- Vzorce a vlastnosti
- Plocha pod krivkou
- Riešené cvičenia
- - Cvičenie 1
- Riešenie
- - Cvičenie 2
- Riešenie
- Referencie
Riemann súčet je názov pre približný výpočet konečný základné, a to prostredníctvom diskrétne súčet s konečným počtom podmienok. Bežnou aplikáciou je aproximácia oblasti funkcií v grafe.
Bol to nemecký matematik Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866), ktorý najprv ponúkol dôkladnú definíciu integrálu funkcie v danom intervale. Zverejnil to v článku uverejnenom v roku 1854.
Obrázok 1. Suma Riemanna je definovaná pre funkciu f a pre oblasť v intervale. Zdroj: Fanny Zapata.
Suma Riemanna je definovaná funkciou y = f (x), pričom x patrí do uzavretého intervalu. V tomto intervale sa vytvorí oddiel P prvkov n:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 , …, x n = b}
To znamená, že interval je rozdelený takto:
x k-1 <t k <x k
Obrázok 1 graficky znázorňuje Riemannov súčet funkcie f v intervale na rozdelení štyroch podintervalov, sivých obdĺžnikov.
Súčet predstavuje celkovú plochu obdĺžnikov a výsledok tohto súčtu číselne aproximuje plochu pod krivkou f medzi osami x = x 0 a x = x 4 .
Prirodzene sa aproximácia k oblasti pod krivkou značne zlepšuje, pretože počet n priečok je väčší. Týmto spôsobom sa suma konvertuje k oblasti pod krivkou, keď počet n oblastí má sklon k nekonečnu.
Vzorce a vlastnosti
Riemannov súčet funkcie f (x) na oddiele:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 , …, x n = b}
Definovaný v intervale je daný:
S (P, F) = Σ k = 1 n f (t k ) (x k - x k-1 )
Kde t k je hodnota v intervale. V Riemannovom súčte sa zvyčajne používajú pravidelné intervaly šírky Δx = (b - a) / n, kde aab sú minimálna a maximálna hodnota vodorovnej osi, zatiaľ čo n je počet subdivízií.
V takom prípade je Riemannova správna suma:
Sd (f, n) = * Ax
Obrázok 2. Riemannova pravá suma. Zdroj: Wikimedia Commons. 09glasgow09.
Kým Riemannova ľavá suma je vyjadrená ako:
Ak (f, n) = * Δx
Obrázok 3. Súčet ľavého Riemanna. Zdroj: Wikimedia Commons. 09glasgow09
Nakoniec je centrálna Riemannova suma:
Original text
Sc (f, n) = * Ax
Obrázok 4. Medzisúčet podľa Riemanna. Zdroj: Wikimedia Commons. 09glasgow09
V závislosti od toho, kde je bod t k umiestnený v intervale, Riemannova suma môže nadhodnotiť alebo podceniť presnú hodnotu oblasti pod krivkou funkcie y = f (x). Inými slovami, obdĺžniky môžu vyčnievať z krivky alebo môžu byť mierne pod ňou.
Plocha pod krivkou
Hlavnou vlastnosťou Riemannovej sumy, z ktorej vyplýva jej dôležitosť, je to, že ak má počet pododdielov tendenciu k nekonečnu, výsledok súčtu konverguje k určitému integrálu funkcie:
Riešené cvičenia
- Cvičenie 1
Vypočítajte hodnotu určitého integrálu medzi a = -2 až b = +2 funkcie:
f (x) = x 2
Využite sumu Riemanna. Najprv nájdite súčet pre n pravidelných oddielov intervalu a potom vezmite matematický limit pre prípad, že počet oddielov má sklon k nekonečnu.
Riešenie
Nasledujú tieto kroky:
- Po prvé, interval oddielu je definovaný ako:
Δx = (b - a) / n.
-Keď Riemannova suma napravo zodpovedajúca funkcii f (x) vyzerá takto:
-A potom je v súčte starostlivo nahradená:
- Ďalším krokom je oddelenie súčtov a konštantné množstvá sa berú ako spoločný faktor každej sumy. Je potrebné vziať do úvahy, že index je i, preto sa čísla a výrazy s n považujú za konštantné:
- Každá suma sa hodnotí, pretože pre každú z nich existujú vhodné výrazy. Napríklad v prvej zo súhrnov je n:
- Nakoniec, integrál, ktorý sa má vypočítať, je:
Čitateľ si môže overiť, či sa jedná o presný výsledok, ktorý možno dosiahnuť vyriešením neurčitého integrálu a vyhodnotením limitov integrácie podľa Barrowovej vlády.
- Cvičenie 2
Približne určte oblasť pod funkciou:
f (x) = (1 / √ (2π)) e (-x 2 /2)
Zadajte x = -1 a x = + 1 s použitím stredného súčtu Riemann s 10 oddielmi. Porovnať s presným výsledkom a odhadnúť percentuálny rozdiel.
Riešenie
Krok alebo prírastok medzi dvoma po sebe nasledujúcimi diskrétnymi hodnotami je:
Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2
Oddiel P, na ktorom sú definované obdĺžniky, vyzerá takto:
P = {-1,0; -0.8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1.0}
Keďže sa však požaduje centrálna suma, funkcia f (x) sa vyhodnotí v strede podintervalov, tj v množine:
T = {-0,9; -0,7; -0.5; -0,3; -0.1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0.9}.
(Centrálna) suma Riemanna vyzerá takto:
S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 + … + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2
Pretože funkcia f je symetrická, je možné znížiť súčet iba na 5 výrazov a výsledok sa vynásobí dvoma:
S = 2 x 0,2 * {f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)}
S = 2 x 0,2 * {0,397 + 0,381 + 0,352 + 0,322 + 0,266} = 0,683
Funkcia uvedená v tomto príklade nie je iná ako dobre známy gaussovský zvon (normalizovaný, so strednou hodnotou rovnou nule a štandardnou odchýlkou jedna). Je známe, že plocha pod krivkou v intervale pre túto funkciu je 0,6827.
Obrázok 5. Plocha pod gaussovským zvonom aproximovaná sumou Riemanna. Zdroj: F. Zapata.
To znamená, že približné riešenie s iba 10 výrazmi zodpovedá presnému riešeniu s tromi desatinnými miestami. Percento chyby medzi približným a presným integrálom je 0,07%.
Referencie
- Casteleiro, JM, a Gómez-Álvarez, RP (2002). Integrálny počet (ilustrované vydanie). Madrid: ESIC Editorial.
- Unican. História pojmu integrál. Získané z: repositorio.unican.es
- UIS. Sumy Riemann. Obnovené z: matematicas.uis.edu.co
- Wikipedia. Riemann sum. Obnovené z: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Riemannova integrácia. Obnovené z: es.wikipedia.com