TECHNIKY POČÍTANIA: TECHNIKY, APLIKÁCIE, PRÍKLADY, CVIČENIA - DUDAS - 2026

K počítanie techniky je rad metód pravdepodobnosti spočítať počet možných opatrení v rámci súboru alebo niekoľko sád objektov. Používajú sa pri manuálnom vykonávaní účtov kvôli veľkému počtu objektov a / alebo premenných.

Napríklad, riešenie tohto problému je veľmi jednoduché: predstavte si, že váš šéf vás požiada, aby ste spočítali najnovšie produkty, ktoré dorazili za poslednú hodinu. V tomto prípade by ste mohli ísť a spočítať produkty jeden po druhom.

Predstavte si však, že problém je tento: váš šéf vás žiada, aby ste spočítali, koľko skupín 5 výrobkov rovnakého typu sa dá vytvoriť s tými, ktoré dorazili za poslednú hodinu. V tomto prípade je výpočet komplikovaný. Pre tento typ situácie sa používajú takzvané techniky počítania.

Tieto techniky sú rôzne, ale najdôležitejšie sú rozdelené do dvoch základných princípov, ktoré sú multiplikatívne a aditívne; permutácie a kombinácie.

Multiplikačný princíp

aplikácia

Multiplikačný princíp je spolu s doplnkovou látkou základom na pochopenie fungovania techník počítania. V prípade multiplikátora pozostáva z:

Predstavme si aktivitu, ktorá zahŕňa určitý počet krokov (súčet označíme ako „r“), kde prvý krok možno vykonať spôsobmi N1, druhý krok v N2 a krok „r“ spôsobmi Nr. V tomto prípade by sa aktivita mohla vykonať z počtu tvarov, ktoré sú výsledkom tejto operácie: tvary N1 x N2 x ……… .x Nr

Preto sa táto zásada nazýva multiplikatívna a znamená, že každý z krokov, ktoré sú potrebné na vykonanie činnosti, sa musí vykonávať jeden po druhom.

príklad

Predstavme si človeka, ktorý chce postaviť školu. Ak chcete urobiť, zvážte, že základňa budovy môže byť postavená dvoma rôznymi spôsobmi, cementom alebo betónom. Pokiaľ ide o steny, môžu byť vyrobené z adobe, cementu alebo tehly.

Pokiaľ ide o strechu, môže byť vyrobená z cementu alebo z pozinkovaného plechu. Nakoniec je možné konečný obraz vykonať iba jedným spôsobom. Vynára sa otázka: Koľko spôsobov musí postaviť školu?

Najprv vezmeme do úvahy počet krokov, ktorými by boli základňa, steny, strecha a farba. Spolu 4 kroky, takže r = 4.

Zoznam N by bol nasledujúci:

N1 = spôsoby zostavenia základne = 2

N2 = spôsoby, ako postaviť steny = 3

N3 = spôsoby výroby strechy = 2

N4 = spôsoby maľovania = 1

Preto by sa počet možných tvarov vypočítal pomocou vzorca opísaného vyššie:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 spôsobov školskej dochádzky.

Aditívny princíp

aplikácia

Táto zásada je veľmi jednoduchá a spočíva v tom, že v prípade viacerých alternatív na vykonávanie tej istej činnosti možné spôsoby spočívajú v súčte rôznych možných spôsobov vykonania všetkých alternatív.

Inými slovami, ak chceme vykonávať činnosť s tromi alternatívami, kde prvá alternatíva môže byť vykonaná M spôsobmi, druhá N spôsobmi a posledná W spôsobmi, aktivita môže byť vykonaná: M + N + ……… + Tvary W.

príklad

Predstavme si tentokrát osobu, ktorá chce kúpiť tenisovú raketu. Na tento účel máte na výber tri značky: Wilson, Babolat alebo Head.

Keď idete do obchodu, uvidíte, že raketa Wilson sa dá kúpiť s rukoväťou v dvoch rôznych veľkostiach, L2 alebo L3 v štyroch rôznych modeloch, a môže byť navlečená alebo rozpletená.

Raketa Babolat má na druhej strane tri rukoväte (L1, L2 a L3), existujú dva rôzne modely a môže byť tiež navlečená alebo odopnutá.

Hlavová raketa je k dispozícii iba s jednou rukoväťou, L2, v dvoch rôznych modeloch a iba rozopnutou. Otázka znie: Koľko spôsobov musí táto osoba kúpiť svoju raketu?

M = Počet spôsobov výberu rakety Wilson

N = Počet spôsobov výberu rakety Babolat

W = Počet spôsobov výberu hlavovej rakety

Vykonávame princíp multiplikátora:

M = 2 x 4 x 2 = 16 tvarov

N = 3 x 2 x 2 = 12 spôsobov

W = 1 x 2 x 1 = 2 spôsoby

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 spôsobov, ako si vybrať raketu.

Ak chcete vedieť, kedy používať multiplikačný princíp a doplnkovú látku, musíte sa len pozrieť na to, či má činnosť sériu krokov, a ak existuje niekoľko alternatív, doplnkovú látku.

permutácie

aplikácia

Aby sme pochopili, čo je to permutácia, je dôležité vysvetliť, čo je kombinácia, aby ste ich mohli rozlíšiť a vedieť, kedy ich použiť.

Kombinácia by bola usporiadaním prvkov, ktoré by nás nezaujímali o pozíciu, ktorú zaujíma každý z nich.

Na druhej strane permutácia by bola usporiadaním prvkov, o ktoré sa zaujímame v pozícii, ktorú zaujíma každý z nich.

Ukážme príklad, aby sme lepšie porozumeli rozdielu.

príklad

Predstavme si triedu s 35 študentmi as nasledujúcimi situáciami:

1. Učiteľ chce, aby mu tri jeho študenti pomohli udržiavať čistotu v triede alebo aby v prípade potreby rozdávali ostatným študentom materiály.
2. Učiteľ chce vymenovať triednych delegátov (prezident, asistent a finančník).

Riešením by bolo toto:

1. Predstavme si, že hlasovaním sa Juan, María a Lucía vyberajú na čistenie triedy alebo dodanie materiálov. Je zrejmé, že medzi 35 možných študentov sa mohli vytvoriť ďalšie tri skupiny.

Musíme si položiť nasledujúce otázky: Je poradie alebo pozícia každého študenta dôležitá pri ich výbere?

Ak o tom premýšľame, vidíme, že to naozaj nie je dôležité, pretože skupina bude mať na starosti tieto dve úlohy rovnako. V tomto prípade ide o kombináciu, pretože nás nezaujíma pozícia prvkov.

1. Teraz si predstavme, že Juan je zvolený za prezidenta, Máriu za asistentku a Luciu za finančníka.

V takom prípade by na objednávke záležalo? Odpoveď je áno, pretože ak zmeníme prvky, výsledok sa zmení. To znamená, že ak namiesto Juana uvedieme za prezidenta, dáme ho za asistenta a Mariu za prezidenta, konečný výsledok sa zmení. V tomto prípade je to permutácia.

Akonáhle bude rozdiel pochopený, získame vzorce pre permutácie a kombinácie. Najprv však musíme definovať pojem „n!“. (ene factorial), pretože sa bude používať v rôznych vzorcoch.

n! = produkt od 1 do n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… .. xn

Použitie s reálnymi číslami:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3 628 800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

Vzorec pre permutácie by bol nasledujúci:

nPr = n! / (nr)!

S ním môžeme zistiť usporiadanie, kde je poradie dôležité a kde prvky n sú odlišné.

kombinácie

aplikácia

Ako sme už uviedli, ide o usporiadania, pri ktorých nám nezáleží na pozícii prvkov.

Jeho vzorec je nasledujúci:

nCr = n! / (nr)! r!

príklad

Ak existuje 14 študentov, ktorí chcú dobrovoľne vyčistiť triedu, koľko čistiacich skupín sa môže vytvoriť, ak každá skupina musí mať 5 ľudí?

Riešením by teda bolo toto:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 skupín

Riešené cvičenia

Cvičenie 1

Zdroj: Pixabay.com

Jej matka požiadala Natáliu, aby išla do obchodu s potravinami a kúpila si sódu na ochladenie. Keď Natalia požiada úradníka o drink, povie jej, že existujú štyri príchute nealkoholických nápojov, tri druhy a tri veľkosti.

Chuťami nealkoholických nápojov môžu byť: cola, citrón, pomaranč a mäta.

Druhy coly môžu byť: bežné, bez cukru, bez kofeínu.

Veľkosti môžu byť: malé, stredné a veľké.

Matka Natálie nešpecifikovala, aký nealkoholický nápoj chce. Koľko spôsobov musí Natalia kúpiť?

Riešenie

M = veľkosť a typové číslo, ktoré môžete zvoliť pri výbere coly.

N = Počet veľkostí a typov, ktoré môžete zvoliť pri výbere citrónovej sódy.

W = veľkosť a číslo typu, ktoré môžete zvoliť pri výbere pomarančovej sódy.

Y = Veľkosť a typ číslo, ktoré môžete vybrať pri výbere sódy mincovne.

Vykonávame princíp multiplikátora:

M = 3 x 3 = 9 spôsobov

N = 3 x 3 = 9 spôsobov

W = 3 x 3 = 9 spôsobov

Y = 3 x 3 = 9 spôsobov

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 spôsobov, ako zvoliť sódu.

Cvičenie 2

Zdroj: pixabay.com

Športový klub propaguje workshopy pre deti s bezplatným prístupom, aby sa naučili korčuľovať. Zapíše sa 20 detí, takže dve skupiny po desiatich ľuďoch sa rozhodnú rozdeliť ich, aby inštruktori mohli triedy pohodlnejšie vyučovať.

Na druhej strane sa rozhodnú nakresliť, do ktorej skupiny každé dieťa spadne. Koľko rôznych skupín by mohlo dieťa vstúpiť?

Riešenie

V takom prípade je možné nájsť odpoveď pomocou kombinovanej techniky, ktorej vzorec bol: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (počet detí)

r = 10 (veľkosť skupiny)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10! / 10! 10! = 184 756 skupín.

Referencie

1. Jeffrey, RC, pravdepodobnosť a umenie súdu, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, „Úvod do teórie pravdepodobnosti a jej aplikácií“, (zv. 1), 3. vydanie, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Logické základy a meranie subjektívnej pravdepodobnosti". Acta Psychologica.
4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Úvod do matematickej štatistiky (6. vydanie). Horná sedlová rieka: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) Science of dohad: Dôkaz a pravdepodobnosť pred Pascalom, Johns Hopkins University Press.