SCALENE TRAPEZOID: VLASTNOSTI, VZORCE A ROVNICE, PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2026

Scalene lichobežník je polygón so štyrmi stranami, z ktorých dve sú navzájom rovnobežné, a so štyrmi vnútornými uhly rôznych opatrení.

Štvorstranný ABCD je uvedený nižšie, kde strany AB a DC sú navzájom rovnobežné. To stačí na to, aby sa z neho stal lichobežník, ale tiež vnútorné uhly α, β, γ a δ sú rôzne, preto je lichobežník skalený.

Obrázok 1. Kvadrilaterálny ABCD je lichobežník podľa stavu 1 a scalene podľa stavu 2. Zdroj: F. Zapata.

Prvky lichobežníkového filtra

Tu sú najcharakteristickejšie prvky:

-Bázy a boky: rovnobežné strany lichobežníka sú jeho základne a dve nerovnobežné strany sú boky.

V lichobežníkovom lichobežníku sú základne rôznych dĺžok a tiež bočné. Scalénový lichobežník však môže mať bočnicu rovnakú dĺžku ako základňa.

-Medián: je segment, ktorý sa pripája k stredným bodom postranných.

- Diagonály : uhlopriečka lichobežníka je segment, ktorý spája dva opačné vrcholy. Lichobežník má rovnako ako každý štvoruholník dve uhlopriečky. V lichobežníkovom lieviku majú rôznu dĺžku.

Ostatné lichobežníky

Okrem lichobežníkového lichobežníka existujú aj ďalšie lichobežníky: ten pravý lichobežník a lichobežník rovnoramenný.

Lichobežník je obdĺžnik, ak je jeden z jeho uhlov pravý, zatiaľ čo lichobežník má rovné strany.

Lichobežníkový tvar má množstvo aplikácií na konštrukčnej a priemyselnej úrovni, napríklad v konfigurácii krídel lietadiel, tvaru každodenných predmetov, ako sú stoly, operadlá stoličiek, obaly, peňaženky, textilné potlače a ďalšie.

Obrázok 2. Lichobežníkový tvar je bežný v konfigurácii krídel letúnov. Zdroj: Wikimedia Commons.

vlastnosti

Vlastnosti lichobežníkového lichobežníka sú uvedené nižšie, pričom mnohé z nich sa vzťahujú aj na iné typy lichobežníkov. V nasledujúcom texte, keď sa hovorí o „lichobežníku“, bude sa táto vlastnosť vzťahovať na akýkoľvek typ vrátane skalíka.

1. Medián lichobežníka, to znamená segmentu, ktorý spája stredy svojich nerovnobežných strán, je rovnobežný s ktoroukoľvek z podstavcov.

2.- Medián lichobežníka má dĺžku, ktorá je polomerom jeho základne a v strede preťáva jeho uhlopriečky.

3.- Diagonály lichobežníka sa pretínajú v bode, ktorý ich delí na dve časti, ktoré sú úmerné kvocientom báz.

4.- Súčet štvorcov uhlopriečky lichobežníka sa rovná súčtu štvorcov jeho strán plus dvojnásobok súčin jeho základov.

5.- Úsek, ktorý sa pripája k stredovým bodom uhlopriečok, má dĺžku rovnajúcu sa polovičnému rozdielu základne.

6.- Uhly priľahlé k bočným uhlom sú doplnkové.

7. - V lichobežníkovom leme je dĺžka jeho uhlopriečok rôzna.

8. - Lichobežník má opísaný obvod, iba ak je súčet jeho základov rovný súčtu jeho bočných stien.

9. - Ak má lichobežník vyznačený obvod, je uhol s vrcholom v strede uvedeného obvodu a stranami, ktoré prechádzajú cez konce strany lichobežníka, rovný.

10. - Scalen lichobežník nemá ohraničený obvod, jediný typ lichobežníka, ktorý robí, je rovnoramenný.

Vzorce a rovnice

Nasledujúce vzťahy lichobežníkového lichobežníka sú uvedené na nasledujúcom obrázku.

1.- Ak AE = ED a BF = FC → EF-AB a EF-DC.

2. EF = (AB + DC) / 2, čo je: m = (a + c) / 2.

3. DI = IB = d ₁ /2 a AG = GC = d ₂ /2.

4.- DJ / JB = (c / a) podobne CJ / JA = (c / a).

Obrázok 3. Medián a uhlopriečky scalenového lichobežníka. Zdroj: F. Zapata.

5.- DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

ekvivalentne:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6 - Gl = (AB - DC) / 2

To znamená:

n = (a - c) / 2

7 - a + 5 = 180 ° a P + y = 180 °

8.- Ak α ≠ β ≠ γ ≠ δ, potom d1 ≠ d2.

9 - Obr. 4 zobrazuje lichobežníkový lichobežník, ktorý má vyznačený obvod, v tomto prípade je pravda, že:

a + c = d + b

10.- V scalénovom lichobežníku ABCD s vpísaným obvodom stredu O platí tiež toto:

∡AOD = ∡BOC = 90⁰

Obrázok 4. Ak je v lichobežníku overené, že súčet jeho základov sa rovná súčtu bočných, potom je v ňom uvedený obvod. Zdroj: F. Zapata.

výška

Výška lichobežníka je definovaná ako segment, ktorý ide z bodu základne kolmo na opačnú základňu (alebo jej predĺženie).

Všetky výšky lichobežníka majú rovnaké meranie h, takže väčšinou sa výška slova vzťahuje na jeho meranie. Stručne povedané, výška je vzdialenosť alebo vzdialenosť medzi základňami.

Výška h sa dá určiť poznaním dĺžky jednej strany a jedného z uhlov susediacich so stranou:

h = d Sen (a) = d Sen (y) = b Sen (β) = b Sen (δ)

medián

Miera mediánu lichobežníka je polotovar základov:

m = (a + b) / 2

uhlopriečky

d ₁ = √

d ₂ = √

Môže sa tiež vypočítať, ak je známa iba dĺžka strán lichobežníka:

d ₁ = √

d ₂ = √

obvod

Obvod je celková dĺžka obrysu, to znamená súčet všetkých jeho strán:

P = a + b + c + d

rozloha

Plocha lichobežníka je semisum jeho základne vynásobené jeho výškou:

A = h * (a + b) / 2

Môže sa tiež vypočítať, ak je známy priemer m a výška h:

A = m ∙ h

V prípade, že je známa iba dĺžka strán lichobežníka, je možné plochu určiť pomocou Heronovho vzorca pre lichobežník:

A = ∙ √

Kde s je semiperimeter: s = (a + b + c + d) / 2.

Ostatné pomery pre lichobežníkové kalenie

Priesečník mediánu s uhlopriečkami a rovnobežka, ktorá prechádza priesečníkom uhlopriečok, vedie k vzniku ďalších vzťahov.

Obrázok 5. Iné vzťahy pre lichobežníkové kalenie. Zdroj: F. Zapata.

-Vzťahy pre strednú EF

EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

- Vzťahy k segmentu rovnobežnému so základňami KL a prechádzajúcimi priesečníkom J uhlopriečok

Ak KL - AB - DC s J ∈ KL, potom KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

Konštrukcia lichobežníkového lichobežníka s pravítkom a kompasom

Vzhľadom na základne dĺžok aac, kde a> cy so stranami dĺžok b a d, kde b> d, postupujte podľa týchto krokov (pozri obrázok 6):

1.- Pravidlom je nakreslený segment hlavnej AB.

2.- Od bodu A se a po značku AB bod P tak, že AP = c.

3.- S kompasom so stredom v P a polomerom d sa nakreslí oblúk.

4.- Stred je vyrobený v bode B s polomerom b, nakreslujúci oblúk, ktorý zachytáva oblúk nakreslený v predchádzajúcom kroku. Nazývame Q priesečníkom.

Obrázok 6. Konštrukcia scalenového lichobežníka vzhľadom na jeho boky. Zdroj: F. Zapata.

5.- So stredom na A nakreslite oblúk s polomerom d.

6. - So stredom v Q nakreslite oblúk s polomerom c, ktorý zachytáva oblúk nakreslený v predchádzajúcom kroku. Hraničný bod sa nazýva R.

7. - Segmenty BQ, QR a RA sú nakreslené pravítkom.

8. - Quadrilateral ABQR je scalene trapezoid, pretože APQR je rovnobežník, ktorý zaručuje, že AB - QR.

príklad

Nasledujúce dĺžky sú uvedené v cm: 7, 3, 4 a 6.

a) Určte, či s nimi je možné skonštruovať lichobežníkový lichobežník, ktorý môže ohraničiť kruh.

b) Nájdite obvod, plochu, dĺžku uhlopriečok a výšku uvedeného lichobežníka, ako aj polomer vpísaného kruhu.

- Riešenie

Použitím segmentov s dĺžkou 7 a 3 ako základov a segmentov s dĺžkou 4 a 6 ako bočných strán sa môže vyrobiť lichobežníkový lichobežník pomocou postupu opísaného v predchádzajúcej časti.

Zostáva skontrolovať, či má opísaný obvod, ale pamätá si nehnuteľnosť (9):

Vidíme to efektívne:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Potom je splnená podmienka existencie opísaného obvodu.

- Riešenie b

obvod

Obvod P sa získa pridaním strán. Pretože základne sčítajú až 10 a tiež bočné, obvod je:

P = 20 cm

rozloha

Na určenie oblasti, známej iba z jej strán, sa použije vzťah:

A = ∙ √

Kde s je semiperimeter:

s = (a + b + c + d) / 2.

V našom prípade má semiperimeter hodnotu s = 10 cm. Po nahradení príslušných hodnôt:

a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm

Zvyšky:

A = √ = (5/2) = 63 = 19,84 cm².

výška

Výška h sa vzťahuje na oblasť A nasledujúcim výrazom:

A = (a + c) ∙ h / 2, z ktorého je možné získať výšku zúčtovaním:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 x 19,84 / 10 = 3,988 cm.

Polomer vpísaného kruhu

Polomer vpísaného kruhu sa rovná polovici výšky:

r = h / 2 = 1 984 cm

uhlopriečky

Nakoniec nájdeme dĺžku uhlopriečok:

d ₁ = √

d ₂ = √

Správne nahradenie hodnôt, ktoré máme:

d ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

To je: d ₁ = 4,69 cm a d ₂ = 8,49 cm

Obrázok 7. Scalene trapezoid, ktorý spĺňa podmienky existencie vpísaného obvodu. Zdroj: F. Zapata.

Cvičenie bolo vyriešené

Stanovte vnútorné uhly lichobežníka pomocou báz AB = a = 7, CD = c = 3 a laterálnych uhlov BC = b = 6, DA = d = 4.

Riešenie

Kosínová veta sa môže použiť na určenie uhlov. Napríklad uhol ∠A = α sa stanoví z trojuholníka ABD s AB = a = 7, BD = d2 = 8,49 a DA = d = 4.

Kosinova veta použitá na tento trojuholník vyzerá takto:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ ∙ d ∙ cos (a), ktorý je:

72 = 49 + 16-56 ° Cos (a).

Ak sa vyrieši kosínus uhla a, získa sa:

Cos (a) = -1/8

To znamená, že a = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.

Ostatné uhly sa získajú rovnakým spôsobom, pričom ich hodnoty sú:

p = 41,41; y = 138,59⁰ a nakoniec 5 = 82,82⁰.

Referencie

1. CEA (2003). Prvky geometrie: s cvičením a kompasovou geometriou. Univerzita v Medellíne.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. (2007). Objavte polygóny. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Generalizované polygóny. Birkhäuser.
5. Iger. (SF). Matematika Prvý semester Tacaná. Iger.
6. Geometria jr. (2014). Polygóny. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren a Hornsby. (2006). Matematika: Zdôvodnenie a aplikácie (desiate vydanie). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Redakčný progres.
9. Wikipedia. Trapéz. Obnovené z: es.wikipedia.com