FOURIEROVA TRANSFORMÁCIA: VLASTNOSTI, APLIKÁCIE, PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2026

Fourierova transformácia je analytická metóda primeranosť orientovaná na integrovateľných funkcií, ktoré patria do rodiny integrálne transformácie. Pozostáva z redefinície funkcií f (t) v zmysle Cos (t) a Sen (t).

Trigonometrické identity týchto funkcií spolu s ich derivačnými a antiderivačnými charakteristikami slúžia na definovanie Fourierovej transformácie prostredníctvom tejto komplexnej funkcie:

To platí, pokiaľ má výraz zmysel, to znamená, keď je nesprávny integrál konvergentný. Algebraicky sa Fourierova transformácia považuje za lineárny homeomorfizmus.

Každá funkcia, ktorá sa dá spracovať Fourierovou transformáciou, musí byť mimo definovaného parametra null.

vlastnosti

Zdroj: pexely

Fourierova transformácia spĺňa nasledujúce vlastnosti:

existencie

Na overenie existencie Fourierovej transformácie vo funkcii f (t) definovanej v skutočnostiach R musia byť splnené tieto 2 axiómy:

1. f (t) je po častiach nepretržité pre všetky R
2. f (t) je integrovateľná v R

Fourierova transformačná linearita

Nech M (t) a N (t) sú ľubovoľné dve funkcie s definitívnou Fourierovou transformáciou, s konštantami a a b.

F (z) = a F (z) + bF (z)

K čomu prispieva aj linearita integrálu s rovnakým menom.

Fourierova transformácia derivátu

Existuje funkcia f, ktorá je nepretržitá a integrovateľná do všetkých skutočností, kde:

A derivát f (f ') je spojitý a po častiach je definovaný v celom R

Fourierova transformácia derivátu je definovaná integráciou pomocou častí, nasledujúcim výrazom:

F (z) = iz F (z)

V deriváciách vyššieho poriadku sa bude uplatňovať homologickým spôsobom, pričom pre všetky n 1 máme:

F (z) = (iz) ⁿ F (z)

Fourierova transformačná diferenciácia

Existuje funkcia f, ktorá je nepretržitá a integrovateľná do všetkých skutočností, kde:

Fourierova transformácia prekladu

Pre každú 9, ktorá patrí do množiny S a T, ktorá patrí do množiny S ', máme:

F = e- ^iay FF = e- ^iax F

S τ pracuje ako operátor prekladu na vektora a.

Preklad Fourierovej transformácie

Pre každú 9, ktorá patrí do množiny S a T, ktorá patrí do množiny S ', máme:

τ _a F = F τ _a F = F

Pre všetky z nich patrí R

Fourierova transformácia mierkovej skupiny

Pre všetky 9, ktoré patria do množiny S. T, ktoré patria do množiny S '

λ patriace k R - {0} máme:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ )

F = (1 / -λ-) F (y / λ )

Ak f je spojitá a jasne integrovateľná funkcia, kde a> 0. Potom:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

Na preukázanie tohto výsledku môžeme pokračovať so zmenou premennej.

Keď T → + potom s = at → + ∞

Keď T → - potom s = at → - ∞

symetria

Aby bolo možné študovať symetriu Fourierovej transformácie, musí sa overiť totožnosť Parsevala a Plancherelov vzorec.

Máme θ a δ, ktoré patria S. Odtiaľ môžeme odvodiť, že:

získanie

1 / (2π) ^d { F, F } Parseválna identita

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L ² _R ^d Plancherel vzorec

Fourierova transformácia produktu konvolúcie

Pri sledovaní podobných cieľov ako pri Laplaceovej transformácii sa konvolúcia funkcií vzťahuje na produkt medzi ich Fourierovými transformáciami.

F a g máme ako 2 ohraničené, definované a úplne integrovateľné funkcie:

F (f * g) = F (f). F (g)

F (f). F (g) = F (f. G)

Kontinuita a pokles do nekonečna

Na čo slúži Fourierova transformácia?

Slúži predovšetkým na výrazné zjednodušenie rovníc, zatiaľ čo transformované odvodené výrazy sa transformujú na výkonové prvky a označujú diferenciálne výrazy vo forme integrovateľných polynómov.

Pri optimalizácii, modulácii a modelovaní výsledkov pôsobí ako štandardizovaný výraz, ktorý je po niekoľkých generáciách častým zdrojom inžinierstva.

Fourierova séria

Sú to séria definovaná z hľadiska Cosines and Sines; Slúžia na uľahčenie práce so všeobecnými periodickými funkciami. Ak sú aplikované, sú súčasťou techník riešenia obyčajných a parciálnych diferenciálnych rovníc.

Fourierove rady sú ešte všeobecnejšie ako Taylorove rady, pretože vyvíjajú periodické diskontinuálne funkcie, ktoré nemajú Taylorove série reprezentácie.

Iné formy série Fourierov

Na analytické pochopenie Fourierovej transformácie je dôležité preskúmať ďalšie spôsoby, ako možno nájsť Fourierovu sériu, kým nebudeme môcť definovať Fourierovu sériu v jej komplexnom zápise.

-Štyri série o funkcii periódy 2L

Mnohokrát je potrebné prispôsobiť štruktúru Fourierovej rady periodickým funkciám, ktorých perióda je v intervale p = 2L> 0.

-Štyri série v nepárnych a párnych funkciách

Interval sa zvažuje, čo poskytuje výhody, keď sa využívajú symetrické charakteristiky funkcií.

Ak je f rovné, Fourierova séria sa vytvorí ako séria Cosines.

Ak je f nepárne, Fourierova séria sa vytvorí ako séria Sines.

- Úplný zápis série Fourierovej

Ak máme funkciu f (t), ktorá spĺňa všetky vývojové požiadavky Fourierovej série, je možné ju v intervale označiť pomocou jej komplexného zápisu:

aplikácia

Zdroj: pexely

Výpočet základného riešenia

Fourierova transformácia je výkonným nástrojom pri štúdiu parciálnych diferenciálnych rovníc lineárneho typu s konštantnými koeficientmi. Vzťahujú sa rovnako na funkcie s neobmedzenými doménami.

Rovnako ako Laplaceova transformácia, Fourierova transformácia transformuje funkciu čiastočnej derivácie na obyčajnú diferenciálnu rovnicu, ktorá je oveľa jednoduchšia na ovládanie.

Cauchyov problém pre tepelnú rovnicu predstavuje oblasť častého uplatňovania Fourierovej transformácie, pri ktorej sa vytvára jadro tepla alebo Dirichletova jadrová funkcia.

Pokiaľ ide o výpočet základného riešenia, uvádzajú sa tieto prípady, v ktorých je bežné nájsť Fourierovu transformáciu:

Teória signálov

Všeobecný dôvod na použitie Fourierovej transformácie v tejto vetve je hlavne kvôli charakteristickému rozkladu signálu ako nekonečnej superpozície ľahšie liečiteľných signálov.

Môže to byť zvuková vlna alebo elektromagnetická vlna, Fourierova transformácia ju vyjadruje v superpozícii jednoduchých vĺn. Toto zastúpenie je v elektrotechnike pomerne časté.

Na druhej strane, príklady použitia Fourierovej transformácie v oblasti teórie signálov:

Príklady

Príklad 1

Definujte Fourierovu transformáciu pre nasledujúci výraz:

Môžeme ju tiež reprezentovať nasledujúcim spôsobom:

F (t) = Sen (t)

Obdĺžnikový impulz je definovaný:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

Fourierova transformácia sa aplikuje na nasledujúci výraz, ktorý pripomína modulačnú vetu.

f (t) = p (t) Sen (t)

Kde: F = (1/2) i

Fourierova transformácia je definovaná:

F = (1/2) i

Príklad 2

Definujte Fourierovu transformáciu pre výraz:

Keďže f (h) je sudá funkcia, možno konštatovať, že

Integrácia po častiach sa uplatňuje výberom premenných a ich diferenciálov nasledovne

u = hriech (zh) du = z cos (zh) dh

dv = h (e ^-h ) ² v = (e ^-h ) ² /2

Nahradenie máte

Po vyhodnotení v rámci základnej vety počtu

Použitím predchádzajúcich poznatkov týkajúcich sa diferenciálnych rovníc prvého poriadku je výraz označený ako

Na získanie K hodnotíme

Nakoniec je Fourierova transformácia výrazu definovaná ako

Navrhované cvičenia

• 

• 

• Získajte transformáciu výrazu W / (1 + w ² )

Referencie

1. Duoandikoetxea Zuazo, J., Fourierova analýza. Addison - Wesley Iberoamericana, Autonómna univerzita v Madride, 1995.
2. Levy, JL, matematická analýza a numerické metódy pre vedu a techniku. Springer - Verlag, 1990.
3. Lieb, EH, gaussovské jadrá majú iba gaussovské maximalizátory. Vymýšľať. Math. 102 , 179 - 208, 1990.
4. Dym, H., McKean, HP, Fourierova séria a integrály. Academic Press, New York, 1972.
5. Schwartz, L., Théorie des Distributions. Ed. Hermann, Paríž, 1966.