DISKRÉTNA FOURIEROVA TRANSFORMÁCIA: VLASTNOSTI, APLIKÁCIE, PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2026

Diskrétne Fourierova transformácia je numerická metóda používa na definovanie vzoriek vzťahujúcich sa spektrálnej frekvencie, ktoré tvoria signál. Štúdium periodických funkcií v uzavretých parametroch vedie k ďalšiemu diskrétnemu signálu.

Aby sa získala diskrétna Fourierova transformácia N bodov, na diskrétnom signáli musia byť na sekvencii x splnené nasledujúce 2 podmienky:

TDF

Diskrétnu Fourierovu transformáciu možno definovať ako vzorkovanie v bode N Fourierovej transformácie.

Interpretácia diskrétnej Fourierovej transformácie

Zdroj: Pexels

K dispozícii sú 2 uhly pohľadu, z ktorých sú výsledky získané na sekvencii X _je možno interpretovať pomocou diskrétnej Fourierovej transformácie.

- Prvý zodpovedá spektrálnym koeficientom, ktoré sú známe už zo Fourierovej série. Pozoruje sa v diskrétnych periodických signáloch, pričom vzorky sa zhodujú so sekvenciou x _s .

- Druhá sa zaoberá spektrom diskrétneho aperiodického signálu so vzorkami zodpovedajúcimi sekvencii x _s .

Diskrétna transformácia je aproximáciou spektra pôvodného analógového signálu. Jeho fáza závisí od okamihov vzorkovania, zatiaľ čo jeho veľkosť závisí od intervalu vzorkovania.

vlastnosti

Algebraické základy štruktúry tvoria odôvodnenie nasledujúcich oddielov.

linearita

C. S _n → C. F; Ak je sekvencia násobená skalárom, jej transformácia bude tiež.

T _n + V _n = F + F; Transformácia súčtu sa rovná súčtu transformácií.

duality

F ^ (1 / N) S- _k; Ak sa diskrétna Fourierova transformácia prepočíta na už transformovaný výraz, získa sa rovnaká expresia, ktorá sa zmenší v N a prevráti sa vzhľadom na vertikálnu os.

konvolúcie

Pri sledovaní podobných cieľov ako pri Laplaceovej transformácii sa konvolúcia funkcií vzťahuje na produkt medzi ich Fourierovými transformáciami. Konvolúcia sa vzťahuje aj na diskrétne časy a je zodpovedná za mnoho moderných postupov.

X _n * R _n → F .F; Transformácia konvolúcie sa rovná produktu transformácií.

X _n . R _n → F * F; Transformácia produktu sa rovná konvolúcii transformácií.

výtlak

X _n-m → F e – ^{i (2π / N) km} ; Ak je sekvencia oneskorená vzorkami m, jej účinkom na diskrétnu transformáciu bude zmena uhla definovaného (2π / N) km.

symetria

X _t = X * _t = X _t

modulácia

W ^-NM _N . x ↔ X _t

výrobok

xy ↔ (1 / N) _Xt * Y _t

symetria

X ↔ X _t = X * _t

Conjugate

x * ↔ X * _t

Parseválna rovnica

V porovnaní s konvenčnou Fourierovou transformáciou má niekoľko podobností a rozdielov. Fourierova transformácia prevádza sekvenciu na plnú líniu. Týmto spôsobom sa hovorí, že výsledkom Fourierovej premennej je komplexná funkcia reálnej premennej.

Diskrétna Fourierova transformácia na rozdiel od nej prijíma diskrétny signál a transformuje ho na iný diskrétny signál, to znamená sekvenciu.

Čo je to diskrétna Fourierova transformácia?

Slúžia predovšetkým na značne zjednodušenie rovníc a na transformáciu odvodených výrazov na mocenské prvky. Označenie diferenciálnych výrazov v integrovateľných polynomických formách.

Pri optimalizácii, modulácii a modelovaní výsledkov pôsobí ako štandardizovaný výraz, ktorý je po niekoľkých generáciách častým zdrojom inžinierstva.

Zdroj: pixabay

histórie

Túto matematickú koncepciu predstavil Joseph B. Fourier v roku 1811, zatiaľ čo sa rozvíja zmluva o šírení tepla. Bol rýchlo prijatý rôznymi odvetviami vedy a techniky.

Bola založená ako hlavný pracovný nástroj pri štúdiu rovníc s parciálnymi derivátmi, dokonca aj pri porovnaní s existujúcim pracovným vzťahom medzi Laplaceovou transformáciou a obyčajnými diferenciálnymi rovnicami.

Každá funkcia, ktorá sa dá spracovať Fourierovou transformáciou, musí byť mimo definovaného parametra null.

Diskrétna Fourierova transformácia a jej inverzia

Diskrétna transformácia sa získa pomocou výrazu:

Po podaní samostatnej sekvencie X

Inverzia diskrétnej Fourierovej transformácie je definovaná výrazom:

Reverzný vývodový hriadeľ

Len čo sa dosiahne diskrétna transformácia, umožňuje definovať sekvenciu v časovej doméne X.

okrídlený

Proces parametrizácie zodpovedajúci diskrétnej Fourierovej transformácii leží v okienku. Aby sme mohli transformovať, musíme obmedziť postupnosť v čase. V mnohých prípadoch príslušné signály nemajú tieto obmedzenia.

Sekvencia, ktorá nespĺňa kritériá veľkosti, ktoré sa majú použiť na diskrétnu transformáciu, sa môže vynásobiť funkciou „okna“ V, ktorá definuje správanie sekvencie v kontrolovanom parametri.

X. V

Šírka spektra bude závisieť od šírky okna. Keď sa šírka okna zväčšuje, vypočítaná transformácia bude užšia.

aplikácia

Výpočet základného riešenia

Diskrétna Fourierova transformácia je mocným nástrojom pri štúdiu diskrétnych sekvencií.

Diskrétna Fourierova transformácia transformuje spojitú premennú funkciu na diskrétnu premennú transformáciu.

Cauchyov problém pre tepelnú rovnicu predstavuje časté pole aplikácie diskrétnej Fourierovej transformácie . Ak je generovaná jadrová funkcia tepla alebo Dirichletovho jadra, ktorá sa vzťahuje na hodnoty odberu vzoriek v definovanom parametri.

Teória signálov

Všeobecný dôvod na použitie diskrétnej Fourierovej transformácie v tejto vetve je hlavne kvôli charakteristickému rozkladu signálu ako nekonečnej superpozície ľahšie liečiteľných signálov.

Môže to byť zvuková vlna alebo elektromagnetická vlna, diskrétna Fourierova transformácia ju vyjadruje v superpozícii jednoduchých vĺn. Toto zastúpenie je v elektrotechnike pomerne časté.

Fourierova séria

Sú to séria definovaná z hľadiska Cosines and Sines. Slúžia na uľahčenie práce so všeobecnými periodickými funkciami. Ak sú aplikované, sú súčasťou techník riešenia obyčajných a parciálnych diferenciálnych rovníc.

Fourierove rady sú ešte všeobecnejšie ako Taylorove rady, pretože vyvíjajú periodické diskontinuálne funkcie, ktoré nemajú Taylorove série reprezentácie.

Iné formy série Fourierov

Na analytické pochopenie Fourierovej transformácie je dôležité preskúmať ďalšie spôsoby, ako možno nájsť Fourierovu sériu, kým nebudeme môcť definovať Fourierovu sériu v jej komplexnom zápise.

-Štyri série o funkcii obdobia 2L:

Interval sa zvažuje, čo poskytuje výhody, keď sa využívajú symetrické charakteristiky funkcií.

Ak je f rovné, Fourierova séria sa vytvorí ako séria Cosines.

Ak je f nepárne, Fourierova séria sa vytvorí ako séria Sines.

- Úplný zápis série Fourierovej

Ak máme funkciu f (t), ktorá spĺňa všetky požiadavky Fourierovej série, je možné ju v intervale označiť pomocou jej komplexného zápisu:

Príklady

Pokiaľ ide o výpočet základného riešenia, uvádzajú sa tieto príklady:

Na druhej strane nasledujú príklady použitia diskrétnej Fourierovej transformácie v oblasti teórie signálov:

- Problémy s identifikáciou systému. Stanovené f a g

-Problem s konzistentnosťou výstupného signálu

-Problémy s filtrovaním signálu

cvičenie

Cvičenie 1

Vypočítajte diskrétnu Fourierovu transformáciu pre nasledujúcu sekvenciu.

Vývodový hriadeľ x môžete definovať ako:

X _t = {4, -j2, 0, J2} pre k = 0, 1, 2, 3,

Cvičenie 2

Chceme určiť spektrálny signál definovaný výrazom x (t) = e ^-t pomocou digitálneho algoritmu . Ak je maximálny koeficient požadovanej frekvencie f _m = 1Hz. Harmonická zodpovedá f = 0,3 Hz Chyba je obmedzená na menej ako 5%. Vypočítajte f _s , D a N.

Berúc do úvahy vzorkovaciu vetu f _s = 2f _m = 2 Hz

Rozlíšenie frekvencia f ₀ = 0,1 Hz je vybraný , z ktorého získavame d = 1 / 0,1 = 10s

0,3 Hz je frekvencia zodpovedajúca indexu k = 3, kde N = 3 x 8 = 24 vzoriek. Naznačuje, že f _s = N / D = 24/10 = 2,4> 2

Pretože cieľom je získať najnižšiu možnú hodnotu pre N, možno považovať za riešenie tieto hodnoty:

f ₀ = 0,3 Hz

D = 1 / 0,3 = 3,33 s

k = 1

N = 1 x 8 = 8

Referencie

1. Zvládnutie diskrétnej Fourierovej transformácie v jednej, dvoch alebo viacerých dimenziách: nástrahy a artefakty. Isaac Amidror. Springer Science & Business Media, 19. júla. 2013
2. DFT: Príručka vlastníkov pre Diskrétnu Fourierovu transformáciu. William L. Briggs, Van Emden Henson. SIAM, 1. januára. devätnásť deväťdesiat päť
3. Digitálne spracovanie signálu: teória a prax. D. Sundararajan. World Scientific, 2003
4. Transformácie a rýchle algoritmy na analýzu a znázornenie signálov. Guoan Bi, Yonghong Zeng. Springer Science & Business Media, 6. decembra. 2012
5. Diskrétne a kontinuálne Fourierove transformácie: analýza, aplikácie a rýchle algoritmy. Eleanor Chu. CRC Press, 19. marca. 2008