Bayes Veta je postup, ktorý umožňuje , aby vyjadriť podmienenú pravdepodobnosť náhodný jav daný B, pokiaľ ide o rozdelenie pravdepodobnosti udalosti A a B, pretože rozdelenie pravdepodobnosti iba A.
Táto veta je veľmi užitočná, pretože vďaka nej dokážeme spojiť pravdepodobnosť výskytu udalosti A s vedomím, že nastala B, s pravdepodobnosťou, že nastane opak, to znamená, že B nastane s ohľadom na A.
Bayesova veta bola strieborným výrokom reverenda Thomasa Bayesa, anglického teológa z 18. storočia, ktorý bol tiež matematikom. Bol autorom niekoľkých teologických diel, dnes je však známy niekoľkými matematickými pojednaniami, medzi ktorými vyniká predovšetkým Bayesova veta.
Bayes sa zaoberal touto teorémou v dokumente s názvom „Esej o riešení problému v doktríne šancí“, uverejnenom v roku 1763, a na ktorej bolo vypracovaných veľké množstvo. štúdie s aplikáciami v rôznych oblastiach poznania.
vysvetlenie
Po prvé, pre lepšie pochopenie tejto vety sú potrebné niektoré základné pojmy teórie pravdepodobnosti, najmä multiplikačná veta pre podmienenú pravdepodobnosť, ktorá uvádza, že
Pre ľubovoľné udalosti E a A vo vzorke priestoru S.
A definícia prepážok, ktoré nám hovorí, že ak budeme mať 1 , A 2 , …, A n udalosti vzorky priestoru S, budú tvoriť oddiel S, ak je A aj sa navzájom vylučujú a ich odbor je S.
Vzhľadom na to nech je B ďalšou udalosťou. Takže môžeme vidieť B ako
Kde A aj pretína s B sú vzájomne exkluzívne udalosti.
A v dôsledku toho
Potom aplikujte multiplikačnú vetu
Na druhej strane je podmienená pravdepodobnosť Ai daná B definovaná pomocou
Vhodným nahradením máme to pre každé i
Aplikácia Bayesovej vety
Vďaka tomuto výsledku sa výskumným skupinám a rôznym spoločnostiam podarilo zlepšiť systémy založené na vedomostiach.
Napríklad pri štúdiu chorôb môže Bayesova teoréma pomôcť rozoznať pravdepodobnosť, že sa choroba vyskytuje v skupine ľudí s danou charakteristikou, pričom ako údaje sa berú do úvahy globálna miera choroby a dominancia uvedených charakteristík v zdravých aj chorých ľudí.
Na druhej strane, vo svete špičkových technológií ovplyvnil veľké spoločnosti, ktoré vďaka tomuto výsledku vyvinuli softvér „založený na znalostiach“.
Ako denný príklad máme asistenta balíka Microsoft Office. Bayesova veta pomáha softvéru vyhodnotiť problémy, ktoré používateľ predstavuje, a určiť, aké rady mu poskytnúť, a tým pádom byť schopný ponúknuť lepšie služby podľa zvyklostí používateľa.
Tento vzorec bol až donedávna ignorovaný, je to hlavne preto, že keď sa tento výsledok vyvinul pred 200 rokmi, pre nich bolo málo praktického použitia. V súčasnosti však vedci vďaka veľkému technologickému pokroku našli spôsoby, ako tento výsledok uviesť do praxe.
Riešené cvičenia
Cvičenie 1
Spoločnosť poskytujúca mobilné telefóny má dva stroje A a B. 54% vyrobených mobilných telefónov je vyrobených strojom A a zvyšok strojom B. Nie všetky vyrábané mobilné telefóny sú v dobrom stave.
Podiel chybných mobilných telefónov vyrábaných A je 0,2 a B je 0,5. Aká je pravdepodobnosť poruchy mobilného telefónu z tejto továrne? Aká je pravdepodobnosť, že s vedomím, že je mobilný telefón chybný, pochádza zo zariadenia A?
Riešenie
Tu máte experiment, ktorý sa uskutočňuje v dvoch častiach; v prvej časti sa vyskytujú udalosti:
A: bunka vyrobená strojom A.
B: bunka vyrobená strojom B.
Pretože stroj A produkuje 54% mobilných telefónov a zvyšok vyrába stroj B, vyplýva z toho, že stroj B vyrába 46% mobilných telefónov. Pravdepodobnosť týchto udalostí je uvedená, konkrétne:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
Udalosti druhej časti experimentu sú:
D: chybný mobilný telefón.
E: nefunkčný mobilný telefón.
Ako sa uvádza vo vyhlásení, pravdepodobnosť výskytu týchto udalostí závisí od výsledku získaného v prvej časti:
P (DA) = 0,2.
P (DB) = 0,5.
Pomocou týchto hodnôt je možné určiť pravdepodobnosť doplnkov týchto udalostí, to znamená:
P (EA) = 1 - P (DA)
= 1 - 0,2
= 0,8
a
p (EB) = 1 - P (DB)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Teraz možno udalosť D napísať takto:
Použitie multiplikačnej vety pre výsledky podmienenej pravdepodobnosti:
Potom je zodpovedaná prvá otázka.
Teraz potrebujeme iba vypočítať P (AD), pre ktoré sa používa Bayesova veta:
Vďaka Bayesovej vete možno konštatovať, že pravdepodobnosť, že mobilný telefón bol vyrobený strojom A s vedomím, že je mobilný telefón chybný, je 0,319.
Cvičenie 2
Tri škatule obsahujú čierne a biele gule. Zloženie každej z nich je nasledujúce: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.
Jedno z políčok sa vyberie náhodne a náhodne sa vyberie guľa, ktorá sa ukáže ako biela. Aká je najpravdepodobnejšia škatuľka?
Riešenie
Pomocou U1, U2 a U3 budeme reprezentovať aj zvolené políčko.
Tieto udalosti tvoria oblasť S a je overené, že P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, pretože výber políčka je náhodný.
Ak B = {nakreslená guľa je biela}, budeme mať P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4.
Chceme získať pravdepodobnosť, že guľa bola vyňatá z políčka Ui s vedomím, že uvedená guľa bola biela, to znamená P (Ui-B), a zistíme, ktorá z troch hodnôt bola najvyššia, o ktorej z nich vedela box bol s najväčšou pravdepodobnosťou ťažba gule.
Aplikovanie Bayesovej vety na prvé políčko:
A pre ďalšie dva:
P (U2-B) = 2/6 a P (U3-B) = 1/6.
Potom je prvá z boxov tá s najväčšou pravdepodobnosťou, že bola vybraná na extrakciu bielej gule.
Referencie
- Kai Lai Chung. Teória elementárnej prospešnosti so stochastickými procesmi. Springer-Verlag New York Inc
- Kenneth.H. Diskrétna matematika a jej aplikácie. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Paul L. Meyer. Pravdepodobnosť a štatistické aplikácie. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Riešené problémy diskrétnej matematiky. McGraw-Hill.
- Seymour Lipschutz Ph.D. Problémy teórie a pravdepodobnosti. McGraw-Hill.