Hovorí sa tomu, že je relatívne prvočíselný (coprime alebo sú navzájom relatívne prvočíselné), ak ktorýkoľvek pár celých čísel nemá spoločného deliteľa iného ako 1.
Inými slovami, dve celé čísla sú relatívnymi prvočíslami, ak vo svojich rozkladoch na prvočísla nemajú spoločný faktor.
Napríklad, ak sú vybrané 4 a 25, hlavné faktorizácie každého z nich sú 2² a 5². Ako je vidieť, tieto nemajú žiadne spoločné faktory, a preto 4 a 25 sú relatívne prvočísla.
Na druhej strane, ak sa vyberú 6 a 24, pri vykonávaní ich rozkladu na primárne faktory získame, že 6 = 2 * 3 a 24 = 2³ * 3.
Ako vidíte, tieto posledné dva výrazy majú aspoň jeden spoločný faktor, preto nie sú relatívnymi prvočíslami.
Relatívne bratranci
Jeden detail, na ktorý treba dať pozor, je to, že tvrdenie, že dvojice celých čísel sú relatívnymi prvočíslami, neznamená, že žiadne z nich je prvočíslo.
Na druhej strane vyššie uvedená definícia sa dá zhrnúť takto: dve celé čísla „a“ a „b“ sú relatívne prvočísla, iba ak ich najväčší spoločný deliteľ je 1, tj gcd ( a, b) = 1.
Z tejto definície vyplývajú dva okamžité závery:
- Ak «a» (alebo «b») je prvočíslo, potom gcd (a, b) = 1.
- Ak «a» a «b» sú prvočísla, potom gcd (a, b) = 1.
To znamená, že ak aspoň jedno z vybraných čísel je prvočíslo, potom je dvojica čísel priamo prvočísla.
Ďalšie funkcie
Ďalšie výsledky, ktoré sa používajú na určenie, či sú dve čísla relatívnymi prvočíslami, sú:
- Ak sú dve celé čísla za sebou, potom sú relatívnymi prvočíslami.
- Dve prirodzené čísla „a“ a „b“ sú relatívnymi prvočíslami, iba ak čísla „(2 ^ a) -1“ a „(2 ^ b) -1“ sú relatívnymi prvočíslami.
- Dve celé čísla «a» a «b» sú relatívnymi prvočíslami vtedy a len vtedy, ak pri grafe bodu (a, b) v karteziánskej rovine a pri zostrojení priamky, ktorá prechádza počiatočným bodom (0,0) a ( a, b), neobsahuje bod s celočíselnými súradnicami.
Príklady
1.- Zvážte celé čísla 5 a 12. Rozklady v hlavných faktoroch oboch čísel sú: 5 a 2² * 3. Záverom možno povedať, že gcd (5,12) = 1, preto 5 a 12 sú relatívne prvočísla.
2.- Nechajte čísla -4 a 6. Potom -4 = -2² a 6 = 2 * 3 tak, aby LCD (-4,6) = 2 ≠ 1. Na záver -4 a 6 nie sú relatívne prvočísla.
Ak pokračujeme v grafe priamky, ktorá prechádza usporiadanými pármi (-4,6) a (0,0), a pri stanovení rovnice uvedenej priamky sa dá overiť, či prechádza bodom (-2,3).
Znovu sa dospelo k záveru, že -4 a 6 nie sú relatívne prvočísla.
3.- Čísla 7 a 44 sú relatívnymi prvočíslami a je možné ich rýchlo uzavrieť vďaka tomu, čo bolo uvedené vyššie, pretože 7 je prvočíslo.
4.- Zoberme si čísla 345 a 346. Ako dve po sebe idúce čísla sa overuje, že gcd (345,346) = 1, preto 345 a 346 sú relatívnymi prvočíslami.
5. - Ak sa vezmú do úvahy čísla 147 a 74, potom sa jedná o relatívne prvočísla, pretože 147 = 3 * 7² a 74 = 2 * 37, preto LCD (147,74) = 1.
6.- Čísla 4 a 9 sú relatívnymi prvočíslami. Na preukázanie toho sa môže použiť druhá uvedená charakteristika uvedená vyššie. Skutočne, 2 ^ 4 = 16-1 = 15 a 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.
Získané čísla sú 15 a 511. Hlavné faktorizácie týchto čísel sú 3 * 5 a 7 * 73, takže LCD (15,511) = 1.
Ako vidíte, použitie druhej charakteristiky je dlhšie a náročnejšie ako priame overenie.
7.- Zoberme si čísla -22 a -27. Potom je možné tieto čísla prepísať takto: -22 = -2 * 11 a -27 = -3³. Takže gcd (-22, -27) = 1, takže -22 a -27 sú relatívne prvočísla.
Referencie
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Úvod do teórie čísel. EUNED.
- Bourdon, PL (1843). Aritmetické prvky. Knižnica vdov a detí z Calleja.
- Castañeda, S. (2016). Základný kurz teórie čísel. Severná univerzita.
- Guevara, MH (nd). Sada celých čísel. EUNED.
- Vysoký inštitút prípravy učiteľov (Španielsko), JL (2004). Čísla, tvary a objemy v prostredí dieťaťa. Ministerstvo školstva.
- Palmer, CI, & Bibb, SF (1979). Praktická matematika: aritmetika, algebra, geometria, trigonometria a posuvné pravidlo (dotlač. Ed.). Reverte.
- Rock, NM (2006). Algebra I Is Easy! Tak ľahké. Team Rock Press.
- Smith, SA (2000). Algebra. Pearson Education.
- Szecsei, D. (2006). Základná matematika a pred algebra (ilustrované vydanie). Kariéra Press.
- Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2. matematický kurz. Redakčný progres.
- Wagner, G., Caicedo, A., & Colorado, H. (2010). Základné princípy aritmetiky. ELIZCOM SAS