PRAVÝ LICHOBEŽNÍK: VLASTNOSTI, VZŤAHY A VZORCE, PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2026

Priamo lichobežník je plochá postava so štyrmi stranami, tak, že dvaja z nich sú vzájomne rovnobežné, tzv bázami a tiež jeden z ďalších strán je kolmá na báz.

Z tohto dôvodu majú dva vnútorné uhly pravdu, to znamená, že merajú 90 °. Z tohto dôvodu je na obrázku uvedený názov „obdĺžnik“. Nasledujúci obrázok pravého lichobežníka objasňuje tieto vlastnosti:

Trapézové prvky

Prvkami lichobežníka sú:

-Bases

-Vertices

-výška

- Vnútorné uhly

- Stredová základňa

-Diagonals

Tieto prvky podrobne opíšeme pomocou obrázkov 1 a 2:

Obrázok 1. Pravý lichobežník, vyznačujúci sa tým, že má dva vnútorné uhly 90 °: A a B. Zdroj: F. Zapata.

Strany pravého lichobežníka sú označené malými písmenami a, b, cad. Rohy obrázku alebo vrcholy sú vyznačené veľkými písmenami. Nakoniec sú vnútorné uhly vyjadrené v gréckych listoch.

Podľa definície sú základmi tohto lichobežníka strany a a b, ktoré, ako je vidieť, sú rovnobežné a majú tiež rôzne dĺžky.

Strana kolmá na obidve základne je strana c vľavo, čo je výška h lichobežníka. Nakoniec je tu strana d, ktorá tvorí ostrý uhol a so stranou a.

Súčet vnútorných uhlov štvoruholníka je 360 ​​°. Je ľahké vidieť, že chýbajúci uhol C na obrázku je 180 - α.

Medián základne je segment spájajúci stredné body nerovnobežných strán (segment EF na obrázku 2).

Obrázok 2. Prvky pravého lichobežníka. Zdroj: F. Zapata.

Nakoniec sú tu diagonály d ₁ a d ₂ , segmenty, ktoré sa spájajú s opačnými vrcholmi a ktoré sa pretína v bode O (pozri obrázok 2).

Vzťahy a vzorce

Výška lichobežníka h

Obvod P

Je to miera obrysu a vypočíta sa sčítaním strán:

Strana d je vyjadrená výškou alebo stranou c pomocou Pythagorovej vety:

Nahradenie v obvode:

Stredná základňa

Je to semisum základov:

Priemerná báza sa niekedy nájde takto:

rozloha

Plocha A lichobežníka je súčinom strednej základnej výšky a výšky:

Diagonály, boky a uhly

Na obrázku 2 sa objavuje niekoľko trojuholníkov, pravých aj nepravidelných. Na tie, ktoré sú pravouhlými trojuholníkmi, sa dá použiť Pytagorova veta a na tie, ktoré nie sú, vety o kosíne a sine.

Týmto spôsobom sa nájdu vzťahy medzi stranami a medzi stranami a vnútorné uhly lichobežníka.

Trojuholník CPA

Je to obdĺžnik, jeho nohy sú rovné a majú hodnotu b, zatiaľ čo prepona je diagonálna d ₁ , a preto:

Trojuholník DAB

Je to tiež obdĺžnik, nohy sú a a c (alebo tiež ayh) a prepona je d ₂ , takže:

CDA trojuholník

Pretože tento trojuholník nie je pravouhlý trojuholník, uplatňuje sa na neho kosínova veta alebo sínusová veta.

Podľa kosinovskej vety:

CDP trojuholník

Tento trojuholník je pravouhlý trojuholník a svojimi stranami sú konštruované trigonometrické pomery uhla a:

Strana PD = a - b, preto:

Máte tiež:

Trojuholník CBD

V tomto trojuholníku máme uhol, ktorého vrchol je na C. Na obrázku nie je vyznačený, ale na začiatku sa zdôraznilo, že je 180 - α. Tento trojuholník nie je pravouhlý trojuholník, takže je možné použiť kosínusovú vetu alebo sínusovú vetu.

Teraz je možné ľahko preukázať, že:

Aplikácia cosinovej vety:

Príklady správnych lichobežníkov

Trapézoidy a najmä pravé lichobežníky sa nachádzajú na mnohých stranách a niekedy nie vždy v hmatateľnej podobe. Tu je niekoľko príkladov:

Lichobežník ako konštrukčný prvok

Geometrické útvary oplývajú architektúrou mnohých budov, napríklad tohto kostola v New Yorku, ktorý ukazuje štruktúru v tvare obdĺžnikového lichobežníka.

Podobne je lichobežníkový tvar častý v dizajne kontajnerov, kontajnerov, čepelí (rezacích alebo presných), dosiek a v grafickom dizajne.

Obrázok 3. Anjel vnútri lichobežníka obdĺžnika v newyorskom kostole. Zdroj: David Goehring cez Flickr.

Generátor lichobežníkových vĺn

Elektrické signály môžu byť nielen štvorcové, sínusové alebo trojuholníkové. Existujú tiež lichobežníkové signály, ktoré sú užitočné v mnohých obvodoch. Na obrázku 4 je lichobežníkový signál zložený z dvoch pravých lichobežníkov. Medzi nimi vytvárajú jediný lichobežníkový lichobežník.

Obrázok 4. Lichobežníkový signál. Zdroj: Wikimedia Commons.

V číselnom výpočte

Na vypočítanie určitého integrálu funkcie f (x) medzi aab v numerickej forme sa používa lichobežníkové pravidlo na priblíženie oblasti pod grafom f (x). Na nasledujúcom obrázku je vľavo integrál aproximovaný jediným pravým lichobežníkom.

Lepšia aproximácia je tá, ktorá je na pravom obrázku, s viacerými pravými lichobežníkmi.

Obrázok 5. Definitívny integrál medzi a a b nie je nič iné ako plocha pod krivkou f (x) medzi týmito hodnotami. Pravý lichobežník môže slúžiť ako prvá aproximácia pre takúto oblasť, ale čím viac lichobežníkov sa použije, tým lepšia je aproximácia. Zdroj: Wikimedia Commons.

Nosník s lichobežníkovým zaťažením

Sily nie sú vždy sústredené na jediný bod, pretože telá, na ktoré pôsobia, majú značné rozmery. To je prípad mosta, cez ktorý vozidlá nepretržite obiehajú, vody bazénu na jeho zvislých stenách alebo strechy, na ktorej sa hromadí voda alebo sneh.

Z tohto dôvodu sú sily rozdelené na jednotku dĺžky, plochy povrchu alebo objemu, v závislosti od tela, na ktoré pôsobia.

V prípade lúča môže mať sila rozdelená na jednotku dĺžky rôzne rozdelenie, napríklad pravý lichobežník uvedený nižšie:

Obrázok 6. Zaťaženie lúča. Zdroj: Bedford, A. 1996. Static. Addison Wesley Interamericana.

V skutočnosti distribúcie nie vždy zodpovedajú pravidelným geometrickým tvarom, ako je tento, ale v mnohých prípadoch môžu byť dobrým priblížením.

Ako vzdelávací a vzdelávací nástroj

Geometrické bloky a obrázky vrátane lichobežníkov sú veľmi užitočné pri oboznamovaní detí s fascinujúcim svetom geometrie od útleho veku.

Obrázok 7. Bloky s jednoduchými geometrickými tvarmi. Koľko pravých lichobežníkov je skrytých v blokoch? Zdroj: Wikimedia Commons.

Riešené cvičenia

- Cvičenie 1

V pravom lichobežníku na obrázku 1 je väčšia základňa 50 cm a menšia základňa sa rovná 30 cm, je tiež známe, že šikmá strana je 35 cm. Nájsť:

a) Uhol a

b) Výška

c) Obvod

d) Priemerný základ

e) oblasť

f) Diagonály

Riešenie

Údaje výkazu sú zhrnuté takto:

a = väčšia základňa = 50 cm

b = menšia základňa = 30 cm

d = šikmá strana = 35 cm

Aby sme našli uhol a, navštívte sekciu vzorcov a rovníc, aby sme zistili, ktorý z nich najlepšie vyhovuje poskytnutým údajom. Hľadaný uhol sa nachádza v niekoľkých analyzovaných trojuholníkoch, napríklad v CDP.

Tam máme tento vzorec, ktorý obsahuje neznáme a tiež údaje, ktoré poznáme:

teda:

Vyčistí to h:

d ₁ ² = 2 x (30 cm), ² = 1800 cm ²

d ₁ = √1800 cm ² = 42,42 cm

A pre uhlopriečku d ₂ :

Referencie

1. Baldor, A. 2004. Rovinná a priestorová geometria s trigonometriou. Kultúrne publikácie.
2. Bedford, A. 1996. Statics. Addison Wesley Interamericana.
3. Geometria jr. 2014. Polygóny. Lulu Press, Inc.
4. OnlineMSchool. Obdĺžnikový lichobežník. Obnovené z: es.onlinemschool.com.
5. Automatické riešenie problémov s geometriou. Hrazda. Získané z: scuolaelettrica.it
6. Wikipedia. Trapézoid (geometria). Obnovené z: es.wikipedia.org.