EMPIRICKÉ PRAVIDLO: AKO HO APLIKOVAŤ, NA ČO SLÚŽI, RIEŠENÉ CVIČENIA - DUDAS - 2026

Pravidlom je výsledkom praktických skúseností a reálneho života pozorovaním. Napríklad je možné vedieť, ktoré druhy vtákov možno pozorovať na určitých miestach v každom ročnom období a od tohto pozorovania sa môže ustanoviť „pravidlo“, ktoré opisuje životné cykly týchto vtákov.

V štatistike empirické pravidlo odkazuje na to, ako sú pozorovania zoskupené okolo centrálnej hodnoty, priemeru alebo priemeru, v jednotkách štandardnej odchýlky.

Predpokladajme, že máte skupinu ľudí s priemernou výškou 1,62 metra a štandardnou odchýlkou ​​0,25 metra, potom by nám empirické pravidlo umožnilo definovať napríklad, koľko ľudí by bolo v intervale priemernej plus alebo mínus jedna štandardná odchýlka?

Podľa pravidla predstavuje 68% údajov viac alebo menej jednu štandardnú odchýlku od priemeru, to znamená, že 68% ľudí v skupine bude mať výšku medzi 1,37 (1,62-0,25) a 1,87 (1,62 + 0,25) ) metrov.

Odkiaľ pochádza empirické pravidlo?

Empirickým pravidlom je zovšeobecnenie Tchebyshevovej vety a normálne rozdelenie.

Tchebyševova veta

Tchebyshevova veta hovorí, že: pre určitú hodnotu k> 1 je pravdepodobnosť, že náhodná premenná leží medzi strednou hodnotou mínus násobok štandardnej odchýlky a priemernou plus k-násobkom, štandardná odchýlka je väčšia alebo rovná ( 1 - 1 / k ² ).

Výhoda tejto vety je, že sa používa na diskrétne alebo spojité náhodné premenné s akýmkoľvek rozdelením pravdepodobnosti, ale pravidlo z neho definované nie je vždy veľmi presné, pretože závisí od symetrie distribúcie. Čím je distribúcia náhodných premenných skreslená, tým menej prispôsobená pravidlu bude jeho správanie.

Empirické pravidlo definované z tejto vety je:

Ak k = √2, hovorí sa, že 50% údajov je v intervale:

Ak k = 2, údajne je v intervale 75% údajov:

Ak k = 3, údajne je v intervale 89% údajov:

Normálne rozdelenie

Normálne rozdelenie, alebo gaussovský zvon, umožňuje stanoviť empirické pravidlo alebo pravidlo 68 - 95 - 99.7.

Pravidlo je založené na pravdepodobnosti výskytu náhodnej premennej v intervaloch medzi strednou hodnotou mínus jedna, dve alebo tri štandardné odchýlky a strednou hodnotou plus jedna, dve alebo tri štandardné odchýlky.

Empirické pravidlo definuje nasledujúce intervaly:

68,27% údajov je v intervale:

95,45% údajov je v intervale:

99,73% údajov je v intervale:

Na obrázku môžete vidieť, ako sa tieto intervaly zobrazujú, a vzťah medzi nimi pri zväčšovaní šírky základne grafu.

Empirické pravidlo. Melikamp Štandardizácia náhodnej premennej, to znamená vyjadrenie náhodnej premennej v zmysle z alebo štandardnej normálnej premennej, zjednodušuje použitie empirického pravidla, pretože premenná z má strednú hodnotu rovnú nule a štandardnú odchýlku rovnú jednej ,

Preto použitie empirického pravidla v mierke štandardnej normálnej premennej z definuje tieto intervaly:

68,27% údajov je v intervale:

95,45% údajov je v intervale:

99,73% údajov je v intervale:

Ako uplatniť empirické pravidlo?

Empirické pravidlo umožňuje skrátené výpočty pri práci s normálnym rozdelením.

Predpokladajme, že skupina 100 vysokoškolských študentov má priemerný vek 23 rokov so štandardnou odchýlkou ​​2 roky. Aké informácie umožňuje empirické pravidlo získať?

Uplatňovanie empirického pravidla zahŕňa nasledujúce kroky:

1. Zostavte intervaly pravidla

Pretože priemer je 23 a štandardná odchýlka je 2, intervaly sú:

= =

= =

= =

2 - Vypočítajte počet študentov v každom intervale podľa percentuálneho podielu

(100) * 68,27% = približne 68 študentov

(100) * 95,45% = približne 95 študentov

(100) * 99,73% = približne 100 študentov

Vekové intervaly sú spojené s počtom študentov a tlmočením

Najmenej 68 študentov je vo veku od 21 do 25 rokov.

Najmenej 95 študentov je vo veku od 19 do 27 rokov.

Takmer 100 študentov je vo veku od 17 do 29 rokov.

Čo je to pravidlo?

Empirické pravidlo je rýchly a praktický spôsob analýzy štatistických údajov, ktoré sa stávajú čoraz spoľahlivejšími, keďže distribúcia sa blíži k symetrii.

Jeho užitočnosť závisí od oblasti, v ktorej sa používa, a od predložených otázok. Je veľmi užitočné vedieť, že výskyt troch štandardných odchýlok pod alebo nad priemerom je takmer nepravdepodobný, dokonca aj pri neobvyklých distribučných premenných je najmenej 88,8% prípadov v intervaloch troch sigma.

V spoločenských vedách je všeobecne presvedčivým výsledkom rozsah priemernej plus alebo mínus dva sigma (95%), zatiaľ čo v časticovej fyzike si nový efekt vyžaduje, aby sa za objav považoval interval 5 sigma (99,99994%).

Riešené cvičenia

Králiky v rezerve

Odhaduje sa, že v prírodnej rezervácii je v priemere 16 000 králikov so štandardnou odchýlkou ​​500 králikov. Ak nie je známe rozdelenie premennej „počet králikov v rezerve“, je možné odhadnúť pravdepodobnosť, že populácia králikov je medzi 15 000 a 17 000 králikov?

Interval je možné vyjadriť nasledovne:

15000 = 16000 - 1000 = 16000 - 2 (500) = u - 2 s

17000 = 16000 + 1000 = 16000 + 2 (500) = u + 2 s

Preto:

Pri použití Tchebyshevovej vety je pravdepodobnosť najmenej 0,75, že populácia králikov v prírodnej rezervácii je medzi 15 000 a 17 000 králikov.

Priemerná hmotnosť detí v krajine

Priemerná hmotnosť jednoročných detí v krajine sa zvyčajne rozdeľuje s priemerom 10 kilogramov a štandardnou odchýlkou ​​približne 1 kilogram.

a) Odhadnite percento ročných detí v krajine, ktoré majú priemernú hmotnosť medzi 8 a 12 kilogrammi.

8 = 10 - 2 = 10 - 2 (1) = u - 2 s

12 = 10 + 2 = 10 + 2 (1) = u + 2 s

Preto:

Podľa empirického pravidla je možné konštatovať, že 68,27% jednoročných detí v krajine má hmotnosť 8 až 12 kilogramov.

b) Aká je pravdepodobnosť nájdenia jednoročného dieťaťa s hmotnosťou 7 kilogramov alebo menej?

7 = 10 - 3 = 10 - 3 (1) = u - 3 s

Je známe, že 7 kilogramov hmotnosti predstavuje hodnotu µ - 3 s, ako aj je známe, že 99,73% detí má hmotnosť medzi 7 a 13 kilogramami. To ponecháva iba 0,27% z celkového počtu detí pre extrémy. Polovica z nich, 0,135%, je 7 kilogramov alebo menej a druhá polovica, 0,135%, je 11 kilogramov alebo viac.

Možno teda konštatovať, že existuje pravdepodobnosť 0,00135, že dieťa váži 7 kilogramov alebo menej.

c) Ak populácia v krajine dosiahne 50 miliónov obyvateľov a 1-ročné deti predstavujú 1% obyvateľstva krajiny, koľko jednoročných detí bude vážiť 9 až 11 kilogramov?

9 = 10 - 1 = u - s

11 = 10 + 1 = u + s

Preto:

Podľa empirického pravidla je v intervale 68,27% jednoročných detí v krajine

V krajine je 500 000 ročných (1% z 50 miliónov), takže 341 350 detí (68,27% z 500 000) váži 9 až 11 kilogramov.

Referencie

1. Abraira, V. (2002). Štandardná odchýlka a štandardná chyba. Semergen Magazine. Obnovené z web.archive.org.
2. Freund, R.; Wilson, W .; Mohr, D. (2010). Štatistické metódy. Tretie vydanie. Academic Press-Elsevier Inc.
3. Server Alicante (2017). Empirické pravidlo (štatistické pojmy). Získané z lokality glosarios.servidor-alicante.com.
4. Lind, D; Marchal, W .; Wathen, S. (2012). Štatistika sa vzťahuje na podnikanie a hospodárstvo. Pätnáste vydanie. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Salinas, H. (2010). Štatistika a pravdepodobnosti. Získané z uda.cl.
6. Sokal, R.; Rohlf, F. (2009). Úvod do biostatistiky. Druhé vydanie. Publikácie Dover, Inc.
7. Spiegel, M. (1976). Pravdepodobnosť a štatistika. Schaumova séria. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
8. Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Štatistiky. Štvrté vydanie. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
9. Recenzia Stat119 (2019). Riešenie otázok empirického pravidla. Obnovené zo stránky stat119review.com.
10. (2019). Pravidlo 68-95-99.7. Obnovené z en.wikipedia.org.