TELESKOPICKÁ SUMÁCIA: AKO JE RIEŠENÁ A CVIČENIA RIEŠENÉ - MATEMATIKA - 2026

Súčet teleskopický je pobočkou operácia číselné rady. Zaoberá sa súčtom prvkov od počiatočnej hodnoty po „n“ výrazov, ktorých argument sa riadi niektorým z nasledujúcich vzorcov:

(F _x - F _{x + 1} ); (F _{x + 1} - F _x )

Ako tiež:

Zdroj: Pixabay.com

Predstavujú zhrnutie prvkov, ktoré sú pri vývoji vystavené zrušeniu opačných pojmov. Umožnenie definovať nasledujúcu rovnosť pre teleskopické sumácie:

Jeho názov pochádza zo vzťahu s výskytom klasického ďalekohľadu, ktorý sa dá zložiť a rozložiť, najmä zmeniť jeho rozmer. Rovnakým spôsobom možno v zjednodušenom výraze zhrnúť teleskopické sumácie, ktoré sú nekonečnej povahy:

F ₁ - F _{n + 1}

demonštrácie

Pri vývoji súčtu pojmov je eliminácia faktorov celkom zrejmá. Ak sa v ďalšom opakovaní objavia pre každý z týchto prípadov opačné prvky.

Prvý prípad (F _x - F _{x + 1} ) sa bude brať ako príklad , pretože proces funguje homologickým spôsobom pre (F _{x + 1 -} F _x ).

Pri vývoji prvých 3 hodnôt {1, 2, 3} sa pozoruje trend zjednodušovania

X ₁ (F ₁ - F _{1 + 1} ) = F ₁ - F ₂

X ₂ (F ₂ - F _{2 + 1} ) = F ₂ - F ₃

X ₃ (F ₃ - F _{3 + 1} ) = F ₃ - F ₄

Ak pri vyjadrovaní súčtu opísaných prvkov:

X ₁ + X ₂ + X ₃ = F ₁ - F ₂ + F ₂ - F ₃ + F ₃ - F ₄

Je zistené, že podmienky F ₂ a F ₃ sú popísané spolu s ich náprotivkov, ktoré je možné zjednodušenie nevyhnutné. Rovnakým spôsobom, je možné pozorovať, že termíny F ₁ a F ₄ zostávajú.

Ak bola suma z x = 1 až x = 3, to znamená, že prvok F ₄ zodpovedá generický termín F _{n + 1.}

Preukázanie rovnosti:

Ako sa to rieši?

Účelom teleskopických sumácií je uľahčiť prácu, takže nie je potrebné rozvíjať nekonečné množstvo výrazov alebo zjednodušovať niektorú z príliš dlhých reťazcov doplnkov.

Na jeho vyriešenie bude potrebné vyhodnotiť iba pojmy F ₁ a F _{n + 1} . Tieto jednoduché substitúcie tvoria konečný výsledok súčtu.

Celkový počet výrazov nebude vyjadrený a bude potrebný iba na preukázanie výsledku, ale nie pre bežný proces výpočtu.

Dôležité je všimnúť si zbližovanie číselných sérií. Argument sumácie sa niekedy nedá vyjadriť teleskopicky. V týchto prípadoch je implementácia alternatívnych metód faktoringu veľmi bežná.

Charakteristická metóda faktorizácie pri teleskopických prídavkoch je metóda jednoduchých frakcií. K tomu dôjde, keď sa pôvodná frakcia rozloží na súčet niekoľkých frakcií, kde je možné pozorovať teleskopický obrazec (F _x - F _{x + 1} ) alebo (F _{x + 1} - F _x ).

Rozklad na jednoduché frakcie

Na overenie konvergencie číselných radov je veľmi bežné transformovať racionálne výrazy pomocou metódy jednoduchých zlomkov. Cieľom je modelovať dej do tvaru teleskopického súčtu.

Napríklad nasledujúca rovnosť predstavuje rozklad na jednoduché zlomky:

Pri vývoji číselných radov a aplikovaní zodpovedajúcich vlastností má výraz nasledujúcu formu:

Tam, kde je ocenený teleskopický tvar (F _x - F _{x + 1} ).

Postup je pomerne intuitívny a spočíva v nájdení hodnôt čitateľa, ktoré nám umožňujú bez toho, aby sme porušili rovnosť, oddeľovať produkty, ktoré sa nachádzajú v menovateli. Rovnice, ktoré vznikajú pri určovaní týchto hodnôt, sa zvyšujú podľa porovnania medzi oboma stranami rovnosti.

Tento postup sa pozoruje krok za krokom vo vývoji cvičenia 2.

histórie

Nie je celkom jasné, či je možné definovať historický okamih, v ktorom boli prezentované teleskopické sumácie. Jeho implementácia sa však začína prejavovať v sedemnástom storočí, v štúdiách číselných sérií, ktoré uskutočnili Leibniz a Huygens.

Obaja matematici, ktorí skúmajú súčty trojuholníkových čísel, si začínajú všimnúť trendy v zbližovaní určitých sérií po sebe nasledujúcich prvkov. Ešte zaujímavejšie je však začatie modelovania týchto výrazov v prvkoch, ktoré sa nemusia nevyhnutne vzájomne sledovať.

Výraz, ktorý sa predtým používal na označenie jednoduchých zlomkov:

Bol predstavený Huygensom a okamžite upútal Leibnizovu pozornosť. Kto v priebehu času mohol pozorovať konvergenciu k hodnote 2. Bez toho, aby o tom vedel, implementoval formát teleskopického sčítania.

cvičenie

Cvičenie 1

Definujte, do ktorého obdobia konverguje nasledujúca suma:

Pri manuálnom vývoji súčtu sa sleduje tento vzorec:

(2 ³ - 2 ⁴ ) + (2 ⁴ - 2 ⁵ ) + (2 ⁵ - 2 ⁶ ). , , , (2 ¹⁰ - 2 ¹¹ )

V prípade, že faktory z 2 ⁴ až 2 ¹⁰ súčasných pozitívnych i negatívnych častí, aby ich zrušenie evidentné. Jedinými faktormi, ktoré nebudú zjednodušené, budú potom prvé „2 ³ “ a posledné „2 ¹¹ “.

Týmto spôsobom sa pri implementácii kritéria teleskopického súčtu získa:

Cvičenie 2

Transformujte argument do súčtu teleskopického typu a definujte konvergenciu série:

Ako sa uvádza vo vyhlásení, prvá vec, ktorú musíte urobiť, je rozložiť sa na jednoduché zlomky, aby sa argument opätovne zdôraznil a teleskopicky sa vyjadril.

Musíte nájsť 2 zlomky, ktorých menovateľmi sú „n“ a „n + 1“, pričom metóda použitá nižšie musí získať hodnoty čitateľa, ktoré vyhovujú rovnosti.

Pokračujeme v definovaní hodnôt A a B. Najprv pridáme zlomky.

Potom sú menovatele zjednodušené a je stanovená lineárna rovnica.

V ďalšom kroku sa vykoná výraz vpravo, až kým sa nedosiahne vzor porovnateľný s „3“ vľavo.

Na definovanie rovníc, ktoré sa majú použiť, sa musia porovnať výsledky oboch strán rovnosti. Inými slovami, na ľavej strane nie sú pozorované žiadne hodnoty premennej n, takže A + B sa bude musieť rovnať nule.

A + B = 0; A = -B

Na druhej strane konštantná hodnota A sa bude musieť rovnať konštantnej hodnote 3.

A = 3

Tak.

A = 3 a B = -3

Keď už sú hodnoty čitateľa pre jednoduché zlomky už definované, sumarizácia sa prepočíta.

Tam, kde už bola dosiahnutá všeobecná forma teleskopického súčtu. Teleskopická séria je vyvinutá.

Ak sa pri delení veľmi veľkým počtom výsledok priblíži a priblíži k nule, pozoruje sa konvergencia série na hodnotu 3.

Tento typ sérií sa nedal vyriešiť iným spôsobom z dôvodu nekonečného počtu iterácií, ktoré definujú problém. Táto metóda však, spolu s mnohými ďalšími, predstavuje rámec študijného odboru číselných radov, ktorých cieľom je určiť konvergenčné hodnoty alebo definovať divergenciu uvedených sérií.

Referencie

1. Hodiny nekonečného počtu. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. EDITUM, 1994.
2. Integrálny počet: sekvencie a série funkcií. Antonio Rivera Figueroa. Grupo Editorial Patria, 21. októbra. 2014.
3. Kurz z počtu a reálnej analýzy. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5. júna. 2006.
4. Nekonečná séria. Tomlinson Fort. The Clarendon Press, 1930.
5. Prvky teórie nekonečných procesov. Lloyd Leroy Smail. McGraw-Hill Book Company, Incorporated, 1923.