ČO SÚ TRIGONOMETRICKÉ LIMITY? (CVIČENIA VYRIEŠENÉ) - MATEMATIKA - 2026

Tieto goniometrické limity sú limity pracuje tak, že tieto funkcie sú tvorené goniometrické funkcie.

Aby sme pochopili, ako vypočítať trigonometrický limit, musia byť známe dve definície.

Tieto definície sú:

- limit funkcie «f», keď «x» má tendenciu «b»: pozostáva z výpočtu hodnoty, ku ktorej sa f (x) priblíži, keď sa «x» priblíži «b» bez dosiahnutia «b» ».

- Trigonometrické funkcie: trigonometrické funkcie sú sínusová, kosínusová a tangensová funkcia, ktoré sú označené sinom (x), cos (x) a tan (x).

Ostatné trigonometrické funkcie sa získajú z troch vyššie uvedených funkcií.

Funkčné limity

Na objasnenie pojmu funkčný limit budeme ďalej uvádzať príklady jednoduchých funkcií.

- Hranica f (x) = 3, keď "x" má tendenciu k "8", sa rovná "3", pretože funkcia je vždy konštantná. Bez ohľadu na to, koľko stojí „x“, hodnota f (x) bude vždy „3“.

- Hranica f (x) = x-2, keď «x» má tendenciu k «6», je «4». Odkedy sa "x" blíži "6", potom "x-2" sa blíži "6-2 = 4".

- Hranica g (x) = x², keď „x“ má tendenciu „3“, sa rovná 9, pretože keď sa „x“ priblíži k „3“, potom „x²“ sa priblíži k „3² = 9“ ,

Ako je možné vidieť v predchádzajúcich príkladoch, výpočet limitu spočíva v vyhodnotení hodnoty, ku ktorej má funkcia x tendenciu, a výsledkom bude hodnota limitu, hoci to platí iba pre spojité funkcie.

Existujú zložitejšie limity?

Odpoveď je áno. Vyššie uvedené príklady sú najjednoduchšie príklady limitov. V knihách počtu sú hlavné limitné cvičenia tie, ktoré generujú neurčitosť typu 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 a (∞) ^ 0.

Tieto výrazy sa nazývajú neurčité, pretože sú to výrazy, ktoré matematicky nedávajú zmysel.

Okrem toho, v závislosti od funkcií zahrnutých v pôvodnom limite, sa môžu výsledky získané pri riešení neurčitých výsledkov v každom prípade líšiť.

Príklady jednoduchých trigonometrických limitov

Na vyriešenie limitov je vždy veľmi užitočné poznať grafy príslušných funkcií. Grafy sínusových, kosínusových a tangenciálnych funkcií sú uvedené nižšie.

Niektoré príklady jednoduchých trigonometrických limitov sú:

- Vypočítajte limit hriechu (x), keď «x» má tendenciu «0».

Pri pohľade na graf je zrejmé, že ak sa „x“ priblíži k „0“ (zľava aj sprava), sínusový graf sa tiež priblíži k „0“. Preto hranica hriechu (x), keď „x“ má tendenciu „0“, je „0“.

- Vypočítajte limit cos (x), keď «x» má tendenciu «0».

Z pozorovania grafu kosínu je zrejmé, že keď je "x" blízko "0", potom je graf kosínu blízko "1". To znamená, že limit cos (x), keď "x" má tendenciu k "0", sa rovná "1".

Limit môže existovať (byť číslom), ako v predchádzajúcich príkladoch, ale môže sa tiež stať, že neexistuje, ako je uvedené v nasledujúcom príklade.

- Hranica opálenia (x), keď «x» má tendenciu k «Π / 2» zľava, sa rovná «+ ∞», ako je zrejmé z grafu. Na druhej strane, limit opálenia (x), keď „x“ má tendenciu „-Π / 2“ sprava, sa rovná „-∞“.

Trigonometrické limity

Dve veľmi užitočné identity pri výpočte trigonometrických limitov sú:

- Hranica «sin (x) / x», keď «x» má tendenciu «0», sa rovná «1».

- Hranica «(1-cos (x)) / x», keď «x» má sklon k «0», sa rovná «0».

Tieto identity sa používajú veľmi často, keď máte nejakú neurčitosť.

Riešené cvičenia

Vyriešte nasledujúce limity pomocou identifikácií opísaných vyššie.

- Vypočítajte limit «f (x) = sin (3x) / x», keď «x» má tendenciu «0».

Ak je funkcia "f" vyhodnotená pri "0", získa sa neurčitosť typu 0/0. Preto sa musíme pokúsiť vyriešiť túto neurčitosť pomocou opísaných identít.

Jediným rozdielom medzi týmto limitom a identitou je číslo 3, ktoré sa objaví v sínusovej funkcii. Na účely uplatnenia identity musí byť funkcia «f (x)» prepísaná nasledovne «3 * (sin (3x) / 3x)». Teraz sú sínusový argument aj menovateľ rovnaké.

Takže keď "x" má tendenciu k "0", použitie identity dáva "3 * 1 = 3". Preto limit f (x), keď "x" má tendenciu k "0", sa rovná "3".

- Vypočítajte limit «g (x) = 1 / x - cos (x) / x», keď «x» má tendenciu «0».

Ak je vg (x) nahradené "x = 0", získa sa neurčitosť typu ∞-∞. Aby sa tento problém vyriešil, najprv sa odčítajú frakcie, čím sa získa "(1-cos (x)) / x".

Teraz, pri použití druhej trigonometrickej identity, máme limit g (x), keď "x" má sklon k "0", sa rovná 0.

- Vypočítajte limit «h (x) = 4tan (5x) / 5x», keď «x» má tendenciu «0».

Ak je h (x) vyhodnotené pri "0", získa sa neurčitosť typu 0/0.

Prepisom ako (5x) ako sin (5x) / cos (5x) sa získa h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Použitím tohto limitu 4 / cos (x), keď "x" má tendenciu k "0", sa rovná "4/1 = 4" a získa sa prvá trigonometrická identita, že limit h (x), keď "x" má tendenciu "0" sa rovná "1 * 4 = 4".

pozorovanie

Trigonometrické limity nie je vždy ľahké vyriešiť. V tomto článku sú uvedené iba základné príklady.

Referencie

1. Fleming, W., a Varberg, DE (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., a Varberg, DE (1989). Prekalkulová matematika: riešenie problémov (2, ilustrované vydanie). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra a trigonometria s analytickou geometriou. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8. vydanie). Cengage Learning.
5. Leal, JM, a Viloria, NG (2005). Analytická geometria roviny. Mérida - Venezuela: Editorial Editorial Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Calculus (deviate vydanie). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Diferenciálny počet s včasnými transcendentnými funkciami pre vedu a techniku ​​(2. vydanie, vydanie). Prepona.
9. Scott, CA (2009). Karteziánska rovinná geometria, časť: Analytický kužeľ (1907) (tlač vyd.). Zdroj blesku.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.