BINOMICKÁ VETA: DÔKAZ A PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2026

Binomická veta je rovnica, ktorá nám hovorí, ako vyvinúť výraz tvaru (A + B) ⁿ pre nejaké prirodzené číslo n. Binomický súbor nie je nič iné ako súčet dvoch prvkov, napríklad (a + b). Tiež nám umožňuje poznať pre výraz daný ^k b ^n-k, aký je koeficient, ktorý ho sprevádza.

Táto veta sa bežne pripisuje anglickému vynálezcovi, fyzikovi a matematikovi Sirovi Isaacovi Newtonovi; Boli však nájdené rôzne záznamy, ktoré naznačujú, že jej existencia bola známa už na Blízkom východe, okolo roku 1000.

Kombinatorické čísla

Binomická veta nám matematicky hovorí toto:

V tomto výraze aab sú skutočné čísla a n je prirodzené číslo.

Pred uvedením dema sa pozrime na niektoré základné pojmy, ktoré sú potrebné.

Kombinatorické číslo alebo kombinácie nk sú vyjadrené takto:

Táto forma vyjadruje hodnotu, koľko podmnožín s prvkami k je možné vybrať zo súboru n prvkov. Jeho algebraický výraz je daný:

Pozrime sa na príklad: predpokladajme, že máme skupinu siedmich gúľ, z ktorých dve sú červené a ostatné modré.

Chceme vedieť, koľko spôsobov ich môžeme usporiadať v rade. Jedným zo spôsobov by mohlo byť umiestnenie dvoch červených do prvej a druhej polohy a zvyšných guličiek do zostávajúcich pozícií.

Podobne ako v predchádzajúcom prípade by sme mohli dať červené gule prvú a poslednú pozíciu a ostatné obsadiť modrými guľami.

Teraz je efektívny spôsob, ako spočítať, koľko spôsobov dokážeme usporiadať gule v rade, pomocou kombinatorických čísel. Každú pozíciu vidíme ako prvok nasledujúcej sady:

Potom zostáva len vybrať podskupinu dvoch prvkov, v ktorej každý z týchto prvkov predstavuje pozíciu, ktorú zaujímajú červené gule. Môžeme si vybrať podľa vzťahu poskytnutého:

Týmto spôsobom máme 21 spôsobov, ako si tieto gule objednať.

Všeobecná myšlienka tohto príkladu bude veľmi užitočná pri dokazovaní binomickej vety. Pozrime sa na konkrétny prípad: ak n = 4, máme (a + b) ⁴ , čo nie je nič viac ako:

Pri vývoji tohto produktu nám zostáva súčet podmienok získaných vynásobením jedného prvku každého zo štyroch faktorov (a + b). Budeme teda mať termíny, ktoré budú mať podobu:

Ak sme chceli získať výraz vo forme a ⁴ , musíme sa znásobiť takto:

Všimnite si, že existuje iba jeden spôsob, ako získať tento prvok; ale čo sa stane, keď teraz hľadáme termín formy a ² b ² ? Pretože „a“ a „b“ sú skutočné čísla, a preto je komutatívny zákon platný, existuje jeden spôsob, ako získať tento výraz, vynásobiť sa členmi tak, ako je to znázornené šípkami.

Vykonávanie všetkých týchto operácií je zvyčajne trochu únavné, ale ak vidíme termín „a“ ako kombináciu, kde chceme vedieť, koľko spôsobov si môžeme vybrať dva „a“ zo súboru štyroch faktorov, môžeme použiť myšlienku z predchádzajúceho príkladu. Máme teda nasledujúce:

Preto vieme, že v konečnom rozšírení výrazu (A + B) ⁴ budeme mať presne 6a ² b ² . Pri použití rovnakého nápadu pre ostatné prvky musíte:

Potom pridáme výrazy získané predtým a máme to:

Toto je formálny dôkaz pre všeobecný prípad, keď „n“ je akékoľvek prirodzené číslo.

demonštrácie

Všimnite si, že výrazy, ktoré zostali rozbalením (a + b) ^n, majú tvar a ^k b ^n-k , kde k = 0,1,…, n. Použitím myšlienky z predchádzajúceho príkladu máme spôsob, ako zvoliť premenné «k» premenné «a» faktorov «n»:

Týmto spôsobom automaticky vyberieme nk premenné "b". Z toho vyplýva, že:

Príklady

Čo sa týka jeho vývoja (a + b) ⁵ ?

Pri binomickej vete máme:

Binomická veta je veľmi užitočná, ak máme výraz, v ktorom chceme vedieť, aký je koeficient konkrétneho pojmu bez toho, aby sme museli robiť úplné rozšírenie. Ako príklad môžeme uviesť nasledujúce neznáme: aký je koeficient x ⁷ a ⁹ pri expanzii (x + y) ¹⁶ ?

Pri binomickej vete máme tento koeficient:

Ďalším príkladom by bolo: aký je koeficient x ⁵ a ⁸ pri expanzii (3x-7y) ¹³ ?

Najprv pohodlne prepíšeme výraz; toto je:

Potom pomocou binomickej vety vieme, že hľadaný koeficient je, keď máme k = 5

Ďalším príkladom použitia tejto vety je dôkaz niektorých spoločných identít, ako sú tie, ktoré ďalej spomenieme.

Totožnosť 1

Ak je «n» prirodzené číslo, máme:

Na dôkaz použijeme binomickú vetu, kde «a» a «b» majú hodnotu 1. Potom máme:

Týmto spôsobom sme dokázali prvú identitu.

Totožnosť 2

Ak je „n“ prirodzené číslo, potom

Pri binomickej vete máme:

Ďalšia demonštrácia

Môžeme urobiť iný dôkaz pre binomickú vetu pomocou indukčnej metódy a Pascalovej identity, ktorá nám hovorí, že ak «n» a «k» sú kladné celé čísla, ktoré spĺňajú n ≥ k, potom:

Indukčný dôkaz

Poďme najprv vidieť, že indukčná báza drží. Ak n = 1, máme:

V skutočnosti vidíme, že je splnená. Teraz n = j, aby:

Chceme vidieť, že pre n = j + 1 je pravda, že:

Musíme teda:

Hypotézou vieme, že:

Potom pomocou distribučnej vlastnosti:

Následne pri vývoji každej zo sumácií máme:

Ak sa teraz zoskupíme pohodlne, máme to:

Použitím identity pascalu máme:

Nakoniec upozorňujeme, že:

Preto vidíme, že binomická veta platí pre všetky „n“ patriace k prirodzeným číslam, a tým pádom dôjde aj k dôkazu.

kuriozity

Kombinatorické číslo (nk) sa tiež nazýva binomický koeficient, pretože je to práve koeficient, ktorý sa objavuje pri vývoji binomického (a + b) ⁿ .

Izák Newton dal zovšeobecnenie tejto vety pre prípad, že exponentom je skutočné číslo; Táto veta sa nazýva Newtonova binomická veta.

Už v staroveku bol tento výsledok známy pre konkrétny prípad, v ktorom n = 2. Tento prípad je uvedený v Euclid's Elements.

Referencie

1. Johnsonbaugh Richard. Diskrétna matematika. PHH
2. Kenneth.H. Diskrétna matematika a jej aplikácie. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Diskrétna matematika. McGraw-Hill.
4. Ralph P. Grimaldi. Diskrétna a kombinatorická matematika. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Zelená hviezda Luis. , Diskrétna a kombinatorická matematika Anthropos