Na zistenie, aký je súčet druhých mocnín dvoch po sebe idúcich čísel , možno nájsť vzorec, ktorým stačí nahradiť príslušné čísla, aby sa dosiahol výsledok.
Tento vzorec možno nájsť všeobecne, to znamená, že ho možno použiť pre ľubovoľný pár po sebe idúcich čísel.
Ak vyslovíte „po sebe idúce čísla“, implicitne hovoríte, že obe čísla sú celé čísla. A pod pojmom „štvorce“ hovorí o vyrovnaní každého čísla.
Napríklad, ak sa vezmú do úvahy čísla 1 a 2, ich štvorce sú 1² = 1 a 2² = 4, preto súčet štvorcov je 1 + 4 = 5.
Na druhej strane, ak sa vezmú čísla 5 a 6, ich štvorce sú 5² = 25 a 6² = 36, pričom súčet štvorcov je 25 + 36 = 61.
Aký je súčet druhých mocnín dvoch po sebe idúcich čísel?
Cieľom je zovšeobecniť, čo sa urobilo v predchádzajúcich príkladoch. Na tento účel je potrebné nájsť všeobecný spôsob, ako napísať celé číslo a jeho celé číslo.
Ak sa pozriete na dve po sebe idúce celé čísla, napríklad 1 a 2, môžete vidieť, že 2 sa dajú zapísať ako 1 + 1. Tiež, ak sa dodržia čísla 23 a 24, dospeje sa k záveru, že 24 možno zapísať ako 23 + 1.
V prípade záporných celých čísel sa toto správanie dá overiť. Skutočne, ak sa vezmú do úvahy -35 a -36, je možné vidieť, že -35 = -36 + 1.
Preto, ak je vybrané akékoľvek celé číslo „n“, potom celé číslo za „n“ je „n + 1“. Vzťah medzi dvoma po sebe nasledujúcimi celými číslami už bol teda vytvorený.
Aký je súčet štvorcov?
Vzhľadom na dve po sebe idúce celé čísla „n“ a „n + 1“ sú ich štvorce „n²“ a „(n + 1) ²“. Použitím vlastností významných výrobkov možno tento posledný termín napísať takto:
(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1 .
Nakoniec je súčet druhých mocnín dvoch po sebe idúcich čísel vyjadrený výrazom:
n² + n² + 2n + 1 = 2n + 2n +1 = 2n (n + 1) +1 .
Ak je predchádzajúci vzorec podrobný, je zrejmé, že stačí poznať najmenšie celé číslo „n“, aby sme vedeli, aký je súčet štvorcov, to znamená, že stačí použiť najmenšie z dvoch celých čísel.
Ďalšia perspektíva získaného vzorca je: vybrané čísla sa vynásobia, potom sa získaný výsledok vynásobí 2 a nakoniec sa pridá 1.
Na druhej strane, prvý dodatok napravo je párne číslo a pridanie 1 bude mať nepárny charakter. To hovorí, že výsledkom pridania štvorcov dvoch po sebe idúcich čísel bude vždy nepárne číslo.
Možno tiež poznamenať, že keďže sa pridávajú dve čísla na druhú, bude tento výsledok vždy pozitívny.
Príklady
1.- Zvážte celé čísla 1 a 2. Najmenšie celé číslo je 1. Použitím predchádzajúceho vzorca sa dospelo k záveru, že súčet štvorcov je: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4 + 1 = 5. Čo súhlasí s počtom vykonaným na začiatku.
2. - Ak sa vezmú celé čísla 5 a 6, potom súčet druhých mocnín bude 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, čo sa tiež zhoduje s výsledkom získaným na začiatku.
3.- Ak sú vybrané celé čísla -10 a -9, potom súčet ich štvorcov je: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.
4.- Nech celé čísla pri tejto príležitosti sú -1 a 0, potom súčet ich štvorcov je daný 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.
Referencie
- Bouzas, PG (2004). Algebra na strednej škole: Spolupráca v matematike. Vydania Narcea.
- Cabello, RN (2007). Právomoci a korene. Zverejnite svoje knihy.
- Cabrera, VM (1997). Výpočet 4000. Redakčný progres.
- Guevara, MH (nd). Sada celých čísel. EUNED.
- Oteyza, E. d. (2003). Albegra. Pearson Education.
- Smith, SA (2000). Algebra. Pearson Education.
- Thomson. (2006). Absolvovanie GED: Matematika. InterLingua Publishing.