VETA O EXISTENCII A JEDINEČNOSTI: DÔKAZ, PRÍKLADY A CVIČENIA - MATEMATIKA - 2026

Existencia a jednoznačnosť veta zavádza potrebné a dostatočné podmienky pre diferenciálne rovnice prvého rádu s danou počiatočné podmienky, že má roztok a k tomuto roztoku, ktorý sa jediný.

Veta však neuvádza žiadnu techniku ​​ani označenie, ako nájsť také riešenie. Veta o existencii a jedinečnosti sa rozširuje aj na diferenciálne rovnice vyššieho rádu s počiatočnými podmienkami, ktoré sa nazývajú Cauchyho problém.

Obrázok 1. Je uvedená diferenciálna rovnica s počiatočnými podmienkami a jej riešenie. Veta o existencii a jedinečnosti zaručuje, že je to jediné možné riešenie.

Formálne vyhlásenie o existencii a jedinečnosti je takéto:

„Pre diferenciálnu rovnicu y '(x) = f (x, y) s počiatočnou podmienkou y (a) = b existuje aspoň jedno riešenie v obdĺžnikovej oblasti roviny XY, ktorá obsahuje bod (a, b), ak f (x, y) je v tejto oblasti spojité. A ak je čiastkový derivát f vzhľadom na y: g = ∂f / ∂y spojitý v tej istej obdĺžnikovej oblasti, potom je riešenie jedinečné v susedstve bodu (a, b) obsiahnutého v oblasti kontinuity fy g. "

Užitočnosť tejto vety spočíva v prvom rade v poznaní toho, ktoré oblasti roviny XY môžu existovať, a tiež v tom, či nájdené riešenie je jediné možné, alebo či existujú iné.

Všimnite si, že v prípade, že podmienka jedinečnosti nie je splnená, veta nemôže predpovedať, koľko riešení celkovo má Cauchyho problém: možno je to jedno, dve alebo viac.

Dôkaz o existencii a vety jedinečnosti

Obrázok 2. Charles Émile Picard (1856-1941) je označený jedným z prvých dôkazov vety o existencii a jedinečnosti. Zdroj: Wikimedia Commons.

Pre túto vetu sú známe dva možné dôkazy, jeden z nich je dôkaz Charlesa Émile Picarda (1856-1941) a druhý je spôsobený Giuseppe Peanom (1858-1932) na základe diel Augustina Louisa Cauchyho (1789 - 1857). ,

Je pozoruhodné, že najoslnivejšie matematické mysle devätnásteho storočia sa zúčastnili na dôkaze tejto vety, takže je možné intuitívne povedať, že ani jedno z nich nie je jednoduché.

Na formálne preukázanie vety je potrebné najprv vytvoriť rad pokročilejších matematických konceptov, ako sú napríklad Lipschitzovské funkcie, Banachove priestory, Carathéodoryova veta o existencii a niekoľko ďalších, ktoré sú mimo rozsahu tohto článku.

Veľká časť diferenciálnych rovníc, s ktorými sa zaobchádza vo fyzike, sa zaoberá súvislými funkciami v záujmových oblastiach, preto sa obmedzíme na to, ako ukážeme, ako sa teorém aplikuje v jednoduchých rovniciach.

Príklady

- Príklad 1

Uvažujme nasledujúcu diferenciálnu rovnicu s počiatočnou podmienkou:

y '(x) = - y; s y (1) = 3

Existuje riešenie tohto problému? Je to jediné možné riešenie?

odpovede

Najprv sa vyhodnotí existencia riešenia diferenciálnej rovnice a splní sa aj počiatočná podmienka.

V tomto príklade f (x, y) = - a podmienka existencie vyžaduje vedieť, či f (x, y) je spojité v oblasti roviny XY, ktorá obsahuje bod súradníc x = 1, y = 3.

Ale f (x, y) = - y je afinitná funkcia, ktorá je spojitá v oblasti reálnych čísel a existuje v celom rozsahu reálnych čísel.

Preto sa dospelo k záveru, že f (x, y) je spojitá v R ² , takže teorém zaručuje existenciu aspoň jedným roztokom.

S týmto vedomím je potrebné vyhodnotiť, či je riešenie jedinečné alebo či naopak existuje viac ako jedno. Na tento účel je potrebné vypočítať čiastkový derivát f vzhľadom na premennú y:

Potom g (x, y) = -1, ktorý je konštantná funkcia, ktorá je tiež definovaná pre všetky R ² a je tiež spojitá tam. Z toho vyplýva, že veta o existencii a jedinečnosti zaručuje, že tento problém s pôvodnou hodnotou má jedinečné riešenie, hoci nám nehovorí, o čo ide.

- Príklad 2

Zvážte nasledujúcu obyčajnú diferenciálnu rovnicu prvého poriadku s počiatočnou podmienkou:

y '(x) = 2√r; a (0) = 0.

Existuje riešenie y (x) tohto problému? Ak áno, zistite, či existuje jeden alebo viac ako jeden.

odpoveď

Funkciu f (x, y) = 2√y. Funkcia f je definovaná iba pre y≥0, pretože vieme, že zápornému číslu chýba skutočný koreň. Ďalej f (x, y) je spojitá v hornej polrovine R ² je v osi X, tak na existenciu a jedinečnosť veta zaručuje aspoň jedno riešenie v uvedenej oblasti.

Teraz je počiatočná podmienka x = 0, y = 0 na okraji oblasti riešenia. Potom vezmeme parciálnu deriváciu f (x, y) vzhľadom na y:

∂f / ∂y = 1 / √y

V tomto prípade funkcia nie je definovaná pre y = 0, presne tam, kde je počiatočná podmienka.

Čo nám hovorí veta? Hovorí nám, že hoci vieme, že v hornej polovici roviny osi X vrátane osi X existuje aspoň jedno riešenie, pretože podmienka jedinečnosti nie je splnená, neexistuje žiadna záruka, že dôjde k jedinečnému riešeniu.

To znamená, že v oblasti kontinuity f (x, y) by mohlo existovať jedno alebo viac riešení. A ako vždy, veta nám nehovorí, čo by mohli byť.

Riešené cvičenia

- Cvičenie 1

Riešenie Cauchyho problému v príklade 1:

y '(x) = - y; s y (1) = 3.

Nájdite funkciu y (x), ktorá spĺňa diferenciálnu rovnicu a počiatočnú podmienku.

Riešenie

V príklade 1 sa zistilo, že tento problém má riešenie a je tiež jedinečný. Pri hľadaní riešenia je potrebné poznamenať, že ide o diferenciálnu rovnicu prvého stupňa oddeliteľných premenných, ktorá je napísaná takto:

Rozdelenie medzi členmi a medzi nimi, aby sme oddelili premenné, ktoré máme:

Neurčitý integrál sa používa u oboch členov:

Riešenie neurčitých integrálov máme:

kde C je konštanta integrácie, ktorá je určená pôvodnou podmienkou:

Nahradenie hodnoty C a zmena usporiadania zostáva:

Použitie tejto vlastnosti logaritmov:

Vyššie uvedený výraz možno prepísať takto:

Exponenciálna funkcia so základňou e v oboch členoch sa používa na získanie:

y / 3 = e ^{(1 - x)}

Čo zodpovedá:

y = 3e e ^-x

Toto je jedinečné riešenie rovnice y '= -y s y (1) = 3. Graf tohto riešenia je znázornený na obrázku 1.

- Cvičenie 2

Nájdite dve riešenia problému uvedeného v príklade 2:

y '(x) = 2√ (y); a (0) = 0.

Riešenie

Je to tiež rovnica oddeliteľných premenných, ktorá vyzerá takto:

dy / √ (y) = 2 dx

Zohľadnenie neurčitého integrálu u oboch členov zostáva:

2 √ (y) = 2 x + C

Pretože vieme, že y≥0 v oblasti riešenia máme:

y = (x + C) ²

Ale pretože počiatočná podmienka x = 0, y = 0 musí byť splnená, potom konštanta C je nula a zostane nasledujúce riešenie:

y (x) = x ² .

Toto riešenie však nie je jedinečné, funkcia y (x) = 0 je tiež riešením problému, ktorý predstavuje. Veta o existencii a jedinečnosti použitá na tento problém v príklade 2 už predpovedala, že by mohlo existovať viac ako jedno riešenie.

Referencie

1. Coddington, gróf A.; Levinson, Norman (1955), Teória obyčajných diferenciálnych rovníc, New York: McGraw-Hill.
2. Encyklopédia matematiky. Cauchy-Lipschitzova veta. Obnovené z: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des aproximations postupné priblíženie rôznych stupňov; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des science. Zv. 116, 1894, str. 454-457. Získané z: gallica.bnf.fr.
4. Wikipedia. Picardova postupná aproximácia. Obnovené z: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Picard-Lindelöfova veta. Obnovené z: es.wikipedia.com.
6. Zill, D. 1986. Elementárne diferenciálne rovnice s aplikáciami.