MOIVREHO VETA: DÔKAZOVÉ A VYRIEŠENÉ CVIČENIA - MATEMATIKA - 2026

Veta Moivre aplikovanej algebry základných procesov, ako je napríklad síl a extrakciou koreňov v komplexných čísel. Vetu uviedol renomovaný francúzsky matematik Abraham de Moivre (1730), ktorý spájal komplexné čísla s trigonometriou.

Abraham Moivre vytvoril toto spojenie prostredníctvom prejavov sínus a kosinus. Tento matematik vytvoril určitý vzorec, prostredníctvom ktorého je možné zvýšiť komplexné číslo z na mocninu n, čo je kladné celé číslo väčšie alebo rovné 1.

Čo je Moivreho veta?

Moivreho veta uvádza toto:

Ak máme komplexné číslo v polárnej forme z = r _Ɵ , kde r je modul komplexného čísla z a uhol Ɵ sa nazýva amplitúda alebo argument ľubovoľného komplexného čísla s 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, na výpočet jeho n– Sila nebude potrebné ju násobiť n-krát; to znamená, že nie je potrebné vyrábať tento produkt:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*. , . *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *. , . *} r _Ɵ n-krát.

Naopak, veta hovorí, že keď píšeme z vo svojej trigonometrickej forme, pri výpočte deviatej sily postupujeme nasledovne:

Ak z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), potom z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Napríklad, ak je n = 2, potom Z ² = r ² . Ak je n = 3, potom je z ³ = z ² _* z. tiež:

z ³ = R ² _* r = r ³ .

Týmto spôsobom je možné získať trigonometrické pomery sínusu a kosínu pre násobky uhla, pokiaľ sú známe trigonometrické pomery uhla.

Rovnakým spôsobom sa dá použiť na nájdenie presnejších a menej mätúcich výrazov pre n-tý koreň komplexného čísla z, takže z ⁿ = 1.

Na preukázanie Moivreho vety sa používa princíp matematickej indukcie: ak celé číslo „a“ má vlastnosť „P“ a ak pre akékoľvek celé číslo „n“ väčšie ako „a“, ktoré má vlastnosť „P“ Spĺňa, že n + 1 má tiež vlastnosť „P“, potom všetky celé čísla väčšie alebo rovné „a“ majú vlastnosť „P“.

demonštrácie

Dôkaz vety sa teda vykonáva pomocou nasledujúcich krokov:

Indukčný základ

Najprv sa skontroluje, či je n = 1.

Pretože z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ¹ = r ¹ , veta platí pre n = 1.

Indukčná hypotéza

Vzorec sa považuje za pravdivý pre niektoré kladné celé číslo, tj n = k.

z ^k = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

overenie

Ukázalo sa, že to platí pre n = k + 1.

Vzhľadom k tomu, z ^{k + 1} = Z ^k _* z, potom z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)), ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* senƟ).

Potom sa výrazy vynásobia:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* senƟ)).

Na okamih sa faktor r ^{k + 1} ignoruje a berie sa spoločný faktor i:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sin kƟ) _* (sinƟ).

Pretože i ² = -1, nahradíme ho výrazom a dostaneme:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Teraz sú usporiadané skutočná a imaginárna časť:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i.

Na zjednodušenie vyjadrenia sa na kosínus a sínus, ktoré sú: trigonometrické identity súčtu uhlov, používajú:

cos (A + B) = cos A _* cos B - hriech A _* hriech B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

V tomto prípade sú premenné uhly Ɵ a kƟ. Použitím trigonometrických identít máme:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sin kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = sin (kƟ + Ɵ)

Týmto spôsobom je výraz:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* sin).

Mohlo by sa teda preukázať, že výsledok platí pre n = k + 1. Na základe princípu matematickej indukcie sa dospelo k záveru, že výsledok platí pre všetky kladné celé čísla; to znamená n ≥ 1.

Záporné celé číslo

Moivreho veta sa uplatňuje aj vtedy, keď n ≤ 0. Uvažujme záporné celé číslo «n»; potom "n" môže byť napísané ako "-m", tj n = -m, kde "m" je kladné celé číslo. teda:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^-m

Aby sa exponent «m» získal pozitívne, výraz sa zapíše inverzne:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Teraz sa používa, že ak z = a + b * i je komplexné číslo, potom 1 ÷ z = ab * i. teda:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

Pomocou tohto cos (x) = cos (-x) a -sen (x) = sin (-x) máme:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ =

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

Dá sa teda povedať, že veta platí pre všetky celočíselné hodnoty „n“.

Riešené cvičenia

Výpočet kladných síl

Jednou z operácií s komplexnými číslami v ich polárnej forme je znásobenie dvoma z nich; v takom prípade sa moduly vynásobia a argumenty sa doplnia.

Ak máte dve komplexné čísla z _{1 a} z ₂ a chcete vypočítať (z ₁ * z ₂ ) ² , postupujte takto:

z ₁ z ₂ = *

Distribučné vlastníctvo platí:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i ² _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ).

Sú zoskupené a výraz „i“ sa považuje za spoločný faktor výrazov:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Pretože i ² = -1, je nahradený výrazom:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Reálne výrazy sú zoskupené so skutočnými a imaginárne s imaginárnymi:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Nakoniec platia trigonometrické vlastnosti:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ .

Na záver:

(z ₁ * z ₂ ) ² = (r ₁ r ₂ ) ²

= r ₁ ² r ₂ ² .

Cvičenie 1

Napíšte komplexné číslo v polárnej forme, ak z = - 2 -2i. Potom pomocou Moivreho vety zistite z ⁴ .

Riešenie

Komplexné číslo z = -2 -2i je vyjadrené v obdĺžnikovej forme z = a + bi, kde:

a = -2.

b = -2.

S vedomím, že polárny tvar je z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), musíme určiť hodnotu modulu „r“ a hodnotu argumentu „Ɵ“. Pretože r = √ (a² + b²), sú dané hodnoty nahradené:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2 - 2.

Potom sa na určenie hodnoty «Ɵ» použije obdĺžnikový tvar tohto vzorca, ktorý je daný vzorcom:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Pretože tan (Ɵ) = 1 a máme <0, potom máme:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Pretože hodnota «r» a «Ɵ» už bola získaná, komplexné číslo z = -2 -2i môže byť vyjadrené v polárnej forme nahradením týchto hodnôt:

z = 2 - 2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)).

Teraz používame Moivrovu vetu na výpočet z ⁴ :

z ⁴ = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) ⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sin (5Π)).

Cvičenie 2

Nájdite produkt komplexných čísel jeho vyjadrením v polárnej forme:

z1 = 4 (cos 50 ^o + i _* sin 50 ^o )

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sin 100 ^o ).

Potom vypočítajte (z1 * z2) ².

Riešenie

Najskôr sa vytvorí produkt z uvedených čísel:

z ₁ z ₂ = *

Potom sa moduly znásobia a pridajú sa argumenty:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

Výraz je zjednodušený:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o ).

Nakoniec platí Moivreho veta:

(z1 * z2) 2 = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o )) 2 = 784 (cos 300 ^o + (i _* sin 300 ^o )).

Výpočet záporných síl

Aby sme rozdelili dve komplexné čísla z _{1 a} z ₂ do ich polárnej formy, modul sa rozdelí a argumenty sa odpočítajú. Kvocient je z ₁ ÷ z ₂ a vyjadruje sa takto:

z ₁ ÷ z ₂ = R1 / R2 ().

Rovnako ako v predchádzajúcom prípade, ak chceme vypočítať (z1 ÷ z2) ³, rozdelenie sa najprv vykoná a potom sa použije Moivreho veta.

Cvičenie 3

kocky:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

výpočet (z1 ÷ z2) ³.

Riešenie

Na základe vyššie uvedených krokov možno dospieť k záveru, že:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (n / 2) + i * sin (n / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Referencie

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra a trigonometria s analytickou geometriou. Pearson Education.
2. Croucher, M. (nd). Z Moivreovej vety pre Trig Identity. Projekt demonštrácie spoločnosti Wolfram.
3. Hazewinkel, M. (2001). Encyklopédia matematiky.
4. Max Peters, WL (1972). Algebra a trigonometria.
5. Pérez, CD (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (nd). Lineárna algebra. Graw-Hill.
7. M. (1997). Precalculation. Pearson Education.