STEINEROVA VETA: VYSVETLENIE, APLIKÁCIE, CVIČENIA - FYZICKÝ - 2026

Steiner je veta , tiež známy ako paralelný teorém osi posúdiť moment zotrvačnosti rozšíreného telesa, okolo osi, ktorá je rovnobežná s inou prechádzajúcej stredom hmoty objektu.

Objavil ju švajčiarsky matematik Jakob Steiner (1796 - 1863) a uvádza toto: Nech I _CM je moment zotrvačnosti objektu vzhľadom na os prechádzajúcu jeho ťažiskom CM a I _z moment zotrvačnosti vzhľadom na inú os súbežne s tým.

Obrázok 1. Obdĺžnikové dvere, ktoré sa otáčajú na svojich pántoch, majú moment zotrvačnosti, ktorý sa dá vypočítať pomocou Steinerovej vety. Zdroj: Pixabay.

Znalosť vzdialenosti D, ktorá oddeľuje obe osi a hmotnosť M predmetného tela, moment zotrvačnosti vzhľadom na neznámu os je:

Moment zotrvačnosti naznačuje, aké ľahké je otáčať objekt okolo určitej osi. Závisí to nielen od hmotnosti tela, ale aj od toho, ako je distribuované. Z tohto dôvodu je tiež známa ako rotačná zotrvačnosť, ktorá je jej jednotkou v medzinárodnom systéme Kg. m ² .

Veta ukazuje, že moment zotrvačnosti _Iz je vždy väčší ako okamih zotrvačnosti I _CM o množstvo dané MD ² .

aplikácia

Pretože objekt je schopný otáčať sa okolo mnohých osí a v tabuľkách sa zvyčajne uvádza iba moment zotrvačnosti vzhľadom na os prechádzajúcu ťažiskom, Steinerova veta uľahčuje výpočet, keď je potrebné otočiť telá na osi ktoré sa nezhodujú.

Napríklad dvere sa obyčajne neotáčajú okolo osi cez svoje ťažisko, ale okolo bočnej osi, kde sa zachytávajú pánty.

Na základe poznania momentu zotrvačnosti je možné vypočítať kinetickú energiu spojenú s rotáciou okolo uvedenej osi. Ak K je kinetická energia, I moment zotrvačnosti okolo predmetnej osi a ω uhlová rýchlosť, vyplýva z toho, že:

Táto rovnica je veľmi podobná veľmi známe vzorce pre kinetickej energie pre objekt s hmotnosťou M pohybujúce sa rýchlosťou v: K = ½ Mv ² . A je to tak, že moment zotrvačnosti alebo rotačná zotrvačnosť I hrá pri rotácii rovnakú úlohu ako masa M pri translácii.

Dôkaz Steinerovej vety

Moment zotrvačnosti rozšíreného objektu je definovaný ako:

I = ∫ r ² dm

Ak dm je nekonečná desatinná časť hmotnosti a r je vzdialenosť medzi dm a osou rotácie z. Na obrázku 2 táto os prechádza ťažiskom CM, avšak môže byť ľubovoľná.

Obrázok 2. Objekt natiahnutý rotáciou okolo dvoch rovnobežných osí. Zdroj: F. Zapata.

Okolo inej osi Z 'je moment zotrvačnosti:

I _z = ∫ (r ') ² dm

Teraz podľa trojuholníka tvoreného vektormi D , r a r ' (pozri obrázok 2 napravo) existuje súčet vektorov:

r + r ' = D → r' = D - r

Tri vektory ležia v rovine objektu, ktorým môže byť xy. Pôvod súradnicového systému (0,0) sa vyberie v CM na uľahčenie nasledujúcich výpočtov.

Týmto spôsobom je štvorcový modul vektora r ' :

Teraz tento vývoj je substituovaný v integrálu momentu zotrvačnosti I _Z a tiež stanovenie hustoty dm = ρ.dV sa používa:

Termín M. D ² , ktoré sa objavia v steinerova veta pochádza z prvej integrálu, druhým je moment zotrvačnosti okolo osi, ktorá prechádza CM.

Tretie a štvrté integrály majú hodnotu 0, pretože podľa definície predstavujú pozíciu KM, ktorý bol vybraný ako pôvod súradnicového systému (0,0).

Riešené cvičenia

-Riešené cvičenie 1

Obdĺžnikové dvere na obrázku 1 majú hmotnosť 23 kg, šírku 1,30 a výšku 2,10 m. Určte moment zotrvačnosti dverí vzhľadom na os prechádzajúcu cez pánty za predpokladu, že dvere sú tenké a rovnomerné.

Obrázok 3. Schéma pre spracovaný príklad 1. Zdroj: modifikovaný z Pixabay.

Riešenie

Z tabuľky momentov zotrvačnosti pre pravouhlú platňu s hmotnosťou M a rozmermi aab je moment zotrvačnosti vzhľadom na os, ktorá prechádza jej ťažiskom: I _CM = (1/12) M (a ² + b ² ).

Predpokladá sa homogénna brána (približná hodnota, pretože brána na obrázku pravdepodobne nie je). V takom prípade prechádza ťažisko cez svoj geometrický stred. Na obrázku 3 je nakreslená os, ktorá prechádza cez ťažisko a je rovnobežná s osou, ktorá prechádza pántmi.

Aj _CM = (1/12) x 23 kg x (1,30 ² 2,10 ² ) m ² = 11,7 kg.m ²

Aplikácia Steinerovej vety pre zelenú os otáčania:

I = I _CM + Md ² = 11,7 kg.m ² + 23 Kg x 0,652 m ² = 21,4 kg.

-Riešené cvičenie 2

Nájdite moment zotrvačnosti homogénnej tenkej tyče, keď sa otáča okolo osi, ktorá prechádza jedným z jej koncov, pozri obrázok. Je to väčšie alebo menšie ako moment zotrvačnosti, keď sa otáča okolo svojho stredu? Prečo?

Obrázok 4. Schéma pre vyriešený príklad 2. Zdroj: F. Zapata.

Riešenie

Podľa tabuľky momentov zotrvačnosti je moment zotrvačnosti I _CM tenkej tyče s hmotnosťou M a dĺžky L: I _CM = (1/12) ML ²

A Steinerova veta uvádza, že keď sa otáča okolo osi, ktorá prechádza cez jeden koniec D = L / 2, zostáva:

Je väčší, aj keď nie iba dvakrát, ale štyrikrát viac, pretože druhá polovica tyče (na obrázku nie je zatienená) sa otáča a opisuje väčší polomer.

Vplyv vzdialenosti na os otáčania nie je lineárny, ale kvadratický. Hmota, ktorá je dvakrát vzdialenosť ako ďalšie bude mať moment zotrvačnosti v pomere k (2D) ² = 4D ² .

Referencie

1. Bauer, W. 2011. Fyzika pre techniku ​​a vedu. Zväzok 1. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Štátna univerzita v Georgii. Rotačný pohyb. Získané z: phys.nthu.edu.tw.
3. Paralelná osová veta. Získané z: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Rex, A. 2011. Základy fyziky. Pearson. 190-200.
5. Wikipedia. Paralelná osová veta. Obnovené z: en.wikipedia.org