- vzorec
- demonštrácie
- Koeficienty interpolačného polynómu
- Výpočet približného integrálu v
- Približný výpočet integrálu v
- Chyba aproximácie
- Pracovné príklady
- - Príklad 1
- Riešenie
- Referencie
Simpson , s pravidlom je spôsob výpočtu, približne, určitého integrálu. Je založená na rozdelení integračného intervalu na párny počet rovnomerne rozmiestnených čiastkových intervalov.
Extrémne hodnoty dvoch po sebe idúcich čiastkových intervalov definujú tri body, podľa ktorých sa hodí parabola, ktorej rovnica je polynóm druhého stupňa.
Obrázok 1. Pri Simpsonovej metóde je integračný interval rozdelený na párny počet intervalov rovnakej šírky. Funkcia sa aproximuje parabolou v každom 2 čiastkových intervaloch a integrál sa aproximuje súčtom plochy pod parabolami. Zdroj: upv.es.
Potom sa plocha pod krivkou funkcie v dvoch po sebe idúcich intervaloch aproximuje plochou interpolačného polynómu. Pridaním príspevku do oblasti pod parabolou všetkých následných čiastkových intervalov máme približnú hodnotu integrálu.
Na druhej strane, keďže integrál paraboly sa dá vypočítať algebraicky presne, potom je možné nájsť analytický vzorec pre približnú hodnotu určitého integrálu. Je známy ako Simpsonov vzorec.
Chyba takto získaného približného výsledku klesá, keď je počet subdivízií n väčší (kde n je párne číslo).
Ďalej bude uvedený výraz, ktorý umožňuje odhadnúť hornú hranicu chyby aproximácie k integrálu I, keď sa urobí rozdelenie n pravidelných podintervalov celkového intervalu.
vzorec
Integračný interval je rozdelený na n podintervalov, pričom n je párne celé číslo. Šírka každej podoblasti bude:
h = (b - a) / n
Týmto spôsobom sa oddiel vytvorí v intervale:
{X0, X1, X2, …, Xn-1, Xn}
Kde X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h, …, Xn-l = Xo + (n-l) h, Xn = Xo + nh = b.
Vzorec, ktorý umožňuje aproximovať definitívny integrál I spojitej a výhodne hladkej funkcie v intervale, je:
demonštrácie
Na získanie Simpsonovho vzorca je funkcia f (X) aproximovaná polynomom druhého stupňa druhého stupňa (parabola) druhého stupňa, ktorý prechádza tromi bodmi :; a.
Potom sa vypočíta integrál polynómu p (x), v ktorom aproximuje integrál funkcie f (X) v tomto intervale.
Obrázok 2. Graf znázorňujúci Simpsonov vzorec. Zdroj: F. Zapata.
Koeficienty interpolačného polynómu
Rovnica paraboly p (X) má všeobecný tvar: p (x) = AX 2 + bx + C. Ako je parabola prechádza bodmi Q uvedených v červenej (viď obrázok), potom koeficienty A, B, C sú určené z nasledujúceho systému rovníc:
A (-h) 2 - Bh + C = f (Xi)
C = f (Xi + 1)
A (h) 2 + Bh + C = f (Xi + 2)
Je zrejmé, že koeficient C je stanovený. Na určenie koeficientu A pridáme prvú a tretiu rovnicu získanú:
2 H 2 + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).
Potom sa nahradí hodnota C a A sa vymaže, pričom zostane:
A = / (2 h 2 )
Na určenie koeficientu B sa tretia rovnica odpočíta od prvej a B sa vyrieši, pričom sa získa:
B = = 2 h.
Súhrnne možno povedať, že polynóm p (X) druhého stupňa, ktorý prechádza bodmi Qi, Qi + 1 a Qi + 2, má koeficienty:
A = / (2 h 2 )
B = = 2 h
C = f (Xi + 1)
Výpočet približného integrálu v
Približný výpočet integrálu v
Ako už bolo uvedené, v celom integračnom intervale sa vytvorí oblasť {X0, X1, X2, …, Xn-1, Xn} s krokom h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n, kde n je párne číslo.
Chyba aproximácie
Všimnite si, že chyba sa znižuje so štvrtým výkonom počtu subdivízií v intervale. Napríklad, ak prejdete z podčasti n na 2n, potom sa chyba zníži o faktor 1/16.
Horná hranica chyby získaná pomocou Simpsonovej aproximácie sa dá získať z toho istého vzorca, pričom štvrtý derivát sa nahradí maximálnou absolútnou hodnotou štvrtého derivátu v intervale.
Pracovné príklady
- Príklad 1
Zoberme si funkciu f (X) = 1 / (1 + X 2 ).
Určite integrál funkcie f (X) na intervale pomocou Simpsonovej metódy s dvoma pododdielmi (n = 2).
Riešenie
Berieme n = 2. Limity integrácie sú a = -1 ab = -2, takže oddiel vyzerá takto:
X0 = -1; X1 = 0 a X2 = +1.
Simpsonov vzorec má preto nasledujúcu formu:
Obrázok 3. Príklad numerickej integrácie pomocou Simpsonovho pravidla používajúceho softvér. Zdroj: F. Zapata.
Referencie
- Casteleiro, JM 2002. Komplexný počet (ilustrovaná edícia). Madrid: ESIC Editorial.
- UPV. Simpsonova metóda. Polytechnická univerzita vo Valencii. Obnovené z: youtube.com
- Purcell, E. 2007. Deviate vydanie kalkulu. Prentice Hall.
- Wikipedia. Simpsonovo pravidlo. Obnovené z: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Lagrangeova polynomická interpolácia. Obnovené z: es.wikipedia.com