Tieto typy integrálov , ktoré nájdeme v počte sú neurčité integrály a určité integrály. Aj keď určité integrály majú omnoho viac aplikácií ako neurčité integrály, je potrebné sa najskôr naučiť, ako riešiť neurčité integrály.
Jednou z najatraktívnejších aplikácií definitívnych integrálov je výpočet objemu rotačného telesa. Oba typy integrálov majú rovnaké vlastnosti linearity a tiež integračné techniky nezávisia od typu integrálu.
Solid of Revolution
Napriek tomu, že sú veľmi podobné, je tu jeden hlavný rozdiel; v prvom type integrálu je výsledkom funkcia (ktorá nie je špecifická), zatiaľ čo v druhom type je výsledkom číslo.
Základné typy integrálov
Svet integrálov je veľmi široký, ale v ňom môžeme rozlíšiť dva základné typy integrálov, ktoré majú veľkú uplatniteľnosť v každodennom živote.
1 - Neurčité integrály
Ak F '(x) = f (x) pre všetky x v doméne f, hovoríme, že F (x) je antiderivatívum, primitívum alebo integrál f (x).
Na druhej strane, pozrime sa na to, že (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), čo znamená, že integrál funkcie nie je jedinečný, pretože pri konštantnej hodnote C dostaneme rôzne hodnoty, dostaneme rôzne primitívne funkcie.
Z tohto dôvodu sa F (x) + C nazýva Neurčitá integrál f (x) a C sa nazýva konštanta integrácie a píšeme ju nasledujúcim spôsobom
Neurčitá integrál
Ako vidíme, neurčitý integrál funkcie f (x) je rodinou funkcií.
Napríklad, ak chcete nájsť neurčitý integrál funkcie f (x) = 3x², musíte najskôr nájsť antiderivát f (x).
Je ľahké vidieť, že F (x) = x³ je antiderivatívum, pretože F '(x) = 3x². Preto možno dospieť k záveru, že
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2 - Jednoznačné integrály
Nech y = f (x) je skutočná súvislá funkcia v uzavretom intervale a nech F (x) je antiderivátom f (x). Definitívny integrál f (x) medzi limitmi aab sa nazýva číslo F (b) -F (a) a označuje sa nasledovne:
Základná veta počtu
Vyššie uvedený vzorec je lepšie známy ako „Základná veta počtu“. Tu sa „a“ nazýva dolná hranica a „b“ sa nazýva horná hranica. Ako vidíte, definitívnym integrálom funkcie je číslo.
V tomto prípade, ak je určitý integrál f (x) = 3x² vypočítaný v intervale, získa sa číslo.
Na určenie tohto čísla vyberieme F (x) = x³ ako antiderivát f (x) = 3x². Potom vypočítame F (3) -F (0), čo nám dáva výsledok 27-0 = 27. Na záver, konečný integrál f (x) v intervale je 27.
Možno poznamenať, že ak je vybrané G (x) = x³ + 3, potom G (x) je antiderivát f (x) odlišný od F (x), ale to nemá vplyv na výsledok, pretože G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Z tohto dôvodu sa konštanta integrácie v konečných integráloch neobjavuje.
Jednou z najužitočnejších aplikácií tohto typu integrálu je to, že nám umožňuje vypočítať plochu (objem) rovinnej postavy (rotačného telesa), ustanoviť vhodné funkcie a limity integrácie (a os otáčania).
V rámci určitých integrálov nájdeme jeho rôzne rozšírenia, ako napríklad líniové integrály, povrchové integrály, nesprávne integrály, viacnásobné integrály, a to všetko s veľmi užitočnými aplikáciami vo vede a technike.
Referencie
- Casteleiro, JM (2012). Je ľahké integrovať sa? Príručka na samoštúdium. Madrid: ESIC.
- Casteleiro, JM, a Gómez-Álvarez, RP (2002). Integrálny počet (ilustrované vydanie). Madrid: ESIC Editorial.
- Fleming, W., a Varberg, DE (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W., a Varberg, DE (1989). Prekalkulová matematika: riešenie problémov (2, ilustrované vydanie). Michigan: Prentice Hall.
- Kishan, H. (2005). Integrálny počet. Vydavatelia a distribútori v Atlantiku.
- Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Calculus (deviate vydanie). Prentice Hall.