VARIGNONOVA VETA: PRÍKLADY A VYRIEŠENÉ CVIČENIA - MATEMATIKA - 2026

Teorém Varignon stanovuje, že ak niektorý štvoruholník sú neustále pripojení stredy na bokoch, rovnobežník je generovaná. Túto vetu formuloval Pierre Varignon a publikoval ju v roku 1731 v knihe Prvky matematiky. “

Publikácia knihy nastala roky po jeho smrti. Pretože to bol Varignon, kto predstavil túto vetu, rovnobežník je pomenovaný po ňom. Veta je založená na euklidovskej geometrii a predstavuje geometrické vzťahy kvadrilaterálov.

Čo je Varignonova veta?

Varignon uviedol, že číslo, ktoré je definované strednými bodmi štvoruholníka, vždy vyústi do rovnobežníka a jeho plocha bude vždy polovicou plochy štvoruholníka, ak je plochá a konvexná. Napríklad:

Na obrázku vidíte štvoruholník s oblasťou X, kde stredy strán sú znázornené písmenami E, F, G a H a po spojení tvoria rovnobežník. Plocha štvoruholníka bude súčtom plôch vytvorených trojuholníkov a polovica tejto plochy zodpovedá ploche rovnobežníka.

Pretože plocha rovnobežníka je polovicou plochy štvoruholníka, je možné určiť obvod rovnobežníka.

Obvod sa teda rovná súčtu dĺžok uhlopriečok štvoruholníka; je to preto, že stredy štvoruholníka budú uhlopriečkami rovnobežníka.

Na druhej strane, ak sú dĺžky uhlopriečok štvoruholníka presne rovnaké, rovnobežník bude kosoštvorec. Napríklad:

Z obrázku je zrejmé, že spojením stredov strán štvoruholníka sa získa kosoštvorec. Na druhej strane, ak sú uhlopriečky štvoruholníka kolmé, rovnobežník bude obdĺžnik.

Rovnobežník bude tiež štvorcom, ak má štvoruholník rovnaké uhlopriečky a sú tiež kolmé.

Veta sa nenaplňuje iba v rovinných štvoruholníkoch, je implementovaná aj v priestorovej geometrii alebo vo veľkých rozmeroch; to znamená v tých štvorkolkách, ktoré nie sú konvexné. Príkladom toho môže byť osemsten, kde stredné body sú ťažiskom každej tváre a tvoria rovnobežnosť.

Týmto spôsobom možno získať spojením stredových bodov rôznych čísiel rovnobežníky. Jednoduchým spôsobom, ako skontrolovať, či je to skutočne pravda, je, že protiľahlé strany musia byť pri vysunutí rovnobežné.

Príklady

Prvý príklad

Rozšírenie protiľahlých strán, aby sa preukázalo, že ide o rovnobežník:

Druhý príklad

Spojením stredu kosoštvorca sa získa obdĺžnik:

Veta sa používa na spojenie bodov umiestnených v strede strán štvoruholníka a môže sa použiť aj na iné typy bodov, napríklad na trisekciu, penta-rez alebo nekonečný počet sekcií ( nth), aby sa strany každého štvoruholníka rozdelili na úmerné úseky.

Riešené cvičenia

Cvičenie 1

Na obrázku máme štvoruholníkovú ABCD oblasti Z, kde stredy strán tejto strany sú PQSR. Skontrolujte, či je vytvorený Varignonov rovnobežník.

Riešenie

Je zrejmé, že spojením bodov PQSR sa vytvorí Varignonov rovnobežník, a to práve preto, že stredový bod štvoruholníka je uvedený vo výroku.

Aby sa to demonštrovalo, najprv sa spoja stredné body PQSR, takže je zrejmé, že sa vytvorí ďalší štvoruholník. Aby ste dokázali, že ide o rovnobežník, musíte nakresliť iba priamku z bodu C do bodu A, aby ste videli, že CA je rovnobežná s PQ a RS.

Podobne, keď sa predlžujú bočné PQRS, je zrejmé, že PQ a RS sú rovnobežné, ako je znázornené na nasledujúcom obrázku:

Cvičenie 2

Máme obdĺžnik tak, aby dĺžky všetkých jeho strán boli rovnaké. Spojením stredov týchto strán sa vytvorí kosoštvorec ABCD, ktorý sa delí dvoma uhlopriečkami AC = 7 cm a BD = 10 cm, ktoré sa zhodujú s rozmermi strán obdĺžnika. Určite plochy kosoštvorca a obdĺžnika.

Riešenie

Pamätajúc na to, že plocha výsledného rovnobežníka je polovicou štvoruholníka, je možné túto oblasť určiť s vedomím, že miera uhlopriečok sa zhoduje so stranami obdĺžnika. Takže musíte:

AB = D

CD = d

_Obdĺžnik = (AB _* CD) = (10 cm _* 7 cm) = 70 cm ²

A _kosoštvorec = _obdĺžnik / 2

_Kosoštvorec = 70 cm ² /2 = 35 cm ²

Cvičenie 3

Na obrázku je štvoruholník, ktorý má spojenie bodov EFGH, sú uvedené dĺžky segmentov. Určite, či je spojenie EFGH rovnobežník.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

HR = 3,94 HA = 2,77

Riešenie

Vzhľadom na to, že sú dané dĺžky segmentov, je možné overiť, či medzi segmentmi existuje primeranosť; to znamená, že viete, či sú rovnobežné a týkajú sa segmentov štvoruholníka takto:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Potom sa kontroluje proporcionalita, pretože:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Podobne pri kreslení čiary z bodu B do bodu D je zrejmé, že EH je rovnobežné s BD, rovnako ako BD je rovnobežné s FG. Na druhej strane je EF rovnobežný s GH.

Preto je možné určiť, že EFGH je rovnobežník, pretože protiľahlé strany sú rovnobežné.

Referencie

1. Andres, T. (2010). Matematická olympiáda - vyšetrenie. Springer. New York.
2. Barbosa, JL (2006). Rovinná euklidovská geometria. SBM. Rio de Janeiro.
3. Howar, E. (1969). Štúdium geometrie. Mexiko: hispánsky - americký.
4. Ramo, GP (1998). Neznáme riešenia problémov s Fermat-Torricelli. ISBN - samostatná práca.
5. Vera, F. (1943). Prvky geometrie. Bogota
6. Villiers, M. (1996). Niektoré dobrodružstvá v euklidovskej geometrii. Južná Afrika.