ISOSCELES TRAPEZOID: VLASTNOSTI, VZŤAHY A VZORCE, PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2026

Rovnoramenný lichobežník je štvoruholník, v ktorom dve zo strán sú navzájom rovnobežné, a okrem toho, dva uhly susediace s jedným z týchto rovnobežných strán majú rovnakú mieru.

Na obrázku 1 je štvoruholník ABCD, v ktorom sú strany AD a BC rovnobežné. Uhly ABDAB a ∠ADC susediace s paralelnou stranou AD majú rovnaké rozmery a.

Obrázok 1. Izobalická lichobežník. Zdroj: F. Zapata.

Tento štvoruholník alebo štvorstranný mnohouholník je teda v skutočnosti rovnoramenný lichobežník.

V lichobežníku sa rovnobežné strany nazývajú základne a nerovnobežné strany sa nazývajú bočné. Ďalšou dôležitou charakteristikou je výška, čo je vzdialenosť, ktorá oddeľuje paralelné strany.

Okrem lichobežníkov rovnoramenných existujú aj iné typy lichobežníkov:

-Terezoidný scalén, ktorý má všetky svoje uhly a rôzne strany.

- Obdĺžnikový rapezoid, v ktorom jedna strana má pravé susedné uhly.

Lichobežníkový tvar je bežný v rôznych oblastiach dizajnu, architektúry, elektroniky, výpočtov a mnohých ďalších, ako uvidíme neskôr. Preto je dôležité zoznámiť sa s jeho vlastnosťami.

vlastnosti

Výhradne pre lichobežníkové rovnoramenné lichobežníky

Ak je lichobežník rovnoramenný, má nasledujúce charakteristické vlastnosti:

1.- Strany majú rovnaké meranie.

2.- Uhly susediace so základňami sú rovnaké.

3. - Opačné uhly sú doplnkové.

4. - Diagonály majú rovnakú dĺžku, pričom dva segmenty, ktoré spájajú opačné vrcholy, sú rovnaké.

5. - Uhol vytvorený medzi základňami a uhlopriečkami je rovnaký.

6.- Má ohraničený obvod.

Naopak, ak lichobežník spĺňa niektorú z vyššie uvedených vlastností, potom je to lichobežník s rovnoramenným obrysom.

Ak je v lichobežníku rovnoramenný jeden z uhlov pravý (90 °), všetky ostatné uhly budú tiež pravé, čím sa vytvorí obdĺžnik. To znamená, že obdĺžnik je osobitným prípadom lichobežníka s rovnoramenným oblúkom.

Obrázok 2. Nádoba na popcorn a školské stoly sú tvarované ako lichobežníkové rovnoramenné oblúky. Zdroj: Pxfuel (vľavo) / McDowell Craig cez Flickr. (správny)

Na všetky hrazdy

Nasledujúca skupina vlastností platí pre všetky lichobežníky:

7.- Medián lichobežníka, to znamená segmentu, ktorý spája stredy svojich nerovnobežných strán, je rovnobežný s ktoroukoľvek z podstavcov.

8.- Dĺžka mediánu sa rovná semisu (súčet delenému 2) dĺžky jeho základov.

9.- Medián lichobežníka prerušuje jeho stredné uhlopriečky.

10.- Diagonály lichobežníka sa pretínajú v bode, ktorý ich delí na dve časti úmerné kvocientom báz.

11.- Súčet štvorcov uhlopriečky lichobežníka sa rovná súčtu štvorcov jeho strán plus dvojnásobok súčin jeho základov.

12.- Úsek, ktorý sa pripája k stredným bodom uhlopriečok, má dĺžku rovnajúcu sa polovičnému rozdielu báz.

13. - Uhly priľahlé k bokom sú doplnkové.

14. - Lichobežník má vyznačený obvod, iba ak je súčet jeho základov rovný súčtu jeho bočných stien.

15. - Ak lichobežník má vyznačený obvod, potom uhly s vrcholom v strede uvedeného obvodu a stranami, ktoré prechádzajú cez konce tej istej strany, sú pravými uhlami.

Vzťahy a vzorce

Nasledujúca skupina vzťahov a vzorcov je uvedená na obrázku 3, kde sú okrem lichobežníkových rovnoramenných lichobežníkov znázornené ďalšie dôležité segmenty, ktoré už boli uvedené, ako sú uhlopriečky, výška a medián.

Obrázok 3. Medián, uhlopriečky, výška a ohraničený obvod v lichobežníku rovnoramenného tvaru. Zdroj: F. Zapata.

Unikátny vzťah lichobežníka rovnoramenných

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA a ∡ABC = ∡BCD

3.- ∡DAB + ∡BCD = 180º a ∡CDA + ∡ABC = 180º

4.- BD = AC

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = a ₁

6. - A, B, C a D patria do ohraničeného kruhu.

Vzťahy týkajúce sa akýchkoľvek porážok

1. Ak AK = KB a DL = LC ⇒ KL - AD a KL - BC

8 - KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 a DN = NB = DB / 2

10. AO / OC = AD / BC a DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (AD - BC) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180 ° a ∡CDA + ∡BCD = 180 °

14. - Ak AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R, ako je to rovnako od AD, BC, AB a DC

15. - Ak je ∃ R rovnako vzdialené od AD, BC, AB a DC, potom:

∡BRA = ∡DRC = 90º

Vzťahy lichobežníka s rovnoramenným obvodom

Ak je v rovnoramennom lichobežníku súčet báz rovný dvojnásobku bočnej, potom existuje opísaný obvod.

Obrázok 4. Lichobežník s vpísaným obvodom. Zdroj: F. Zapata.

Nasledujúce vlastnosti platia, keď má lichobežník s rovnoramenným obrysom vyznačený obvod (pozri obrázok 4 vyššie):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- Diagonály sa pretínajú v pravom uhle: AC ⊥ BD

18.- Výška je rovnaká ako stredná hodnota: HF = KL, to znamená, h = m.

19.- Štvorec výšky sa rovná súčinu základov: h ² = BC⋅AD

20.- Za týchto osobitných podmienok sa plocha lichobežníka rovná štvorcu výšky alebo súčinu podstavcov: Plocha = h ² = BC⋅AD.

Vzorce na určovanie jednej strany, poznanie ostatných a uhla

Znalosť základne, bočného a uhla, druhá základňa môže byť určená:

a = b + 2c Cos a

b = a - 2c Cos a

Ak je dĺžka podstavcov a uhol uvedené ako známe údaje, potom sú dĺžky obidvoch strán:

c = (a - b) / (2 Cos a)

Stanovenie jednej strany, poznanie ostatných a uhlopriečka

A = (d ₁ ² - C ² ) / b;

b = (d ₁ ² - C ² ) / a

c = √ (d ₁ ² - a⋅b)

Kde d ₁ je dĺžka uhlopriečok.

Základňa z výšky, plochy a inej základne

a = (2 A) / h - b

b = (2 A) / h - a

Známe bočné základne, plocha a uhol

c = (2A) /

Známy stredný priečny priemer, plocha a uhol

c = A / (m sin α)

Známe výšky strán

h = √

Známe výškové uhly a dve strany

h = tg a⋅ (a - b) / 2 = c. hriech α

Známe uhlopriečky všetkých strán alebo dvoch strán a uhla

d ₁ = √ (c ² + ab)

d ₁ = √ (a ² + c ² - 2 ac Cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 bc Cos β)

Obvod rovnoramenného trojuholníka

P = a + b + 2c

Plocha lichobežníkových rázov Isosceles

Existuje niekoľko vzorcov na výpočet oblasti v závislosti od známych údajov. Nasledujúci je najznámejší v závislosti od podstavcov a výšky:

A = h⋅ (a + b) / 2

A môžete tiež použiť tieto ďalšie:

-Ak sú známe strany

A = √

- Ak máte dve strany a uhol

A = (b + c Cos a) c Sen α = (a - c Cos a) c Sen α

-Ak je známy polomer vpísanej kružnice a uhol

A = 4 R ² / Sen α = 4 R ² / Sen β

- Ak sú známe základy a uhol

A = a⋅b / Sen a = a⋅b / Sen β

- Ak je možné lichobežník opísať obvodom

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

- Poznať uhlopriečky a uhol, ktorý spolu tvoria

A = (d ₁ ² /2) = γ Sen (d ₁ ² /2), delta Sen

- Keď máte bočný, stredný a uhol

A = mc.sen a = mc.sen p

Polomer ohraničeného kruhu

Obmedzený obvod majú iba rovnoramenné lichobežníky. Ak _{je známa} väčšia základňa a, bočná ca a diagonálna dl , potom polomer R kruhu, ktorý prechádza cez štyri vrcholy lichobežníka, je:

R = a⋅c⋅d ₁ /4√

Tam, kde p = (a + c + d ₁ ) / 2

Príklady použitia lichobežníka s rovnoramenným povrchom

Lichobežníkové rovnoramenné lichobežníky sa objavujú v oblasti dizajnu, ako je to znázornené na obrázku 2. A tu je niekoľko ďalších príkladov:

V architektúre a stavebníctve

Starí Inkovia poznali lichobežníkové rovnoramenné lúče a použili ho ako stavebný prvok v tomto okne v Cuzco v Peru:

Obrázok 5. Trapézové okno Coricancha, Cuzco. Zdroj: Wikimedia Commons.

A tu sa lichobežník objaví opäť v takzvanom lichobežníkovom pláte, materiáli často používanom v stavebníctve:

Obrázok 6. Trapézový plech dočasne chrániaci okná budovy. Zdroj: Wikimedia Commons.

V dizajne

Už sme videli, že lichobežníkový izoscelát sa vyskytuje v každodenných predmetoch vrátane potravín, ako je táto čokoláda:

Obrázok 7. Čokoládová tyčinka, ktorej tváre majú tvar lichobežníka. Zdroj: Pxfuel.

Riešené cvičenia

- Cvičenie 1

Rovnoramenný lichobežník má základňu väčšiu ako 9 cm, základňu menej ako 3 cm a jej uhlopriečky každý 8 cm. Vypočítajte:

a) Strana

b) Výška

c) Obvod

d) oblasť

Obrázok 8. Schéma cvičenia 1. Zdroj: F. Zapata

Riešenie

Výška CP = h je vynesená do grafu, kde noha výšky definuje segmenty:

PD = x = (ab) / 2 r

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

Použitie Pythagorovej vety na pravouhlý trojuholník DPC:

c ² = H ² + (a - b) ² /4

A tiež na pravouhlý trojuholník APC:

d ² = H ² + AP ² = H ² + (a + b) ² /4

Nakoniec sa odpočíta člen po člene, druhá rovnica od prvej a zjednodušenej:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = ab

c ² = d ² - AB ⇒ c = √ (d ² - ab) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6,08 cm

Riešenie b

h ² = d ² - (a + b) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ² ) = 8 ² - 6 ² = 28

h = 2 = 7 = 5,29 cm

Riešenie c

Obvod = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2 - 06 083 = 24,166 cm

Riešenie d

Plocha = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 cm

- Cvičenie 2

Existuje rovnoramenný lichobežník, ktorého väčšia základňa je dvakrát menšia a jej menšia základňa sa rovná výške, ktorá je 6 cm. rozhodnúť:

a) Dĺžka bočnice

b) Obvod

c) Oblasť

d) Uhly

Obrázok 8. Schéma cvičenia 2. Zdroj: F. Zapata

Riešenie

Dáta: a = 12, b = a / 2 = 6 a h = b = 6

Postupujeme nasledovne: nakreslíme výšku ha použijeme Pythagorovu vetu na preponový trojuholník «c» a nohy h a x:

c ² = H ² + xc ²

Potom musíte vypočítať hodnotu výšky z údajov (h = b) a hodnoty ramena x:

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

Nahradenie predchádzajúcich výrazov:

c ² = b ² + (ab ') ² /2 ²

Teraz sú zavedené číselné hodnoty a je to zjednodušené:

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

získanie:

c = 3 - 5 = 6,71 cm

Riešenie b

Obvod P = a + b + 2c

P = 12 + 6 + 6,5 = 6 (8 + -5) = 61,42 cm

Riešenie c

Oblasť ako funkcia výšky a dĺžky základov je:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cm ²

Riešenie d

Uhol a, ktorý sa laterálne tvorí s väčšou základňou, sa získa trigonometriou:

Tan (a) = h / x = 6/3 = 2

a = ArcTan (2) = 63,44 °

Druhý uhol, ten, ktorý tvorí bočný s menšou základňou, je β, ktorý je doplnkom α:

p = 180 ° - a = 180 ° - 63,44 ° = 116,56 °

Referencie

1. EA 2003. Prvky geometrie: s cvičeniami a geometriou kompasu. Univerzita v Medellíne.
2. Campos, F. 2014. Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. 2007. Objavte polygóny. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. 2013. Generalized Polygons. Birkhäuser.
5. Iger. Matematika Prvý semester Tacaná. Iger.
6. Geometria jr. 2014. Polygóny. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren a Hornsby. 2006. Matematika: zdôvodnenie a aplikácie. 10 .. Vydanie. Pearson Education.
8. Patiño, M. 2006. Matematika 5. Redakčný progres.
9. Wikipedia. Trapéz. Obnovené z: es.wikipedia.com