Green je veta je výpočtovej metóda používa na pripojenie vedenia integrály dvojitých integrálov alebo povrchovej plochy. Príslušné funkcie musia byť označené ako vektorové polia a definované v rámci cesty C.
Napríklad, riadkový integrálny výraz môže byť veľmi ťažké vyriešiť; implementáciou Greenovej vety sa však dvojité integrály stávajú úplne základnými. Vždy je dôležité rešpektovať pozitívny smer trajektórie, ide o smer proti smeru hodinových ručičiek.
Greenova veta je zvláštnym prípadom Stokesovej vety, kde sa projekcia vektorovej funkcie uskutočňuje v rovine xy.
definícia
Greenova veta je nasledovná:
Prvý výraz predstavuje líniu integrálu definovanú cestou „C“ skalárneho produktu medzi vektorovou funkciou „F“ a vektorovou funkciou „r“.
C: Je to definovaná cesta, na ktorú bude premietaná vektorová funkcia, pokiaľ je definovaná pre túto rovinu.
F: Vektorová funkcia, kde každá z jej zložiek je definovaná funkciou ako takou (f, g).
r: Je to vektor, ktorý sa dotýka oblasti R, nad ktorou je integrál definovaný. V tomto prípade pracujeme s diferenciálom tohto vektora.
V druhom semestri vidíme, ako sa vyvinula Greenova veta, kde sa pozoruje dvojitý integrál definovaný v oblasti R rozdielu parciálnych derivátov g af, vzhľadom na x a y. Rozdielom v oblasti to nie je nič viac ako súčin oboch dvojrozmerných diferenciálov (dx.dy).
Táto veta je dokonale použiteľná pre priestorové a povrchové integrály.
demonštrácie
Aby sme dokázali Greenovu vetu jednoduchým spôsobom, táto úloha bude rozdelená na dve časti. Najprv budeme vychádzať z toho, že vektorová funkcia F má definíciu iba v versore i. Zatiaľ čo funkcia „g“ zodpovedajúca invertoru j sa bude rovnať nule.
autor
F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0
r = x i + y j
dr = dx i + dy j
Najprv vyvineme čiaru integrálnu cez cestu C, pre ktorú bola cesta rozdelená na 2 úseky, ktoré idú najprv z a do b a potom z b do a.
Definícia základnej vety vety sa používa pre určitý integrál.
Výraz je preusporiadaný do jediného integrálu, negatív je spoločný faktor a poradie faktorov je obrátené.
Pri podrobnom pozorovaní tohto výrazu je zrejmé, že pri použití kritérií primitívnej funkcie sme v integráli výrazu odvodeného od f vzhľadom k y. Vyhodnotené v parametroch
Teraz stačí predpokladať, že vektorová funkcia F je definovaná iba pre g (x, y) j . Ak pri prevádzke podobným spôsobom ako v predchádzajúcom prípade sa získa:
Na záver sa urobia 2 dôkazy a spoja sa v prípade, keď vektorová funkcia prevezme hodnoty pre oba invertory. Týmto spôsobom je ukázané, ako môže byť integrál čiary po definovaní a považovaní za jednorozmernú trajektóriu plne rozvinutý pre rovinu a priestor.
F = f (x, y) i + g (x, y) j
Týmto spôsobom je dokázaná Greenova veta.
aplikácia
Aplikácia Greenovej vety je široká v odbore fyzika a matematika. Tieto sa vzťahujú na akúkoľvek aplikáciu alebo použitie, ktoré možno použiť na integráciu do linky.
Mechanická práca vykonaná silou F cez cestu C sa môže vyvinúť pomocou integrálu priamky, ktorý je vyjadrený ako dvojitý integrál oblasti pomocou Greenovej vety.
Okamžiky zotrvačnosti mnohých telies vystavených vonkajším silám v rôznych miestach aplikácie tiež reagujú na líniové integrály, ktoré sa môžu rozvíjať pomocou Greenovej vety.
Toto má viacnásobné funkcionality v štúdiách odolnosti použitých materiálov. Ak sa dajú vonkajšie hodnoty kvantifikovať a zohľadniť pred vývojom rôznych prvkov.
Greenova veta vo všeobecnosti uľahčuje pochopenie a definíciu oblastí, v ktorých sú vektorové funkcie definované s ohľadom na región pozdĺž cesty.
histórie
Publikované bolo v roku 1828 v práci Matematická analýza teórií elektriny a magnetizmu, ktorú napísal britský matematik George Green. V ňom sa skúmajú celkom rozhodujúce oddiely pri aplikácii počtu vo fyzike, ako napríklad pojem potenciálnych funkcií, Greenove funkcie a aplikácie jeho autonómnej vety.
George Green formalizoval jeho študentskú kariéru vo veku 40 rokov, doteraz bol učiteľom matematiky. Po štúdiu na University of Cambridge pokračoval vo svojom výskume a prispieval do akustiky, optiky a hydrodynamiky, ktoré sú stále platné.
Vzťah k iným vetám
Greenova veta je špeciálny prípad a vyplýva z 2 ďalších veľmi dôležitých teórií v oblasti počtu. Toto je Kelvin-Stokesova veta a divergencia alebo Gauss Ostrogradskiho veta.
Počnúc niektorou z týchto dvoch teórií sa dá dospieť k Greenovej vete. Na vypracovanie takýchto dôkazov sú potrebné určité definície a návrhy.
cvičenie
- Nasledujúce cvičenie ukazuje, ako premeniť integrál línie na dvojitý integrál s ohľadom na oblasť R.
Pôvodný výraz je nasledujúci:
Odkiaľ sú prevzaté zodpovedajúce funkcie afag
f (x, y) = x 3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
Neexistuje jediný spôsob, ako definovať hranice integrácie pri použití Greenovej vety. Existujú však spôsoby, ako integrály po definovaní môžu byť jednoduchšie. Preto si optimalizácia integračných limitov zaslúži pozornosť.
Kde pri riešení integrálov získame:
Táto hodnota zodpovedá v kubických jednotkách oblasti pod vektorovou funkciou a nad trojuholníkovou oblasťou definovanou C.
V prípade integrálu linky bez vykonania Greenovej metódy by bolo potrebné parametrizovať funkcie v každej časti regiónu. To znamená, vykonajte 3 parametrizované integrály pre rozlíšenie. To je dostatočný dôkaz o účinnosti, ktorú Robert Green priniesol so svojou vetou do počtu.
Referencie
- Úvod do mechaniky kontinua. W Michael Lai, David H. Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, 23. júla. 2009
- Viacrozmerný počet. James Stewart. Cengage Learning, 22. marca 2011
- Neformálna história Greenovej vety a súvisiacich myšlienok. James Joseph Cross. Katedra matematiky, University of Melbourne, 1975
- Vedenie tepla pomocou zelených funkcií. Kevin D. Cole, James V. Beck, A. Haji-Sheikh, Bahman Litkouhi. Taylor & Francis, 16. júla 2010
- Aplikácia Greenovej vety na extremizáciu lineárnych integrálov. Obranné technické informačné stredisko, 1961