CHEBYSHOVOVA VETA: ČO TO JE, APLIKÁCIE A PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2026

Veta Chebyshev (Chebyshev alebo nerovnosť) je jedným z najdôležitejších klasických výsledkov teórie pravdepodobnosti. Umožňuje odhadnúť pravdepodobnosť udalosti opísanej v zmysle náhodnej premennej X tým, že nám poskytne hranicu, ktorá nezávisí od distribúcie náhodnej premennej, ale od rozptylu X.

Veta je pomenovaná podľa ruského matematika Pafnuty Chebyshov (tiež písaného ako Chebychev alebo Tchebycheff), ktorý napriek tomu, že nebol prvý, ktorý uviedol teorém, bol prvý, ktorý v roku 1867 dal dôkaz.

Táto nerovnosť, alebo tie, ktoré sa kvôli svojim charakteristikám nazývajú Chebyshovova nerovnosť, sa používa hlavne na priblíženie pravdepodobností výpočtom výšok.

Z čoho pozostáva?

Pri štúdiu teórie pravdepodobnosti sa zistí, že ak je známa distribučná funkcia náhodnej premennej X, jej očakávaná hodnota - alebo matematické očakávanie E (X) - a jej rozptyl Var (X) sa môžu vypočítať, pokiaľ také sumy existujú. Opak však nemusí byť nevyhnutne pravdivý.

To znamená, že s vedomím E (X) a Var (X) nie je nevyhnutne možné získať distribučnú funkciu X, a preto je veľmi ťažké získať množstvá, ako je P (-X-> k) pre niektoré k> 0. Ale vďaka Chebyshovovej nerovnosti je možné odhadnúť pravdepodobnosť náhodnej premennej.

Chebyshovova veta hovorí, že ak máme náhodnú premennú X nad vzorkovacím priestorom S s pravdepodobnostnou funkciou p, a ak k> 0, potom:

Aplikácie a príklady

Medzi mnohými aplikáciami Chebyshovovej vety možno uviesť:

Obmedzenie pravdepodobnosti

Toto je najbežnejšia aplikácia a používa sa na stanovenie hornej hranice pre P (-XE (X) -≥k), kde k> 0, iba s rozptylom a očakávaním náhodnej premennej X, bez znalosti pravdepodobnostnej funkcie. ,

Príklad 1

Predpokladajme, že počet výrobkov vyrobených v spoločnosti počas jedného týždňa je náhodná premenná s priemerom 50.

Ak je známe, že rozptyl jedného týždňa výroby je rovný 25, čo môžeme povedať o pravdepodobnosti, že tento týždeň sa bude výroba líšiť od priemeru o viac ako 10?

Riešenie

Pri použití Chebyshovovej nerovnosti máme:

Z toho môžeme vyvodiť, že pravdepodobnosť, že počet výrobkov v týždni výroby prekročí priemer o viac ako 10, je najviac 1/4.

Dôkazy o limitoch

Chebyshovova nerovnosť hrá dôležitú úlohu pri preukazovaní najdôležitejších limitných teórií. Ako príklad uvádzame nasledujúce:

Slabý zákon veľkého počtu

Tento zákon uvádza, že pri postupnosti X1, X2, …, Xn, … nezávislých náhodných premenných s rovnakou priemernou distribúciou E (Xi) = μ a rozptylom Var (X) = σ ² a známou priemernou vzorkou:

Potom pre k> 0 máme:

Alebo rovnocenne:

demonštrácie

Najprv si všimnite nasledujúce:

Keďže X1, X2,…, Xn sú nezávislé, vyplýva z toho, že:

Preto je možné uviesť nasledujúce:

Potom, pomocou Chebyshovovej vety, máme:

Nakoniec, veta vyplýva zo skutočnosti, že hranica napravo je nula, keď sa n blíži k nekonečnu.

Je potrebné poznamenať, že tento test sa uskutočnil iba v prípade, keď existuje rozptyl Xi; to znamená, že sa neodchyľuje. Preto pozorujeme, že veta je vždy pravdivá, ak existuje E (Xi).

Chebyshovova obmedzovacia veta

Ak X1, X2, …, Xn, … je sekvencia nezávislých náhodných premenných tak, že existuje nejaká C <nekonečno, také, že Var (Xn) ≤ C pre všetky prírodné n, potom pre akékoľvek k> 0:

demonštrácie

Pretože postupnosť odchýlok je rovnomerne ohraničená, máme pre každú prirodzenú n tú Var (Sn) ≤ C / n. Ale my vieme, že:

Aby n inklinoval k nekonečnu, tieto výsledky:

Pretože pravdepodobnosť nemôže prekročiť hodnotu 1, získa sa požadovaný výsledok. V dôsledku tejto vety by sme mohli spomenúť konkrétny prípad Bernoulliho.

Ak sa experiment opakuje n-krát nezávisle s dvoma možnými výsledkami (zlyhanie a úspech), kde p je pravdepodobnosť úspechu v každom experimente a X je náhodná premenná, ktorá predstavuje počet získaných úspechov, potom pre každý k> 0 musíš:

Veľkosť vzorky

Pokiaľ ide o rozptyl, Chebyshovova nerovnosť nám umožňuje nájsť veľkosť vzorky n, ktorá je dostatočná na zabezpečenie toho, že pravdepodobnosť výskytu -Sn-μ -> = k je tak malá, ako sa požaduje, čo umožňuje aproximáciu do priemeru.

Konkrétne nech X1, X2, … Xn je vzorka nezávislých náhodných premenných veľkosti n a predpokladajme, že E (Xi) = μ a jeho rozptyl σ ² . Potom podľa Chebyshovovej nerovnosti máme:

príklad

Predpokladajme, že X1, X2, … Xn sú vzorkou nezávislých náhodných premenných s Bernoulliho distribúciou tak, že berú hodnotu 1 s pravdepodobnosťou p = 0,5.

Aká musí byť veľkosť vzorky, aby bolo možné zaručiť, že pravdepodobnosť, že rozdiel medzi aritmetickým priemerom Sn a jeho očakávanou hodnotou (viac ako 0,1), bude menší alebo sa rovná 0,01?

Riešenie

Máme, že E (X) = μ = p = 0,5 a že Var (X) = < ² = p (1-p) = 0,25. Podľa Chebyshovovej nerovnosti máme pre k> 0:

Teraz, k = 0,1 a δ = 0,01, máme:

Týmto spôsobom sa dospelo k záveru, že je potrebná veľkosť vzorky najmenej 2 500, aby sa zaručilo, že pravdepodobnosť udalosti -Sn - 0,5 -> = 0,1 je menšia ako 0,01.

Nerovnosti typu Chebyshov

S Chebyshovovou nerovnosťou existuje niekoľko nerovností. Jedným z najznámejších je Markovova nerovnosť:

V tomto výraze X je nezáporná náhodná premenná s k, r> 0.

Markovova nerovnosť môže mať rôzne formy. Napríklad nech je Y nezáporná náhodná premenná (takže P (Y> = 0) = 1) a predpokladajme, že E (Y) = μ existuje. Predpokladajme tiež, že (E (Y)), ^r = μ _r existuje nejaké celé číslo r> 1. takže:

Ďalšou nerovnosťou je gaussián, ktorý nám hovorí, že vzhľadom na unimodálnu náhodnú premennú X s režimom nula, potom pre k> 0,

Referencie

1. Kai Lai Chung. Teória elementárnej prospešnosti so stochastickými procesmi. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Diskrétna matematika a jej aplikácie. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Pravdepodobnosť a štatistické aplikácie. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Riešené problémy diskrétnej matematiky. McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Problémy teórie a pravdepodobnosti. McGraw-Hill.