LAPLACEOVA TRANSFORMÁCIA: DEFINÍCIA, HISTÓRIA A NA ČO SLÚŽI - MATEMATIKA - 2026

Laplaceova transformácia bola v posledných rokoch veľký význam v inžinierskych štúdií, matematiky, fyziky, okrem iných vedných odborov, rovnako ako je predmetom veľkého záujmu v teórii, poskytuje jednoduchý spôsob, ako vyriešiť problémy, ktoré pochádzajú z veda a strojárstvo.

Laplaceova transformácia bola pôvodne prezentovaná Pierrom Simonom Laplaceom v jeho štúdiu teórie pravdepodobnosti a pôvodne bola považovaná za matematický objekt čisto teoretického záujmu.

Súčasné aplikácie vznikajú, keď sa rôzni matematici snažia dať formálne zdôvodnenie „prevádzkových pravidiel“, ktoré používa Heaviside pri štúdiu rovníc elektromagnetickej teórie.

definícia

Nech f je funkcia definovaná pre t ≥ 0. Laplaceova transformácia je definovaná takto:

O Laplaceovej transformácii sa hovorí, že existuje, ak predchádzajúci integrál konverguje, inak sa o Laplaceovej transformácii hovorí, že neexistuje.

Vo všeobecnosti sa na označenie funkcie, ktorá sa má transformovať, používajú malé písmená a veľké písmeno zodpovedá jej transformácii. Týmto spôsobom budeme mať:

Príklady

Zoberme si konštantnú funkciu f (t) = 1. Máme transformáciu:

Kedykoľvek integrál konverguje, to je kedykoľvek s> 0. Inak, s <0, integrál sa rozvíja.

Nech g (t) = t. Jeho Laplaceova transformácia je daná

Integráciou po častiach a vedomím, že te ^-st má sklon k 0, keď má sklon k nekonečnu as> 0, spolu s predchádzajúcim príkladom máme:

Transformácia môže alebo nemusí existovať, napríklad pre funkciu f (t) = 1 / t integrál, ktorý definuje jeho Laplaceovu transformáciu, nekonverguje, a preto jej transformácia neexistuje.

Dostatočné podmienky na to, aby sa zabezpečilo, že Laplaceova transformácia funkcie f existuje, sú f, ktoré sú po častiach nepretržité pre t ≥ 0 a majú exponenciálny poriadok.

O funkcii sa hovorí, že je po častiach súvislá pre t ≥ 0, keď pre akýkoľvek interval s a> 0 existuje konečný počet bodov t _k, kde f má diskontinuity a je súvislý v každom čiastkovom intervale .

Na druhej strane sa hovorí, že funkcia má exponenciálne poradie c, ak existujú skutočné konštanty M> 0, c a T> 0 také, že:

Ako príklady sme, že f (t) = t ² je exponenciálny poradí, pretože -t ² - <e ^{3 t} pre všetky t> 0.

Formálne máme nasledujúcu vetu

Veta (Dostatočné podmienky pre existenciu)

Ak f je čiastočne spojitá funkcia pre t> 0 a exponenciálneho poriadku c, potom Laplaceova transformácia existuje pre s> c.

Je dôležité poznamenať, že ide o podmienku dostatočnosti, to znamená, že by mohlo dôjsť k tomu, že existuje funkcia, ktorá nespĺňa tieto podmienky a dokonca existuje jej Laplaceova transformácia.

Príkladom toho je funkcia f (t) = t ^-1/2, ktorá nie je po ^častiach spojitá pre t ≥ 0, ale existuje jej Laplaceova transformácia.

Laplaceova transformácia niektorých základných funkcií

V nasledujúcej tabuľke sú uvedené Laplaceove transformácie najbežnejších funkcií.

histórie

Laplaceova transformácia vďačí za svoj názov francúzskemu matematikovi a teoretickému astronomovi Pierrovi-Simonovi Laplaceovi, ktorý sa narodil v roku 1749 a zomrel v roku 1827. Jeho sláva bola taká, že bol známy ako francúzsky Newton.

V roku 1744 Leonard Euler venoval svoje štúdium integrálom s formou

ako riešenie obyčajných diferenciálnych rovníc, ale rýchlo sa vzdal tohto vyšetrovania. Neskôr Joseph Louis Lagrange, ktorý veľmi obdivoval Eulera, tiež skúmal tieto typy integrálov a spájal ich s teóriou pravdepodobnosti.

1782, Laplace

V roku 1782 Laplace začal študovať také integrály ako riešenia diferenciálnych rovníc a podľa historikov sa v roku 1785 rozhodol preformulovať problém, ktorý neskôr spôsobil Laplaceove transformácie, ako sa dnes chápu.

Vedci boli predstavení v oblasti teórie pravdepodobnosti a vedci sa v tom čase vôbec nezaujímali a považovali sa iba za matematický objekt, ktorý má iba teoretický význam.

Oliver Heaviside

To bolo v polovici 19. storočia, keď anglický inžinier Oliver Heaviside zistil, že s diferenciálnymi operátormi sa dá zaobchádzať ako s algebraickými premennými, čo dáva Laplaceovi transformáciu ich modernej aplikácie.

Oliver Heaviside bol anglický fyzik, elektrotechnik a matematik, ktorý sa narodil v Londýne v roku 1850 a zomrel v roku 1925. Zatiaľ čo sa snažil riešiť problémy diferenciálnej rovnice aplikované na teóriu vibrácií a pomocou Laplaceových štúdií, začal formovať Moderné aplikácie Laplaceových transformácií.

Výsledky, ktoré predstavil Heaviside, sa rýchlo šírili po celej vedeckej komunite tej doby, ale keďže jeho práca nebola rigorózna, bol viac kritizovaný tradičnejšími matematikmi.

Užitočnosť Heavisidovej práce pri riešení rovníc vo fyzike však spôsobila popularitu jeho metód u fyzikov a technikov.

Napriek týmto neúspechom a po niekoľkých desaťročiach neúspešných pokusov, začiatkom 20. storočia bolo možné dôkladne odôvodniť prevádzkové pravidlá, ktoré vydal Heaviside.

Tieto pokusy priniesli ovocie vďaka úsiliu rôznych matematikov, medzi inými Bromwich, Carson, van der Pol.

vlastnosti

Medzi vlastnosti Laplaceovej transformácie vynikajú nasledujúce:

linearita

Nech c1 a c2 sú konštanty a funkcie f (t) ag (t), ktorých Laplaceove transformácie sú F (s) a G (s), potom máme:

Vďaka tejto vlastnosti sa Laplaceova transformácia považuje za lineárny operátor.

príklad

Prvá veta prekladu

Ak sa to stane, že:

A „a“ je akékoľvek skutočné číslo, takže:

príklad

Pretože Laplaceova transformácia cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4), potom:

Druhá veta prekladu

Áno

tak

príklad

Ak f (t) = t ^ 3, potom F (s) = 6 / s ^ 4. A preto transformácia

je G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

Zmena mierky

Áno

A „a“ je nenulový, musíme

príklad

Pretože transformácia f (t) = sin (t) je F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), máme túto

Laplaceova transformácia derivátov

Ak f, f ', f' ', …, f ⁽ⁿ⁾ sú spojité pre t ≥ 0 a sú exponenciálneho poriadku a f ⁽ⁿ⁾ (t) je po častiach spojité pre t ≥ 0, potom

Laplaceova transformácia integrálov

Áno

tak

Násobenie t

Ak musíme

tak

Delenie t

Ak musíme

tak

Periodické funkcie

Nech f je periodická funkcia s periódou T> 0, teda f (t + T) = f (t)

Správanie F (s) má sklon k nekonečnu

Ak je f nepretržité po častiach a exponenciálnom poradí a

tak

Inverzné transformácie

Keď aplikujeme Laplaceovu transformáciu na funkciu f (t), dostaneme F (s), ktoré predstavujú túto transformáciu. Rovnakým spôsobom môžeme povedať, že f (t) je inverzná Laplaceova transformácia F (s) a je napísaná ako

Vieme, že Laplaceove transformácie f (t) = 1 ag (t) = t sú F (s) = 1 / sa G (s) = 1 / s ² , preto máme

Niektoré bežné inverzné Laplaceove transformácie sú nasledujúce

Okrem toho je inverzná Laplaceova transformácia lineárna, to znamená, že je to pravda

cvičenie

Nájsť

Na vyriešenie tohto cvičenia musíme priradiť funkciu F (s) k jednej z predchádzajúcich tabuliek. V tomto prípade, ak vezmeme + 1 = 5 a použijeme vlastnosť linearity inverznej transformácie, vynásobíme a delíme 4! získanie

Pri druhej inverznej transformácii použijeme parciálne zlomky na prepísanie funkcie F (s) a potom vlastnosti linearity, čím získame

Ako vidíme z týchto príkladov, je bežné, že funkcia F (s), ktorá je hodnotená, sa presne nezhoduje so žiadnou z funkcií uvedených v tabuľke. Ako je vidieť, pre tieto prípady stačí prepísať funkciu, až kým nedosiahne príslušnú formu.

Aplikácia Laplaceovej transformácie

Diferenciálne rovnice

Hlavnou aplikáciou Laplaceových transformácií je riešenie diferenciálnych rovníc.

Použitím vlastnosti transformácie derivátu je zrejmé, že

Y derivátov n-1 vyhodnotených pri t = 0.

Táto vlastnosť robí transformáciu veľmi užitočnou pri riešení problémov s počiatočnými hodnotami, keď sú zapojené diferenciálne rovnice s konštantnými koeficientmi.

Nasledujúce príklady ukazujú, ako použiť Laplaceovu transformáciu na riešenie diferenciálnych rovníc.

Príklad 1

Vzhľadom na nasledujúci problém s počiatočnou hodnotou

Na nájdenie riešenia použite Laplaceovu transformáciu.

Laplaceovu transformáciu aplikujeme na každého člena diferenciálnej rovnice

Vlastníctvom transformácie derivátu máme

Vyvíjaním všetkých výrazov a vymazaním Y (y), ktoré máme

Pomocou čiastkových zlomkov prepíšeme pravú stranu rovnice, ktorú dostaneme

Naším cieľom je nájsť funkciu y (t), ktorá vyhovuje diferenciálnej rovnici. Výsledkom je inverzná Laplaceova transformácia

Príklad 2

vyriešiť

Rovnako ako v predchádzajúcom prípade aplikujeme transformáciu na obidve strany rovnice a na jednotlivé termíny.

Takto máme výsledok

Náhrada za dané počiatočné hodnoty a riešenie pre Y (y)

Pomocou jednoduchých zlomkov môžeme rovnicu prepísať nasledujúcim spôsobom

Výsledkom je inverzná Laplaceova transformácia

V týchto príkladoch je možné nesprávne vyvodiť záver, že táto metóda nie je o nič lepšia ako tradičné metódy riešenia diferenciálnych rovníc.

Výhody Laplaceovej transformácie spočívajú v tom, že nemusíte používať variácie parametrov ani sa obávať rôznych prípadov metódy neurčeného koeficientu.

Okrem toho pri riešení problémov s počiatočnou hodnotou touto metódou od začiatku používame počiatočné podmienky, takže nie je potrebné vykonať ďalšie výpočty, aby sme našli konkrétne riešenie.

Systémy diferenciálnych rovníc

Laplaceova transformácia sa môže tiež použiť na nájdenie riešení súčasných bežných diferenciálnych rovníc, ako ukazuje nasledujúci príklad.

príklad

vyriešiť

Pri počiatočných podmienkach x (0) = 8 a y (0) = 3.

Ak musíme

tak

Výsledkom je riešenie

A použitím inverznej Laplaceovej transformácie, ktorú máme

Mechanika a elektrické obvody

Laplaceova transformácia má veľký význam vo fyzike, má hlavne aplikácie pre mechaniku a elektrické obvody.

Jednoduchý elektrický obvod sa skladá z nasledujúcich prvkov

Spínač, batéria alebo zdroj, induktor, rezistor a kondenzátor. Keď je spínač zatvorený, vytvára sa elektrický prúd, ktorý je označený i (t). Náboj na kondenzátore je označený q (t).

Podľa Kirchhoffovho druhého zákona musí byť napätie produkované zdrojom E v uzatvorenom obvode rovné súčtu každého z poklesov napätia.

Elektrický prúd i (t) súvisí s nábojom q (t) na kondenzátore i = dq / dt. Na druhej strane úbytok napätia v každom z prvkov je definovaný takto:

Úbytok napätia na odpore je iR = R (dq / dt)

Pokles napätia cez induktor je L (di / dt) = L (d ² q / dt ² )

Úbytok napätia na kondenzátore je q / C

S týmito údajmi a použitím Kirchhoffovho druhého zákona na jednoduchý uzavretý obvod sa získa diferenciálna rovnica druhého poriadku, ktorá popisuje systém a umožňuje nám určiť hodnotu q (t).

príklad

Induktor, kondenzátor a rezistor sú spojené s batériou E, ako je to znázornené na obrázku. Induktorom sú 2 sliepky, kondenzátor je 0,02 Farad a odpor je 16 ohmov. V čase t = 0 je obvod uzavretý. Nájdite náboj a prúd kedykoľvek t> 0, ak E = 300 voltov.

Máme diferenciálnu rovnicu, ktorá popisuje tento obvod

Ak sú počiatočné podmienky q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Použitím Laplaceovej transformácie to dosiahneme

A riešenie pre Q (t)

Potom použijeme inverznú Laplaceovu transformáciu, ktorú máme

Referencie

1. G. Holbrook, J. (1987). Laplaceova transformácia pre technikov elektroniky. Limusa.
2. Ruiz, LM a Hernandez, MP (2006). Diferenciálne rovnice a Laplaceova transformácia s aplikáciami. Redakčné UPV.
3. Simmons, GF (1993). Diferenciálne rovnice s aplikáciami a historické poznámky. McGraw-Hill.
4. Spiegel, MR (1991). Laplaceova transformácia. McGraw-Hill.
5. Zill, GR a Cullen, MR (2008). Diferenciálne rovnice s problémami s hraničnými hodnotami. Cengage Learning Editores, SA