesovi podarilo zmerať výšku Veľkej pyramídy v Egypte, jedného zo siedmich divov starovekého sveta, meraním tieňa, ktorý premietal na zem, a tieňa premietaného pomocou kolíka vneseného do zeme.

Toto je prehľad postupu, ktorý dodržiava Tales:

Obrázok 11. Schéma na meranie výšky Veľkej pyramídy podobnosťou trojuholníkov. Zdroj: Wikimedia Commons. dake

Thales správne predpokladal, že slnečné lúče dopadajú paralelne. S týmto vedomím si predstavoval pravý veľký trojuholník.

Tam je D výška pyramídy a C je vzdialenosť nad zemou meraná od stredu k tieňu vrhnutému pyramídou na púštne dno. Meranie C môže byť náročné, ale určite je to jednoduchšie ako meranie výšky pyramídy.

Vľavo je malý trojuholník s nohami A a B, kde A je výška kolíka, ktorý je vedený vertikálne do zeme, a B je tieň, ktorý vrhá. Obidve dĺžky sú merateľné, rovnako ako C (C sa rovná dĺžke tieňa + polovica dĺžky pyramídy).

Takže podobnosťou trojuholníkov:

A / B = D / C

A výška Veľkej pyramídy sa ukáže byť: D = C. (A / B)

Príklad 2

Krovy v stavebníctve sú konštrukcie vyrobené z tenkých rovných tyčí z dreva alebo kovu, ktoré sa krížia a ktoré sa používajú ako opora v mnohých budovách. Sú známe aj ako krovy, krovy alebo krovy.

V nich sú vždy prítomné trojuholníky, pretože tyče sú vzájomne prepojené v miestach zvaných uzly, ktoré je možné fixovať alebo spojiť.

Obrázok 12. Trojuholník je prítomný v rámci tohto mostíka. Zdroj: PxHere.

Príklad 3

Metóda známa ako triangulácia umožňuje získať polohu neprístupných bodov poznať iné vzdialenosti, ktoré sa dajú ľahšie merať, za predpokladu, že sa vytvorí trojuholník, ktorý obsahuje požadované miesto medzi jeho vrcholmi.

Napríklad na nasledujúcom obrázku chceme vedieť, kde je loď v mori, označená ako B.

Obrázok 13. Triangulačná schéma na lokalizáciu lode. Zdroj: Wikimedia Commons. Colette

Najskôr sa zmeria vzdialenosť medzi dvoma bodmi na pobreží, ktoré na obrázku sú A a C. Ďalej sa musia určiť uhly α a β pomocou teodolitu, zariadenia používaného na meranie vertikálnych a horizontálnych uhlov.

So všetkými týmito informáciami je vstavaný trojuholník, v ktorého hornom vrchole je loď. Zostáva vypočítať uhol γ pomocou vlastností trojuholníkov a vzdialeností AB a CB pomocou trigonometrie, aby sa určila poloha lode v mori.

cvičenie

Cvičenie 1

Na obrázku sú slnečné lúče rovnobežné. Týmto spôsobom 5 metrov vysoký strom vrhá tieň 6 metrov na zem. Súčasne je tieň budovy 40 metrov. Podľa Thalesovej prvej vety vyhľadajte výšku budovy.

Obrázok 14. Schéma riešenia problémov 1. Zdroj: F. Zapata.

Riešenie

Červený trojuholník má strany 5 a 6 metrov, zatiaľ čo modrý má výšku H - výšku budovy - a základňu 40 metrov. Oba trojuholníky sú preto podobné:

Cvičenie 2

Musíte poznať vodorovnú vzdialenosť medzi dvoma bodmi A a B, ale nachádzajú sa na veľmi nerovnom povrchu.

Približne v strede (P _m ) uvedeného terénu vyniká vyvýšenina 1,75 metra. Ak miera pásky udáva 26 metrov dĺžky meraných od A do výbežku a 27 metrov od B do toho istého bodu, nájdite vzdialenosť AB.

Obrázok 15. Schéma riešeného cvičenia 2. Zdroj: Jiménez, R. Mathematics II. Geometria a trigonometria.

Riešenie

Pythagorova veta sa aplikuje na jeden z dvoch pravouhlých trojuholníkov na obrázku. Počnúc tým vľavo:

Hypotenóza = c = 26 metrov

Výška = a = 1,75 metra

AP _m = (26 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 25,94 m

Teraz naneste Pythagoras na trojuholník vpravo, tentoraz c = 27 metrov, a = 1,75 metrov. S týmito hodnotami:

BP _m = (27 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 26,94 m

Vzdialenosť AB sa zistí pridaním týchto výsledkov:

AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 m.

Referencie

1. Baldor, JA 1973. Rovinná a priestorová geometria. Stredoamerický kultúrny.
2. Barredo, D. Geometria trojuholníka. Získané z: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. Matematika II. Geometria a trigonometria. Druhé vydanie. Pearson.
4. Wentworth, G. Plane Geometry. Získané z: gutenberg.org.
5. Wikipedia. Trojuholník. Získané z: es. wikipedia.org.