IZOMETRICKÉ TRANSFORMÁCIE: ZLOŽENIE, TYPY A PRÍKLADY - MATEMATIKA

Tieto izometrické transformácie sú zmeny polohe alebo orientáciu dané číslo, ktoré nemajú vplyv na formu alebo veľkosť. Tieto transformácie sú rozdelené do troch typov: translácia, rotácia a odraz (izometria). Geometrické transformácie vám vo všeobecnosti umožňujú vytvoriť novú postavu z danej.

Transformácia na geometrický útvar znamená, že nejakým spôsobom prešla určitými zmenami; to znamená, že bol zmenený. Podľa zmyslu originálu a podobného v rovine je možné geometrické transformácie rozdeliť na tri typy: izometrické, izomorfné a anamorfné.

vlastnosti

Izometrické transformácie sa vyskytujú, keď sú zachované veľkosti segmentov a uhly medzi pôvodnou postavou a transformovanou postavou.

Pri tomto type transformácie sa nezmení ani tvar ani veľkosť figúry (sú zhodné), jedná sa iba o zmenu jej polohy, či už ide o orientáciu alebo smer. Týmto spôsobom budú počiatočné a konečné čísla podobné a geometricky zhodné.

Izometria znamená rovnosť; inými slovami, geometrické obrázky budú izometrické, ak majú rovnaký tvar a veľkosť.

Pri izometrických transformáciách je jediné, čo je možné pozorovať, zmena polohy v rovine, dôjde k tuhému pohybu, vďaka ktorému sa postava dostane z pôvodnej do konečnej polohy. Tento údaj sa nazýva homologický (podobný) originálu.

Existujú tri typy pohybov, ktoré klasifikujú izometrickú transformáciu: translácia, rotácia a odraz alebo symetria.

druhy

Prekladom

Sú to izometrie, ktoré umožňujú pohyb všetkých bodov roviny v priamom smere v danom smere a vzdialenosti.

Keď je postava transformovaná prekladom, nemení svoju orientáciu vo vzťahu k pôvodnej polohe, ani nestráca svoje vnútorné opatrenia, mieru svojich uhlov a strán. Tento typ posunu je definovaný tromi parametrami:

- Jeden smer, ktorý môže byť vodorovný, zvislý alebo šikmý.

- Jeden smer, ktorý môže byť vľavo, vpravo, hore alebo dole.

- Vzdialenosť alebo veľkosť, čo je dĺžka od počiatočnej polohy po koniec každého bodu, ktorý sa pohybuje.

Na splnenie izometrickej transformácie transláciou musia byť splnené tieto podmienky:

- Na obrázku sa musia vždy zachovať všetky jeho rozmery, lineárne aj uhlové.

- obrázok nezmení svoju polohu vzhľadom na vodorovnú os; to znamená, že jeho uhol sa nikdy nemení.

- Preklady sa vždy zhrnú do jedného, bez ohľadu na počet vykonaných prekladov.

V rovine, kde stred je bod O so súradnicami (0,0), je posun definovaný vektorom T (a, b), ktorý označuje posun počiatočného bodu. To znamená:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Napríklad, ak sa na súradnicový bod P (8, -2) použije preklad T (-4, 7), získame:

P (8, -2) + T (-4,7) = P '= P' (4, 5)

Na nasledujúcom obrázku (vľavo) je vidieť, ako sa bod C posunul tak, aby sa časovo zhodoval s D. Urobil to vo vertikálnom smere, smer bol nahor a vzdialenosť alebo veľkosť CD bola 8 metrov. Na pravom obrázku je pozorovaný preklad trojuholníka:

Rotáciou

Sú to izometrie, ktoré umožňujú figúre otáčať všetky body roviny. Každý bod sa otáča po oblúku, ktorý má konštantný uhol a pevný bod (stred otáčania).

To znamená, že celá rotácia bude definovaná podľa svojho stredu rotácie a uhla rotácie. Keď je postava transformovaná rotáciou, zachováva si mieru svojich uhlov a strán.

Rotácia nastáva v určitom smere, je pozitívna, keď je rotácia proti smeru hodinových ručičiek (v opačnom smere, ako sa otáčajú ruky hodín) a záporná, keď je rotácia v smere hodinových ručičiek.

Ak sa bod (x, y) otáča vzhľadom na pôvod - to znamená, že jeho stred rotácie je (0,0) -, pod uhlom 90 ^alebo 360 ^alebo súradnice bodov budú:

V prípade, že rotácia nemá stred pôvodu, musí sa pôvod súradnicového systému presunúť do nového daného pôvodu, aby bolo možné otočiť číslo so začiatkom ako stred.

Napríklad, ak sa použije bod P (-5,2), otočenie o 90 ^alebo , okolo pôvodu a pozitívne, jeho nové súradnice sú (-2,5).

Odrazom alebo symetriou

Sú to tie premeny, ktoré invertujú body a postavy roviny. Táto inverzia môže byť vo vzťahu k bodu alebo môže ísť aj o priamku.

Inými slovami, pri tomto type transformácie je každý bod pôvodného obrázku spojený s ďalším bodom (obrazom) homologického útvaru tak, že bod a jeho obraz sú v rovnakej vzdialenosti od čiary nazývanej os symetrie. ,

Ľavá časť obrázka bude teda odrazom pravej časti bez zmeny jeho tvaru alebo rozmerov. Symetria transformuje postavu na inú rovnú, ale v opačnom smere, ako vidno na nasledujúcom obrázku:

Symetria je prítomná v mnohých aspektoch, napríklad v niektorých rastlinách (slnečnice), zvieratách (páv) a prírodných javoch (snehové vločky). Ľudská bytosť to odráža na jeho tvári, ktorá je považovaná za faktor krásy. Odraz alebo symetria môžu byť dvoch typov:

Centrálna symetria

Je to taká transformácia, ktorá nastáva vzhľadom na bod, v ktorom môže postava zmeniť svoju orientáciu. Každý bod pôvodnej postavy a jej obrázok sú v rovnakej vzdialenosti od bodu O, ktorý sa nazýva stred symetrie. Symetria je ústredná, keď:

- Bod a jeho obraz aj stred patria do tej istej línie.

- S otočením o 180 ^o od stredu O sa získa číslo rovné originálu.

- Čiary počiatočného obrázku sú rovnobežné s čiarami vytvoreného obrázka.

- Zmysel pre obrázok sa nemení, bude vždy v smere hodinových ručičiek.

Zloženie rotácie

Zloženie dvoch zákrut s rovnakým stredom má za následok ďalšie zákruty, ktoré majú rovnaké stredy a ktorých amplitúda bude súčtom amplitúd týchto dvoch zákrut.

Ak má stred zákrut rôzne stred, bude stred zákruty rezom dvoch segmentov podobných bodov.

Zloženie symetrie

V takom prípade bude zloženie závisieť od spôsobu jeho použitia:

- Ak sa rovnaká symetria použije dvakrát, výsledkom bude identita.

- Ak sa použijú dve symetrie vzhľadom na dve rovnobežné osi, výsledkom bude preklad a jeho posun je dvojnásobkom vzdialenosti týchto osí:

- Ak sa použijú dve symetrie s ohľadom na dve osi, ktoré sa prelínajú v bode O (stred), dosiahne sa rotácia so stredom v bode O a jeho uhol bude dvakrát väčší ako uhol tvorený osami:

Referencie

V Bourgeois, JF (1988). Materiály na konštrukciu geometrie. Madrid: Syntéza.
Cesar Calavera, IJ (2013). Technický nákres II. Paraninfo SA: Vydanie veže.
Coxeter, H. (1971). Základy geometrie. Mexiko: Limusa-Wiley.
Coxford, A. (1971). Geometrický prístup transformácie. USA: Laidlaw Brothers.
Liliana Siñeriz, RS (2005). Indukcia a formalizácia vo výučbe rigidných transformácií v prostredí CABRI.
, PJ (1996). Skupina izometrií roviny. Madrid: Syntéza.
Suárez, AC (2010). Transformácie v rovine. Gurabo, Portoriko: AMCT.

IZOMETRICKÉ TRANSFORMÁCIE: ZLOŽENIE, TYPY A PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2026