ROVNORAMENNÝ TROJUHOLNÍK: CHARAKTERISTIKY, VZOREC A PLOCHA, VÝPOČET - MATEMATIKA - 2026

Rovnoramenný trojuholník je polygón s troch strán, pričom dva z nich majú rovnaký opatrení a tretiu stranu iné opatrenia. Táto posledná strana sa nazýva základňa. Vďaka tejto charakteristike dostal tento názov, čo v gréčtine znamená „rovnaké nohy“

Trojuholníky sú mnohouholníky považované za najjednoduchšie v geometrii, pretože sa skladajú z troch strán, troch uhlov a troch vrcholov. Sú to tie, ktoré majú najmenší počet strán a uhlov vzhľadom na ostatné polygóny, ich použitie je však veľmi rozsiahle.

Charakteristiky rovnoramenných trojuholníkov

Rovnoramenný trojuholník bol klasifikovaný pomocou miery jeho strán ako parametra, pretože dve jeho strany sú zhodné (majú rovnakú dĺžku).

Na základe amplitúdy vnútorných uhlov sa rovnoramenné trojuholníky klasifikujú ako:

• Rovnoramenný pravouhlý trojuholník : dve jeho strany sú rovnaké. Jeden roh je rovný (90 ^alebo ) a ostatné sú rovnaké (45 ^alebo každú)
• Rovnoramenný tupý trojuholník : dve jeho strany sú rovnaké. Jeden z uhlov je tupý (> 90 ^alebo ).
• Rovnoramenný ostrý trojuholník : dve jeho strany sú rovnaké. Všetky uhly sú ostré (<90 ^alebo ), pričom oba majú rovnaké rozmery.

súčasti

• Medián : je to čiara, ktorá začína v strede jednej strany a dosahuje protiľahlý vrchol. Traja stredníci sa stretávajú v bode nazývanom barycenter alebo centroid.
• Bisektor : je to lúč, ktorý rozdeľuje uhol každého vrcholu na dva uhly rovnakej miery. Preto je známa ako os symetrie a tento typ trojuholníkov má iba jeden.
• Deliaca čiara : je to úsek kolmý na stranu trojuholníka, ktorý má svoj pôvod v strede. V trojuholníku sú tri sprostredkovatelia a stretávajú sa v bode nazývanom circumcenter.
• Výška : je to čiara, ktorá vedie z vrcholu na stranu, ktorá je opačná, a tiež táto čiara je kolmá na túto stranu. Všetky trojuholníky majú tri výšky, ktoré sa zhodujú v bode nazývanom ortocenter.

vlastnosti

Rovnoramenné trojuholníky sú definované alebo identifikované, pretože majú niekoľko vlastností, ktoré ich reprezentujú a ktoré vychádzajú z teorémov navrhnutých veľkými matematikmi:

Vnútorné uhly

Súčet vnútorných uhlov sa vždy rovná 180 ^° .

Súčet strán

Súčet mier na oboch stranách musí byť vždy väčší ako mier na tretej strane, a + b> c.

Zhodné strany

Rovnoramenné trojuholníky majú dve strany s rovnakou mierkou alebo dĺžkou; to znamená, že sú zhodné a tretia strana sa od nich líši.

Zhodné uhly

Rovnoramenné trojuholníky sú známe aj ako trojuholníky izolované, pretože majú dva uhly, ktoré majú rovnaké rozmery (kongruentné). Tieto sú umiestnené na spodnej časti trojuholníka, oproti stranám, ktoré majú rovnakú dĺžku.

Z tohto dôvodu bola vytvorená veta, ktorá uvádza, že:

„Ak má trojuholník dve zhodné strany, uhly, ktoré sa nachádzajú oproti týmto stranám, budú tiež zhodné.“ Preto, ak je trojuholník rovnoramenný, uhly jeho podstavcov sú zhodné.

Príklad:

Nasledujúci obrázok zobrazuje trojuholník ABC. Nakreslením svojej priamky z vrcholu uhla B na základňu sa trojuholník delí na dva rovnaké trojuholníky BDA a BDC:

Týmto spôsobom bol uhol vrcholu B tiež rozdelený na dva rovnaké uhly. Deliaca čiara je teraz spoločnou stranou (BD) medzi týmito dvoma novými trojuholníkmi, zatiaľ čo strany AB a BC sú zhodnými stranami. Máme teda prípad kongruencie zo strany, uhla, zo strany (LAL).

To ukazuje, že uhly vrcholov A a C majú rovnaké rozmery, ako aj je možné ukázať, že keďže trojuholníky BDA a BDC sú zhodné, strany AD a DC sú tiež zhodné.

Výška, medián, priesečník a priesečník sú náhodné

Čiara, ktorá je nakreslená z vrcholu oproti základni do stredu základne rovnoramenného trojuholníka, je zároveň výškou, strednou čiarou a deliacou čiarou, ako aj deliacou čiarou vzhľadom na opačný uhol základne.

Všetky tieto segmenty sa zhodujú v jednom, ktorý ich predstavuje.

Príklad:

Nasledujúci obrázok ukazuje trojuholník ABC so stredným bodom M, ktorý delí základňu na dva segmenty BM a CM.

Nakreslením segmentu z bodu M do protiľahlého vrcholu sa podľa definície získa stredný AM, ktorý je relatívny k vrcholu A a bočnému BC.

Ako segment AM rozdeľuje trojuholník ABC na dva rovnaké trojuholníky AMB a AMC, znamená to, že v prípade kongruenčnej strany, uhlu, strany bude existovať, a preto AM bude tiež deliacou čiarou BÂC.

Preto bude bisektor vždy rovný mediánu a naopak.

Segment AM vytvára uhly, ktoré majú rovnaké rozmery pre trojuholníky AMB a AMC; to znamená, že sú doplnkové takým spôsobom, že miera každého z nich bude:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180 ^alebo

2 _* Med. (AMC) = 180 ^alebo

Med. (AMC) = 180 ^{alebo ~} 2

Med. (AMC) = 90 ^alebo

Je známe, že uhly tvorené segmentom AM vzhľadom na základňu trojuholníka sú správne, čo naznačuje, že tento segment je úplne kolmý na základňu.

Predstavuje teda výšku a priesečník, pretože vie, že M je stred.

Preto riadok AM:

• Predstavuje vo výške BC.
• Je stredne veľká.
• Je obsiahnutá v priesečníku BC.
• Je to priamka vrcholového uhla Â

Relatívne výšky

Výšky, ktoré sú relatívne k rovnakým stranám, majú rovnaké meranie.

Pretože rovnoramenný trojuholník má dve rovnaké strany, ich obidve výšky budú rovnaké.

Ortocenter, barycenter, stimulátor a náhodný obvod

Pretože výška, medián, čiara a čiara vzhľadom na základňu sú súčasne reprezentované tým istým segmentom, budú ortocenter, barycentný stimulátor a circumcenter kolineárne body, to znamená, že sa nachádzajú na tej istej línii:

Ako vypočítať obvod?

Obvod polygónu sa vypočíta spočítaním strán.

Pretože v tomto prípade má rovnoramenný trojuholník dve strany s rovnakým rozmerom, jeho obvod sa vypočíta podľa tohto vzorca:

P = 2 _* (strana a) + (strana b).

Ako vypočítať výšku?

Výška je čiara kolmá na základňu, rozdeľuje trojuholník na dve rovnaké časti, keďže siaha do opačného vrcholu.

Výška predstavuje protiľahlú nohu (a), stred základne (b / 2) susednú nohu a strana „a“ predstavuje preponu.

Použitím Pythagorovej vety možno určiť výšku:

² + b ² = c ²

Kde:

a ² = výška (h).

b ² = b / 2.

c ² = strana a.

Nahradením týchto hodnôt v pythagorejskej vete a riešením výšky máme:

h ² + (b / 2) ² = a ²

h ² + b ² /4 = ²

h ² = a ² - b ² /4

h = √ (a ² - b ² /4).

Ak je známy uhol tvorený zhodnými stranami, môže sa výška vypočítať podľa tohto vzorca:

Ako vypočítať oblasť?

Plocha trojuholníkov sa vždy počíta s rovnakým vzorcom vynásobením základne výškou a vydelením dvoma:

Existujú prípady, keď sú známe iba merania dvoch strán trojuholníka a uhla medzi nimi. V tomto prípade je potrebné na určenie plochy použiť trigonometrické pomery:

Ako vypočítať základňu trojuholníka?

Pretože rovnoramenný trojuholník má dve rovnaké strany, na určenie hodnoty jeho základne musíte poznať aspoň mieru výšky alebo jedného z jeho uhlov.

Keď poznáme výšku, používa sa Pythagorova veta:

² + b ² = c ²

Kde:

a ² = výška (h).

c ² = strana a.

b ² = b / 2, nie je známy.

Izolujeme b ² od vzorca a máme:

b ² = a ² - C ²

b = √ ² - C ²

Pretože táto hodnota zodpovedá polovici základne, musí sa vynásobiť dvoma, aby sa získala úplná miera základne rovnoramenného trojuholníka:

b = 2 _* (√ a ² - c ² )

V prípade, že je známa iba hodnota rovnakých strán a uhol medzi nimi, použije sa trigonometria a nakreslí čiaru od vrcholu k základni, ktorá rozdeľuje rovnoramenný trojuholník na dva pravé trojuholníky.

Týmto spôsobom sa polovica bázy vypočíta pomocou:

Je tiež možné, že sú známe iba hodnoty výšky a uhla vrcholu, ktoré sú oproti základni. V tomto prípade sa trigonometriou môže základ určiť:

cvičenie

Prvé cvičenie

Nájdite plochu rovnoramenného trojuholníka ABC s vedomím, že dve jeho strany sú 10 cm a tretia strana je 12 cm.

Riešenie

Na nájdenie oblasti trojuholníka je potrebné vypočítať výšku pomocou vzorca vzorca, ktorý súvisí s Pytagorovou vetou, pretože hodnota uhla, ktorý sa vytvára medzi rovnakými stranami, nie je známa.

Máme tieto údaje rovnoramenného trojuholníka:

• Rovnaké strany (a) = 10 cm.
• Základňa (b) = 12 cm.

Hodnoty sú nahradené vzorcom:

Druhé cvičenie

Dĺžka dvoch rovnakých strán rovnoramenného trojuholníka je 42 cm, spojenie týchto strán tvorí uhol 130 ^{alebo 100} mm . Určite hodnotu tretej strany, plochy tohto trojuholníka a obvodu.

Riešenie

V tomto prípade sú známe rozmery strán a uhol medzi nimi.

Aby sme poznali hodnotu chýbajúcej strany, to znamená základňu tohto trojuholníka, nakreslí sa čiara kolmá na túto rovinu, ktorá rozdelí uhol na dve rovnaké časti, jednu pre každý vytvorený pravouhlý trojuholník.

• Rovnaké strany (a) = 42 cm.
• Uhol (Ɵ) = 130 ^o

Teraz trigonometriou sa vypočíta hodnota polovice bázy, ktorá zodpovedá polovici prepony:

Na výpočet plochy je potrebné poznať výšku tohto trojuholníka, ktorý sa dá vypočítať pomocou trigonometrie alebo Pytagorovej vety, teraz, keď už bola stanovená hodnota bázy.

Podľa trigonometrie to bude:

Obvod sa počíta:

P = 2 _* (strana a) + (strana b).

P = 2 _* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Tretie cvičenie

Vypočítajte vnútorné uhly rovnoramenného trojuholníka s vedomím, že uhol základne je  = 55 ^alebo

Riešenie

Na nájdenie dvoch chýbajúcich uhlov (Ê a Ô) je potrebné pamätať na dve vlastnosti trojuholníkov:

• Súčet vnútorných uhlov každého trojuholníka bude vždy = 180 ^alebo :

+ Ê + Ô = 180 ^alebo

• V rovnoramennom trojuholníku sú uhly základne vždy zhodné, to znamená, že majú rovnaké rozmery:

 = Ô

Ê = 55 ^alebo

Aby sme určili hodnotu uhla Ê, nahradíme hodnoty ostatných uhlov v prvom pravidle a vyriešime Ê:

55 ^alebo + 55 ^alebo + ô = 180 ^alebo

110 ^alebo + ô = 180 ^alebo

Ô = 180 ^o - 110 ^o

Ô = 70 ^o .

Referencie

1. Álvarez, E. (2003). Prvky geometrie: s početnými cvičeniami a geometriou kompasu. Univerzita v Medellíne.
2. Álvaro Rendón, AR (2004). Technická výkres: aktivita zápisník.
3. Angel, AR (2007). Elementárna algebra. Pearson Education.
4. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra a trigonometria s analytickou geometriou. Pearson Education.
5. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultúra.
6. José Jiménez, LJ (2006). Math 2.
7. Tuma, J. (1998). Príručka inžinierskej matematiky. Wolfram MathWorld.