TORRICELLIHO VETA: Z ČOHO POZOSTÁVA, VZORCE A CVIČENIA - FYZICKÝ - 2026

Veta Torricelli alebo zásada Torricelli uvádza, že rýchlosť kvapaliny vystupujúce z otvoru v stene nádrže alebo kontajnera, je identická so získa objekt je voľne pádu z výšky, ktorá sa rovná ploche bez kvapaliny do otvoru.

Veta je ilustrovaná na nasledujúcom obrázku:

Ilustrácia Torricelliho vety. Zdroj: vlastný.

Kvôli Torricelliho teórii potom môžeme konštatovať, že výstupná rýchlosť kvapaliny cez otvor, ktorý je vo výške h pod voľným povrchom kvapaliny, je daná nasledujúcim vzorcom:

Kde g je gravitačné zrýchlenie a h je výška od otvoru po voľný povrch kvapaliny.

Evangelista Torricelli bol fyzikom a matematikom narodeným v meste Faenza v Taliansku v roku 1608. Torricelli je ocenený vynálezom ortuťového barometra a uznáva sa tu tlaková jednotka nazývaná „torr“, ktorá sa rovná jednému milimetru ortuti. (mm Hg).

Dôkaz vety

V Torricelliho vete a vo vzorci, ktorý udáva rýchlosť, sa predpokladá, že straty viskozity sú zanedbateľné, rovnako ako pri voľnom páde sa predpokladá, že trenie spôsobené vzduchom obklopujúcim padajúci objekt je zanedbateľné.

Vyššie uvedený predpoklad je vo väčšine prípadov primeraný a zahŕňa aj zachovanie mechanickej energie.

Aby sme dokázali vetu, najskôr nájdeme vzorec pre rýchlosť objektu, ktorý sa uvoľní s nulovou počiatočnou rýchlosťou, z rovnakej výšky ako hladina kvapaliny v nádrži.

Zásada zachovania energie sa použije na dosiahnutie rýchlosti padajúceho objektu práve vtedy, keď zostúpi do výšky h rovnej výške z otvoru na voľný povrch.

Pretože nedochádza k žiadnym stratám trením, je platné uplatňovať zásadu zachovania mechanickej energie. Predpokladajme, že padajúci predmet má hmotnosť ma výška h sa meria z výstupnej úrovne kvapaliny.

Padajúci objekt

Keď je objekt uvoľnený z výšky rovnajúcej sa výške voľného povrchu kvapaliny, jeho energia je iba gravitačným potenciálom, pretože jeho rýchlosť je nula, a preto je jeho kinetická energia nulová. Potenciálnu energiu Ep poskytuje:

Ep = mgh

Keď prechádza pred otvorom, jeho výška je nula, potom potenciálna energia je nula, takže má kinetickú energiu Ec danú iba:

Ec = ½ mv ²

Pretože energia je zachovaná Ep = Ec z toho, čo sa získa:

½ mv ² = MGH

Pri riešení rýchlosti v sa získa Torricelliho vzorec:

Kvapalina vychádzajúca z diery

Ďalej nájdeme výstupnú rýchlosť kvapaliny dierou, aby sme ukázali, že sa zhoduje s rýchlosťou, ktorá bola práve vypočítaná pre voľne padajúci predmet.

Z tohto dôvodu sa budeme opierať o Bernoulliho princíp, ktorý nie je ničím iným než zachovaním energie aplikovanej na tekutiny.

Bernoulliho princíp je formulovaný takto:

Interpretácia tohto vzorca je nasledovná:

• Prvý člen predstavuje kinetickú energiu tekutiny na jednotku objemu
• Druhá predstavuje prácu vykonanú tlakom na jednotku prierezovej plochy
• Tretí predstavuje energiu gravitačného potenciálu na jednotku objemu tekutiny.

Keď vychádzame z predpokladu, že ide o ideálnu tekutinu, v turbulentných podmienkach s relatívne nízkymi rýchlosťami, je vhodné potvrdiť, že mechanická energia na jednotku objemu tekutiny je konštantná vo všetkých jej oblastiach alebo prierezoch.

V tomto vzorci V je rýchlosť tekutiny, p hustota kvapaliny, tlak P a z vertikálna poloha.

Na obrázku nižšie je Torricelliho vzorec vychádzajúci z Bernoulliho princípu.

Bernoulliho vzorec aplikujeme na voľný povrch kvapaliny, ktorý označíme (1), a na výstupný otvor, ktorý označíme ako (2). Úroveň nulovej výšky hlavy bola zvolená v jednej rovine s výstupným otvorom.

Za predpokladu, že prierez v (1) je oveľa väčší ako v (2), potom môžeme predpokladať, že rýchlosť klesania kvapaliny v (1) je prakticky zanedbateľná.

Z tohto dôvodu je V ₁ = 0 bola nastavená , tlak, ktorému je tekutina vystavená v kroku (1) je atmosférický tlak a výška meraná od otvoru je h.

Pre výstupnú časť (2) predpokladáme, že výstupná rýchlosť je v, tlak, ktorému je kvapalina vystavená na výstupe, je tiež atmosférický tlak a výstupná výška je nula.

Hodnoty zodpovedajúce častiam (1) a (2) sa nahradia Bernoulliho vzorcom a nastavia sa rovnako. Rovnosť platí, pretože predpokladáme, že tekutina je ideálna a nedochádza k žiadnym stratám viskózneho trenia. Po zjednodušení všetkých výrazov sa získa rýchlosť na výstupnom otvore.

Kolónka hore ukazuje, že získaný výsledok je rovnaký ako výsledok voľne padajúceho predmetu,

Riešené cvičenia

Cvičenie 1

I ) Malé výstupné potrubie z vodnej nádrže je 3 m pod hladinou vody. Vypočítajte výstupnú rýchlosť vody.

Riešenie:

Nasledujúci obrázok ukazuje, ako sa v tomto prípade používa Torricelliho vzorec.

Cvičenie 2

II ) Za predpokladu, že výstupné potrubie z nádrže z predchádzajúceho cvičenia má priemer 1 cm, vypočítajte prietok na výstupe vody.

Riešenie:

Prietok je objem kvapaliny vystupujúcej za jednotku času a vypočítava sa jednoducho vynásobením plochy výstupného otvoru výstupnou rýchlosťou.

Nasledujúci obrázok zobrazuje podrobnosti výpočtu.

Cvičenie 3

III ) Ak viete, zistite, aká vysoká je hladina voľnej vody v nádobe

že v diere na dne nádoby vyteká voda rýchlosťou 10 m / s.

Riešenie:

Aj keď je otvor na dne nádoby, môže sa aplikovať vzorec Torricelli.

Nasledujúci obrázok zobrazuje podrobnosti výpočtov.

Referencie

1. Wikipedia. Torricelliho veta.
2. Hewitt, P. Konceptuálna fyzikálna veda. Piate vydanie .119.
3. Young, Hugh. 2016. Sears-Zemanskyho univerzitná fyzika s modernou fyzikou. 14. vydanie, Pearson. 384.