TESSELÁCIE: CHARAKTERISTIKA, TYPY (PRAVIDELNÉ, NEPRAVIDELNÉ), PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2026

Tieto obklady sú potiahnuté povrchy jeden alebo viac údajov zvanej mozaikové kamene. Sú všade: v uliciach a budovách všetkého druhu. Tessera alebo dlaždice sú ploché kusy, zvyčajne polygóny s zhodnými alebo izometrickými kópiami, ktoré sú umiestnené podľa pravidelného vzoru. Týmto spôsobom nezostanú žiadne odkryté miesta a dlaždice alebo mozaiky sa neprekrývajú.

V prípade, že sa použije jeden typ mozaiky tvorenej pravidelným mnohouholníkom, potom sa jedná o pravidelnú tesseláciu, ale ak sa použijú dva alebo viac typov pravidelných polygónov, potom ide o polopravidelnú tesseláciu.

Obrázok 1. Dlažba s nepravidelným teselovaním, pretože obdĺžniky sú nepravidelné mnohouholníky, aj keď sú štvorce. Zdroj: Pixabay.

Nakoniec, keď mnohouholníky, ktoré tvoria tesselácie, nie sú pravidelné, potom ide o nepravidelnú tesseláciu.

Najbežnejším typom mozaiky je obdĺžniková a najmä štvorcová mozaika. Na obrázku 1 máme dobrý príklad.

História teselov

Tesselácia sa používa už tisíce rokov na pokrytie podláh a stien palácov a chrámov rôznych kultúr a náboženstiev.

Napríklad Sumerská civilizácia, ktorá prekvitala okolo roku 3500 pred Kr. Južne od Mezopotámie, medzi riekami Eufrat a Tigris, používala vo svojej architektúre tesselácie.

Obrázok 2. Sumerské teselace pri bráne Istar. Zdroj: Wikimedia Commons.

Tesselácie tiež vyvolali záujem matematikov všetkých vekových skupín: počnúc Archimedesom v 3. storočí pred Kristom, nasledovaným Johannesom Keplerom v roku 1619, Camille Jordan v roku 1880, až po súčasné časy s Rogerom Penroseom.

Penrose vytvorila neperiodickú tesseláciu známu ako Penrose tessellation. Toto je len niekoľko mien vedcov, ktorí veľa prispeli k mozaike.

Pravidelné mozaiky

Pravidelné mozaiky sa robia iba s jedným typom pravidelného mnohouholníka. Na druhej strane, aby sa teselace považovalo za pravidelné, každý bod roviny musí:

- Do vnútra mnohouholníka

- Alebo k okraju dvoch susedných polygónov

- Nakoniec môže patriť do spoločného vrcholu najmenej troch polygónov.

S vyššie uvedenými obmedzeniami je možné preukázať, že pravidelnú mozaiku môžu tvoriť iba rovnostranné trojuholníky, štvorce a šesťuholníky.

názvoslovie

Existuje nomenklatúra označujúca teselace, ktorá pozostáva zo zoznamu v smere hodinových ručičiek a oddeleného bodom, počtom strán polygónov, ktoré obklopujú každý uzol (alebo vrchol) teselov, vždy začínajúc mnohouholníkom s najnižším počtom. boky.

Táto nomenklatúra sa vzťahuje na pravidelné a polopravidelné tesselácie.

Príklad 1: Trojuholníková teselácia

Obrázok 3 zobrazuje pravidelnú trojuholníkovú mozaiku. Je potrebné poznamenať, že každý uzol trojuholníkovej mozaiky je spoločným vrcholom šiestich rovnostranných trojuholníkov.

Spôsob označovania tohto typu mozaiky je 3.3.3.3.3.3, ktorý sa označuje aj 3 ⁶ .

Obrázok 3. Pravidelná trojuholníková mozaika 3.3.3.3.3.3. Zdroj: wikimedia commons

Príklad 2: Štvorcová mozaika

Obrázok 4 zobrazuje pravidelnú mozaiku zloženú iba zo štvorcov. Je potrebné poznamenať, že každý uzol v mozaike je obklopený štyrmi zhodnými štvorcami. Zápis, ktorý sa uplatňuje na tento typ štvorcovej mozaiky, je: 4.4.4.4 alebo prípadne 4 ⁴

Obrázok 4. Štvorcová mozaika 4.4.4.4. Zdroj: wikimedia commons.

Príklad 3: Šesťhranná teselácia

V šesťuholníkové mozaikovanie je každý uzol obklopený troma pravidelných šesťuholníkov, ako je znázornené na obrázku 5. Nomenklatúra pre pravidelné hexagonálne mozaikovanie je 6.6.6 alebo alternatívne 6 ³ .

Obrázok 5. Šesťuholníkový teselace 6.6.6. Zdroj: wikimedia commons.

Polopravidelné mozaiky

Polopravidelné alebo archimedské tesselácie pozostávajú z dvoch alebo viacerých typov pravidelných polygónov. Každý uzol je obklopený typmi polygónov, ktoré vytvárajú mozaiku, vždy v rovnakom poradí a okrajový stav je úplne zdieľaný so susedom.

Existuje osem polopravidelných teselov:

1. 3.6.3.6 (trihexagonálna teselácia)
2. 3.3.3.3.6 (tupé šesťhranné teselovanie)
3. 3.3.3.4.4 (predĺžená trojuholníková teselácia)
4. 3.3.4.3.4 (tupé štvorcové tupé hrany)
5. 3.4.6.4 (kosoštvorec-tri-hexagonálna tesselácia)
6. 4.8.8 (skrátená štvorcová mozaika)
7. 3.12.12 (skrátená šesťuholníková teselácia)
8. 4.6.12 (skrátená trojhexagonálna teselácia)

Niektoré príklady polopravidelných teselov sú uvedené nižšie.

Príklad 4: Trojhexagonálna teselácia

Je to ten, ktorý sa skladá z rovnostranných trojuholníkov a pravidelných šesťuholníkov v štruktúre 3.6.3.6, čo znamená, že uzol tesselácie je obklopený (až do dokončenia jednej zákruty) trojuholníkom, šesťuholníkom, trojuholníkom a šesťuholníkom. Obrázok 6 zobrazuje takúto mozaiku.

Obrázok 6. Trojhexagonálna mozaika (3.6.3.6) je príkladom polopravidelnej mozaiky. Zdroj: Wikimedia Commons.

Príklad 5: Tupé šesťuholné tupé spojenie

Podobne ako v predchádzajúcom príklade, aj táto sa skladá z trojuholníkov a šesťuholníkov, ale ich rozloženie okolo uzla je 3.3.3.3.6. Obrázok 7 jasne ilustruje tento typ mozaiky.

Obrázok 7. Tupý šesťuholníkový útvar sa skladá zo šesťuholníka obklopeného 16 trojuholníkmi v konfigurácii 3.3.3.3.6. Zdroj: Wikimedia Commons.

Príklad 6: kosoštvorec-tri-hexagonálna teselácia

Je to mozaika pozostávajúca z trojuholníkov, štvorcov a šesťuholníkov v konfigurácii 3.4.6.4, ktorá je zobrazená na obrázku 8.

Obrázok 8. Polopravidelná teselácia zložená z trojuholníka, štvorca a šesťuholníka v konfigurácii 3.4.6.4. Zdroj: Wikimedia Commons.

Nepravidelné mozaiky

Nepravidelné mozaiky sú tie, ktoré sú tvorené nepravidelnými polygónmi alebo pravidelnými polygónmi, ale ktoré nespĺňajú kritérium, podľa ktorého je uzol vrcholom najmenej troch polygónov.

Príklad 7

Obrázok 9 zobrazuje príklad nepravidelnej tesselácie, pri ktorej sú všetky polygóny pravidelné a zhodujúce sa. Je nepravidelný, pretože uzol nie je spoločným vrcholom najmenej troch štvorcov a sú tu aj susedné štvorce, ktoré úplne nezdieľajú hranu.

Obrázok 9. Aj keď sú všetky dlaždice zhodnými štvorcami, je to jasný príklad nepravidelnej mozaiky. Zdroj: F. Zapata.

Príklad 8

Rovnobežník ukladá rovný povrch, ale pokiaľ to nie je štvorec, nemôže tvoriť pravidelnú mozaiku.

Obrázok 10. Tesselácia vytvorená rovnobežníkmi je nepravidelná, pretože jej mozaiky sú nepravidelné polygóny. Zdroj: F. Zapata.

Príklad 9

Nepravidelné šesťuholníky so strednou symetriou tesselujú rovnú plochu, ako je znázornené na nasledujúcom obrázku:

Obrázok 11. Šesťuholníky so strednou symetriou, aj keď nie sú pravidelné, zarovnávajú rovinu. Zdroj: F. Zapata.

Príklad 10: teselovanie Káhiry

Je to veľmi zaujímavá mozaika, ktorá sa skladá z päťuholníkov so stranami rovnakej dĺžky, ale s nerovnakými uhlami, z ktorých dva sú priame a ďalšie tri majú 120 °.

Jeho názov pochádza zo skutočnosti, že táto teselacia sa nachádza v chodníku niektorých ulíc Káhiry v Egypte. Obrázok 12 zobrazuje mozaiku v Káhire.

Obrázok 12. Káhira Tessellation. Zdroj: Wikimedia Commons.

Príklad 11: Tesselácia Al-Andalus

Tesselácia v niektorých častiach Andalúzie a severnej Afriky sa vyznačuje okrem okrasných prvkov, ako je vegetácia, geometria a epigrafia.

Teselovanie palácov, ako je Alhambra, sa skladalo z dlaždíc vyrobených z keramických kúskov mnohých farieb s mnohými (ak nie nekonečnými) tvarmi, ktoré sa uvoľnili v geometrických vzoroch.

Obrázok 13. Teselovanie paláca Alhambra. Tartaglia / verejné vlastníctvo

Príklad 12: teselace vo videohrách

Tiež známy ako tesellation, je to jedna z najpopulárnejších noviniek vo videohrách. Ide o vytváranie textúr, ktoré simulujú tesseláciu rôznych scenárov, ktoré sa objavujú na simulátore.

Je to jasný odraz toho, že sa tieto vrstvy naďalej vyvíjajú a prekračujú hranice reality.

Referencie

1. Užite si matematiku. Tessellations. Obnovené z: enjoymatematicas.com
2. Rubinos. Tesselácie vyriešili príklady. Obnovené z: matematicasn.blogspot.com
3. Weisstein, Eric W. "Demiregulárna tesselácia." Weisstein, Eric W, ed. MathWorld. Wolfram Research.
4. Wikipedia. Teselace. Obnovené z: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Pravidelná mozaika. Obnovené z: es.wikipedia.com