EUCLIDOVA VETA: DÔKAZ, APLIKÁCIA A CVIČENIA - MATEMATIKA - 2026

The Eukleidův veta ukazuje vlastnosti trojuholník nakresliť čiaru, ktorá rozdeľuje IT do dvoch nových trojuholníkov, ktoré sú podobné, a naopak, sú podobné pôvodným trojuholníka; potom existuje vzťah proporcionality.

Euclid bol jedným z najväčších matematikov a geometrikov staroveku, ktorý vykonal niekoľko dôkazov dôležitých teorémov. Jedným z hlavných je ten, ktorý nesie jeho meno a ktorý má široké uplatnenie.

Je to tak preto, lebo prostredníctvom tejto vety jednoduchým spôsobom vysvetľuje geometrické vzťahy existujúce v pravom trojuholníku, kde sú nohy trojuholníka spojené s ich projekciami na preponu.

Vzorce a ukážky

Euclidova veta navrhuje, že v každom pravom trojuholníku, keď sa nakreslí čiara - ktorá predstavuje výšku, ktorá zodpovedá vrcholu pravého uhla vzhľadom na preponu - sa z originálu vytvoria dva pravé trojuholníky.

Tieto trojuholníky sa budú navzájom podobať a budú sa tiež podobať pôvodnému trojuholníku, čo znamená, že ich podobné strany sú navzájom úmerné:

Uhly troch trojuholníkov sú zhodné; to znamená, že keď sú otočené o 180 stupňov okolo svojho vrcholu, jeden uhol sa zhoduje s druhým. To znamená, že všetci budú rovnakí.

Týmto spôsobom je možné podobnosť medzi tromi trojuholníkmi overiť rovnosťou ich uhlov. Z podobnosti trojuholníkov určuje Euclid ich proporcie z dvoch teorémov:

- Výšková veta.

- Veta nôh.

Táto veta má široké uplatnenie. V staroveku sa používal na výpočet výšok alebo vzdialeností, čo predstavuje veľký pokrok v trigonometrii.

V súčasnosti sa používa v rôznych oblastiach, ktoré sú založené na matematike, ako je inžinierstvo, fyzika, chémia a astronómia.

Výšková veta

V tejto vete sa zistilo, že v ktoromkoľvek pravom trojuholníku je výška nakreslená z pravého uhla vzhľadom na preponu geometrický pomerný priemer (štvorec výšky) medzi výčnelkami nôh, ktoré určuje na preponu.

To znamená, že štvorec výšky sa bude rovnať násobeniu premietaných nôh, ktoré tvoria preponu:

h _c ² = m _* n

demonštrácie

Vzhľadom na trojuholník ABC, ktorý je priamo vo vrchole C, vykreslenie výšky vygeneruje dva podobné pravé trojuholníky, ADC a BCD; preto sú ich príslušné strany primerané:

Takým spôsobom, že výška h _c , ktorá zodpovedá úseku C-D, zodpovedá prepony AB = C, čím máme

Na druhej strane to zodpovedá:

Vyriešením prepony (h _c ), vynásobením dvoch členov rovnosti, máme:

h _{c *} h _{c =} m _* n

h _c ² = m _* n

Hodnota prepony je teda daná:

Veta o nohách

V tejto vete sa zistilo, že v každom pravom trojuholníku bude mierou každej vetvy geometrický pomerný priemer (štvorec každej vetvy) medzi mierou prepony (úplná) a priemetom každej z nich na:

b ² = c _* m

a ² = c _* n

demonštrácie

Pri trojuholníku ABC, ktorý je priamo vo vrchole C, takým spôsobom, že jeho prepona je c, sa pri vykresľovaní výšky (h) určujú výčnelky nôh aab, ktoré sú segmentmi ma n, a ktoré ležia na prepona.

Máme teda, že výška nakreslená na pravom trojuholníku ABC vytvára dva podobné pravé trojuholníky, ADC a BCD, takže zodpovedajúce strany sú úmerné, ako je toto:

DB = n, čo je projekcia nohy CB na preponu.

AD = m, čo je projekcia nohy AC na preponu.

Potom je prepona c určená súčtom nôh jej výčnelkov:

c = m + n

Vzhľadom na podobnosť trojuholníkov ADC a BCD máme:

Vyššie uvedené je rovnaké ako:

Riešenie pre vetvu „a“ na znásobenie dvoch členov rovnosti máme:

a _* a = c _* n

a ² = c _* n

Hodnota úseku „a“ je teda daná:

Rovnakým spôsobom máme v dôsledku podobnosti trojuholníkov ACB a ADC:

Vyššie uvedené sa rovná:

Riešenie pre vetvu "b" na znásobenie dvoch členov rovnosti, máme:

b _* b = c _* m

b ² = c _* m

Hodnota úseku "b" je teda daná:

Vzťah medzi Euklidovými vetami

Vety týkajúce sa výšky a nôh spolu súvisia, pretože miera oboch je meraná vzhľadom na preponu pravého trojuholníka.

Prostredníctvom vzťahu Euclidových vety sa dá zistiť aj výška; je to možné vyriešením hodnôt m a n z teórie dolných končatín a tieto sa nahradia vo výškovej vete. Týmto spôsobom sa dosiahne, že výška sa rovná násobeniu nôh vydelenému preponou:

b ² = c _* m

m = b ^{2 °} C

a ² = c _* n

n = a ² ÷ c

Vo výškovej vete nahradíme ma an:

h _c ² = m _* n

h _c ² = (b ² ÷ c) _* (a ² ÷ c)

h _c = (b ² _* a ² ) ÷ c

Riešené cvičenia

Príklad 1

Vzhľadom na trojuholník ABC, vpravo na A, stanovte mieru AC a AD, ak AB = 30 cm a BD = 18 cm

Riešenie

V tomto prípade máme merania jednej z vyčnievajúcich nôh (BD) a jednej z nôh pôvodného trojuholníka (AB). Týmto spôsobom je možné použiť teóriu vetvy nôh na nájdenie hodnoty nôh BC.

AB ² = BD _* BC

(30) ² = 18 _* BC

900 = 18 _* pred Kr

BC = 900 x 18

BC = 50 cm

Hodnota nohy CD možno nájsť s vedomím, že BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Teraz je možné určiť hodnotu AC nohy a znovu použiť teorém vetvy:

AC ² = CD _* BD

AC ² = 32 _* 50

AC ² = 160

AC = -1600 = 40 cm

Na určenie hodnoty výšky (AD) sa použije veta o výške, pretože hodnoty premietaných nôh CD a BD sú známe:

AD ² = 32 _* 18

AD ² = 576

AD = -576

AD = 24 cm

Príklad 2

Určte hodnotu výšky (h) trojuholníka MNL, priamo v N, s vedomím rozmerov segmentov:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Riešenie

Meriame jednu z nôh premietnutých na preponu (PM), ako aj mieru nôh pôvodného trojuholníka. Týmto spôsobom je možné použiť teóriu vetvy nôh na nájdenie hodnoty druhej premietnutej vetvy (LN):

NL ² = PM _* LM

(10) ² = 5 _x LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 x 5 = 20

Pretože hodnota nôh a prepona je už známa, je možné určiť výšku výšky pomocou vzťahu k teorémom výšky a nôh:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b ² _* a ² ) ÷ c.

h = (10 ² _* 5 ² ) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 x 20

h = 125 cm.

Referencie

1. Braun, E. (2011). Chaos, fraktály a podivné veci. Fond hospodárskej kultúry.
2. Cabrera, VM (1974). Modern Mathematics, Zväzok 3.
3. Daniel Hernandez, DP (2014). 3. ročník matematiky. Caracas: Santillana.
4. Encyklopédia Britannica, i. (devätnásť deväťdesiatpäť). Hispánska encyklopédia: Macropedia. Encyklopédia Britannica Publishers.
5. Euclid, RP (1886). Euclidove prvky geometrie.
6. Guardeño, AJ (2000). Dedičstvo matematiky: od Euclidu po Newtona, géniovia prostredníctvom svojich kníh. Sevilla University.