ČO SÚ KOPLANÁRNE VEKTORY? (S RIEŠENÝMI CVIČENIAMI) - FYZICKÝ - 2026

Tieto koplanárne vektory , alebo v jednej rovine, sú tie, ktoré sú obsiahnuté v rovnakej rovine. Ak existujú iba dva vektory, vždy sú koplanárne, pretože existujú nekonečné roviny, je vždy možné zvoliť si ten, ktorý ich obsahuje.

Ak máte tri alebo viac vektorov, je možné, že niektoré z nich nie sú v rovnakej rovine ako ostatné, a preto sa nemôžu považovať za koplanárne. Nasledujúci obrázok zobrazuje súbor koplanárnych vektorov označených tučným písmom A , B , C a D :

Obrázok 1. Štyri koplanárne vektory. Zdroj: vlastný.

Vektory súvisia so správaním a vlastnosťami fyzikálnych veličín relevantných pre vedu a techniku; napríklad rýchlosť, zrýchlenie a sila.

Sila vyvoláva rôzne účinky na objekt, keď sa mení spôsob jeho použitia, napríklad zmenou intenzity, smeru a smeru. Aj keď sa zmení len jeden z týchto parametrov, výsledky sú výrazne odlišné.

V mnohých aplikáciách, tak v statike, ako aj v dynamike, sú sily pôsobiace na telo na rovnakej rovine, preto sa považujú za koplanárne.

Podmienky pre vektory, ktoré majú byť koplanárne

Aby mohli byť tri vektory koplanárne, musia ležať v rovnakej rovine a to sa stane, ak spĺňajú niektorú z týchto podmienok:

-Vektory sú rovnobežné, preto sú ich komponenty proporcionálne a lineárne závislé.

- Váš zmiešaný produkt je neplatný.

- Ak máte tri vektory a každý z nich môže byť napísaný ako lineárna kombinácia ostatných dvoch, tieto vektory sú koplanárne. Napríklad vektor, ktorý je výsledkom súčtu dvoch ďalších, sú všetky tri v rovnakej rovine.

Alternatívne je možné podmieniť koplaritu takto:

Zmiešaný produkt medzi tromi vektormi

Zmiešaný produkt medzi vektormi je definovaný tromi vektormi u , v a w, čo vedie k skaláru, ktorý vyplýva z vykonania nasledujúcej operácie:

u · ( v x w ) = u · (v x w )

Najprv sa uskutoční krížový produkt, ktorý je uvedený v zátvorkách: v x w , ktorého výsledkom je normálny vektor (kolmý) k rovine, v ktorej leží v a w .

Ak je u na rovnakej rovine ako v a w , musí byť skalárny produkt (bodový produkt) medzi u a normálnym vektorom rovný 0. Týmto spôsobom sa overuje, že tri vektory sú koplanárne (ležia na rovnakej rovine).

Ak zmiešaný produkt nie je nula, jeho výsledok sa rovná objemu rovnobežníka, ktorý má ako susedné strany vektory u , v a w .

aplikácia

Koplanárne, súbežné a nekolineárne sily

Všetky súbežné sily pôsobia v rovnakom bode. Ak sú tiež koplanárne, môžu byť nahradené jednou silou, ktorá sa nazýva výsledná sila a má rovnaký účinok ako pôvodné sily.

Ak je telo v rovnováhe vďaka trom koplanárnym, súbežným a nekolineárnym (nie paralelným) silám, ktoré sa nazývajú A , B a C, Lamyho veta naznačuje, že vzťah medzi týmito silami (veľkosťou) je nasledujúci:

A / sin α = B / sin β = C / sin γ

S α, β a γ ako opačnými uhlami k pôsobiacim silám, ako je znázornené na nasledujúcom obrázku:

Obrázok 2. Na jeden predmet pôsobia tri koplanárne sily A, B a C. Zdroj: Kiwakwok na anglickej Wikipédii

Riešené cvičenia

- Cvičenie 1

Nájdite hodnotu k tak, aby nasledujúce vektory boli koplanárne:

u = <-3, k, 2>

v = <4, 1, 0>

w = <-1, 2, -1>

Riešenie

Pretože máme zložky vektorov, používa sa kritérium zmiešaného produktu:

u ( v x w ) = 0

Najprv vyriešite v x w. Vektory budú vyjadrené v jednotkových vektoroch i , j a k, ktoré rozlišujú tri kolmé smery v priestore (šírka, výška a hĺbka):

v = 4 i + j + 0 k

w = -1 i + 2 j -1 k

v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k

Teraz uvažujeme skalárny produkt medzi u a vektorom, ktorý vyplynul z predchádzajúcej operácie, pričom operácia sa nastaví na 0:

u ( v x w ) = (-3 i + k j + 2 k ) · (-2 i + 4 j + 9 k ) = 6 + 4k +18 = 0

24 + 4k = 0

Hľadaná hodnota je: k = - 6

Vektor u je teda:

u = <-3, -6, 2>

- Cvičenie 2

Obrázok ukazuje predmet, ktorého hmotnosť je W = 600 N, visiaci v rovnováhe vďaka káblom umiestneným v uhloch znázornených na obrázku 3. Je možné v tejto situácii použiť Lamyho vetu? V každom prípade, nájsť veličiny T ₁ , T _2, a T ₃ , ktoré tvoria rovnováha možné.

Obrázok 3. Váha visí v rovnováhe pôsobením troch znázornených napätí. Zdroj: vlastný.

Riešenie

Lamyho veta je v tejto situácii použiteľná, ak sa uvažuje o uzle, na ktorý sú aplikované tri napätia, pretože tvoria systém koplanárnych síl. Najprv sa urobí diagram voľného tela pre visiacu váhu, aby sa určila veľkosť T _3:

Obrázok 4. Schéma voľného tela na zavesenie závažia. Zdroj: vlastný.

Z rovnovážneho stavu vyplýva, že:

Uhly medzi silami sú na nasledujúcom obrázku označené červenou farbou, je možné ľahko overiť, že ich súčet je 360 ​​°. Teraz je možné aplikovať Lamyho vetu, pretože je známa jedna zo síl a tri uhly medzi nimi:

Obrázok 5.- V červenej farbe uhly na použitie Lamyho vety. Zdroj: vlastný.

T ₁ / sin 127º = W / sin 106º

Z tohto dôvodu: T ₁ = sin 127º (W / sin 106º) = 498,5 N

Opäť Lamy veta sa používa na riešenie pre T ₂ :

T ₂ / sin 127 = T ₁ / sin 127º

T ₂ = T ₁ = 498,5 N

Referencie

1. Figueroa, D. Séria: Fyzika pre vedu a techniku. Zväzok 1. Kinematika. 31 až 68.
2. Fyzický. Modul 8: Vektory. Získané z: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mechanika pre inžinierov. statický 6. vydanie. 28-66.
4. McLean, W. Schaum Series. Mechanika pre inžinierov: Statika a dynamika. 3. vydanie. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vector. Obnovené z: es.wikipedia.org.