TEÓRIA MNOŽÍN: VLASTNOSTI, PRVKY, PRÍKLADY, CVIČENIA - MATEMATIKA - 2026

Teória množín je odvetvie formálny logiky-, ktorý je zodpovedný za štúdium vzťahov medzi osobami s názvom sady. Súpravy sa vyznačujú zbierkou predmetov rovnakej povahy. Uvedené objekty sú prvkami množiny a môžu to byť: čísla, písmená, geometrické obrázky, slová, ktoré predstavujú objekty, samotné objekty a ďalšie.

Koncom 19. storočia navrhol teóriu množín Georg Cantor. Zatiaľ čo iní významní matematici v 20. storočí sa formalizovali: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel.

Obrázok 1. Vennův diagram množín A, B a ich priesečník A⋂ B. (Vlastné spracovanie).

Vennove diagramy sú grafickým spôsobom, ako reprezentovať množinu, a pozostávajú z uzavretej roviny, v ktorej sú prvky množiny.

Napríklad na obrázku 1 sú znázornené dve sady A a B, ktoré majú spoločné prvky, prvky spoločné pre A a B. Tieto tvoria novú množinu nazývanú priesečníkovú súpravu A a B, ktorá je zapísaná vo forme symbolické takto:

A ∩ B

vlastnosti

Sada je primitívnym pojmom, pretože v geometrii predstavuje koncept bodu, čiary alebo roviny. Neexistuje lepší spôsob, ako vyjadriť tento koncept, ako poukazovaním na príklady:

Sada E tvorená farbami španielskej vlajky. Tento spôsob vyjadrenia súboru sa nazýva porozumenie. Rovnaká množina E napísaná príponou je:

E = {červená, žltá}

V tomto prípade červená a žltá sú prvky množiny E. Je potrebné poznamenať, že prvky sú uvedené v zátvorkách a neopakujú sa. V prípade španielskej vlajky existujú tri farebné pruhy (červená, žltá, červená), z ktorých dva sa opakujú, ale prvky sa pri vyjadrení celku nezopakujú.

Predpokladajme, že množina V tvorená prvými tromi samohláskami:

V = {a, e, i}

Energetická sada V, označená P (V), je sada všetkých množín, ktoré je možné vytvoriť pomocou prvkov V:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

Typy súprav

Konečná sada

Je to súbor, v ktorom sú jeho prvky spočítateľné. Príkladmi konečných množín sú okrem iného písmená španielskej abecedy, samohlásky samohlásky, planéty slnečnej sústavy. Počet prvkov v konečnej množine sa nazýva jej mohutnosť.

Nekonečná súprava

Nekonečnou množinou sa rozumie všetko, že počet jej prvkov je nepočítateľný, pretože bez ohľadu na to, aký veľký môže byť počet jej prvkov, je vždy možné nájsť viac prvkov.

Príkladom nekonečnej množiny je množina prirodzených čísel N, ktorá sa v rozsiahlej podobe vyjadruje takto:

N = {1, 2, 3, 4, 5, ….} Je to jednoznačne nekonečná množina, pretože bez ohľadu na to, aké veľké môže byť prirodzené číslo, vždy sa v nekonečnom procese dá nájsť najbližšie najväčšie. Je zrejmé, že kardinálnosť nekonečného súboru je ∞.

Prázdna súprava

Je to sada, ktorá neobsahuje žiadny prvok. Prázdna súprava V je označená Ø alebo párom klávesov bez prvkov vo vnútri:

V = {} = Ø.

Prázdna množina je jedinečná, preto musí byť nesprávne povedať „prázdna množina“, správnym formulárom je „prázdna množina“.

Medzi vlastnosti prázdnej množiny máme to, že je podmnožinou ktorejkoľvek sady:

Ø ⊂ A

Ďalej, ak je súprava podmnožinou prázdnej súpravy, potom nevyhnutne bude touto súpravou vákuum:

A ⊂ Ø ⇔ A = Ø

Unitary set

Jednotková sada je akákoľvek sada, ktorá obsahuje jeden prvok. Napríklad súbor prírodných satelitov Zeme je jednotný súbor, ktorého jediným prvkom je Mesiac. Sada B celých čísel menších ako 2 a väčších ako nula má iba prvok 1, preto je to sada jednotiek.

Binárna súprava

Sada je binárna, ak má iba dva prvky. Napríklad množina X tak, že x je riešenie reálneho čísla x ^ 2 = 2. Táto množina podľa prípony je napísaná takto:

X = {-√2, + √2}

Univerzálna súprava

Univerzálna súprava je súprava, ktorá obsahuje ďalšie súpravy rovnakého typu alebo povahy. Napríklad univerzálna množina prirodzených čísel je množina reálnych čísel. Reálne čísla sú univerzálnym súborom aj celých čísel a racionálnych čísel.

Základné položky

- Vzťahy medzi súbormi

V zhromaždeniach je možné vytvoriť rôzne typy vzťahov medzi nimi a ich prvkami. Ak dve sady A a B majú medzi sebou rovnaké prvky, vytvorí sa rovnoprávny vzťah, ktorý sa označuje takto:

A = B

Ak všetky prvky množiny A patria do množiny B, ale nie všetky prvky skupiny B patria do A, potom medzi týmito množinami existuje inkluzívny vzťah, ktorý sa označuje takto:

A ⊂ B, ale B ⊄ A

Vyššie uvedený výraz znie: A je podskupina B, ale B nie je podskupina A.

Na označenie toho, že niektorý prvok alebo prvky patria do množiny, sa používa symbol členstva ∈, napríklad na označenie, že prvok alebo prvky x patriace do množiny A sa píšu symbolicky takto:

x ∈ A

Ak prvok nepatrí do množiny A, tento vzťah sa zapíše takto:

a ∉ A

Členský vzťah existuje medzi prvkami množiny a množinou, s jedinou výnimkou množiny výkonov, ktorá predstavuje množinu alebo množinu všetkých možných množín, ktoré je možné vytvoriť s prvkami množiny.

Predpokladajme, že V = {a, e, i}, jeho výkon je P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i} , {a, e, i}}, v takom prípade sa množina V stane prvkom množiny P (V) a dá sa zapísať:

V ∈ P (V)

- Vlastnosti inklúzie

Prvá vlastnosť inklúzie potvrdzuje, že každá množina je obsiahnutá sama o sebe, alebo inými slovami, že je jej podskupinou:

A ⊂ A

Ďalšou vlastnosťou inklúzie je transitivita: ak A je podskupina B a B je podskupinou C, potom A je podskupinou C. V symbolickej podobe je vzťah medzi tranzitívnosťou zapísaný takto:

(A ~ B) ^ (B ° C) => A ° C

Nižšie je uvedený Venn diagram zodpovedajúci tranzitívnosti inklúzie:

Obrázok 2. (A ⊂ B) ^ (B) C) => A ⊂ C

- Operácie medzi súbormi

križovatka

Križovatka je operácia medzi dvoma množinami, ktorá vedie k novej množine, ktorá patrí do rovnakej univerzálnej množiny ako prvé dve. V tomto zmysle ide o uzavretú operáciu.

Symbolicky je priesečníková operácia formulovaná takto:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

Príkladom je nasledujúci: množina písmen A v slove „elementy“ a množina písmen B slova „opakované“, priesečník medzi písmenami A a B sa píše takto:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s}. Univerzálna množina U A, B a tiež A⋂B je sada písmen španielskej abecedy.

zväz

Spojenie dvoch súprav je súprava tvorená prvkami spoločnými pre tieto dve súpravy a neobvyklými prvkami týchto dvoch súprav. Operácia spojenia medzi množinami je vyjadrená symbolicky takto:

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

Rozdiel

Rozdielna operácia množiny A mínus množina B je označená AB. AB je nový súbor tvorený všetkými prvkami, ktoré sú v A a nepatria do B. Symbolicky sa píše takto:

A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Obrázok 3. A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Symetrický rozdiel

Symetrický rozdiel je operácia medzi dvoma množinami, kde výsledná množina pozostáva z prvkov, ktoré nie sú spoločné pre tieto dve množiny. Symetrický rozdiel je symbolicky znázornený takto:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

Príklady

Príklad 1

Venn diagram je grafický spôsob reprezentácie množín. Napríklad množina písmen C v množine slov je znázornená takto:

Príklad 2

Vennovými diagramami je zobrazené, že množina samohlások v slove „množina“ je podmnožinou množiny písmen v slove „množina“.

Príklad 3

Sada Ñ písmen španielskej abecedy je konečná množina, táto množina sa píše takto:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} a jej mohutnosť je 27.

Príklad 4

Súbor V samohlások v španielčine je podmnožinou množiny Ñ:

V ⊂ Ñ ​​je preto konečná množina.

Konečná množina V v rozsiahlej podobe je napísaná takto: V = {a, e, i, o, u} a jej mohutnosť je 5.

Príklad 5

Pri množinách A = {2, 4, 6, 8} a B = {1, 2, 4, 7, 9} stanovte AB a BA.

A - B sú prvky A, ktoré nie sú v B:

A - B = {6, 8}

B - A sú prvky B, ktoré nie sú v A:

B - A = {1, 7, 9}

Riešené cvičenia

Cvičenie 1

Zapíšte symbolickou formou a tiež rozšírením množiny P párnych čísel menších ako 10.

Riešenie: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

Cvičenie 2

Predpokladajme, že množina A, ktorá je tvorená prirodzenými číslami, ktoré sú faktormi 210, a množina B, ktorá je tvorená prvočíselnými prirodzenými číslami menšími ako 9. Určite rozšírením obe sady a vytvorte vzťah medzi týmito dvoma množinami.

Riešenie: Na určenie prvkov množiny A musíme začať zistením faktorov prirodzeného čísla 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Potom sa zapíše množina A:

A = {2, 3, 5, 7}

Teraz uvažujeme, že množina B, ktorá je prvočísla menšia ako 9,1, nie je prvočísla, pretože nespĺňa definíciu prvočísla: „číslo je prvočíslo, iba ak má presne dva deliteľa 1 a samotné číslo.“ 2 je párny a zároveň je prvočíselný, pretože spĺňa definíciu prvočísla, ostatné prvočísla menšie ako 9 sú 3, 5 a 7. Súbor B je teda:

B = {2, 3, 5, 7}

Preto sú tieto dve sady rovnaké: A = B.

Cvičenie 3

Určite množinu, ktorej prvky x sa líšia od x.

Riešenie: C = {x / x ≠ x}

Pretože každý prvok, číslo alebo objekt sa rovná sebe, množina C nemôže byť iná ako prázdna množina:

C = Ø

Cvičenie 4

Nech množina N prírodných čísel a Z sú množiny celých čísel. Stanovte N ⋂ Z a N ∪ Z.

Riešenie:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z, pretože N ⊂ Z.

Referencie

1. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratické rovnice: Ako vyriešiť kvadratickú rovnicu. Marilù Garo.
2. Haeussler, EF, a Paul, RS (2003). Matematika pre riadenie a ekonomiku. Pearson Education.
3. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Prah.
4. Preciado, CT (2005). Kurz matematiky 3.. Redakčný progres.
5. Mathematics 10 (2018). "Príklady konečných množín". Obnovené z: matematicas10.net
6. Wikipedia. Teória množín. Obnovené z: es.wikipedia.com