ČO SÚ TO SIMULTÁNNE ROVNICE? (CVIČENIA VYRIEŠENÉ) - MATEMATIKA - 2026

Tieto rovníc sú tie rovnice, ktoré musia byť splnené súčasne. Preto, aby ste mali simultánne rovnice, musíte mať viac ako jednu rovnicu.

Keď máte dve alebo viac rôznych rovníc, ktoré musia mať rovnaké riešenie (alebo rovnaké riešenia), hovorí sa, že máte systém rovníc alebo sa hovorí, že máte simultánne rovnice.

Ak máme simultánne rovnice, môže sa stať, že nemajú spoločné riešenia alebo nemajú obmedzené množstvo alebo nekonečné množstvo.

Simultánne rovnice

Vzhľadom na dve rôzne rovnice Eq1 a Eq2 vyplýva, že systém týchto dvoch rovníc sa nazýva simultánne rovnice.

Simultánne rovnice uspokojujú, že ak S je riešením Eq1, potom S je tiež riešením Eq2 a naopak.

vlastnosti

Pokiaľ ide o systém simultánnych rovníc, môžete mať 2 rovnice, 3 rovnice alebo N rovnice.

Najbežnejšie metódy používané na riešenie simultánnych rovníc sú: substitúcia, vyrovnávanie a redukcia. Existuje aj iná metóda nazývaná Cramerovo pravidlo, ktorá je veľmi užitočná pre systémy viac ako dvoch simultánnych rovníc.

Príkladom simultánnych rovníc je systém

Eq1: x + y = 2

Eq2: 2x-y = 1

Je zrejmé, že x = 0, y = 2 je riešením Eq1, ale nie je to riešenie Eq2.

Jediným bežným riešením, ktoré majú obidve rovnice, je x = 1, y = 1. To znamená, že x = 1, y = 1 je riešením systému simultánnych rovníc.

Riešené cvičenia

Ďalej pristúpime k riešeniu systému simultánnych rovníc uvedených vyššie, pomocou uvedených troch metód.

Prvé cvičenie

Vyriešte systém rovníc Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 pomocou substitučnej metódy.

Riešenie

Substitučná metóda spočíva v riešení jednej z neznámych v jednej z rovníc a jej nahradení v druhej rovnici. V tomto konkrétnom prípade môžeme vyriešiť pre „y“ z Eq1 a dostaneme, že y = 2-x.

Nahradením tejto hodnoty «y» v Eq2 dostaneme, že 2x- (2-x) = 1. Preto dostávame, že 3x-2 = 1, to znamená x = 1.

Potom, keď je známa hodnota x, je nahradená v „y“ a dostaneme, že y = 2-1 = 1.

Preto jediným riešením pre systém simultánnych rovníc Eq1 a Eq2 je x = 1, y = 1.

Druhé cvičenie

Vyriešte systém rovníc Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 pomocou metódy párovania.

Riešenie

Metóda porovnávania pozostáva z riešenia tých istých neznámych v obidvoch rovniciach a potom porovnania výsledných rovníc.

Vyriešením "x" z obidvoch rovníc dostaneme, že x = 2-y a x = (1 + y) / 2. Teraz sú tieto dve rovnice rovnice a dostaneme, že 2-y = (1 + y) / 2, z čoho vyplýva, že 4-2y = 1 + y.

Zoskupenie neznámeho „y“ na rovnakú stranu vedie k y = 1. Teraz, keď je známe písmeno „y“, zisťujeme hodnotu „x“. Nahradením y = 1 dostaneme, že x = 2-1 = 1.

Preto spoločné riešenie medzi rovnicami Eq1 a Eq2 je x = 1, y = 1.

Tretie cvičenie

Vyriešte systém rovníc Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 pomocou redukčnej metódy.

Riešenie

Metóda redukcie spočíva v znásobení rovníc daných príslušnými koeficientmi, takže pri sčítaní týchto rovníc sa jedna z premenných zruší.

V tomto konkrétnom príklade nie je potrebné vynásobiť žiadnu rovnicu ktorýmkoľvek koeficientom, stačí ich pridať. Pridaním Eq1 plus Eq2 dostaneme, že 3x = 3, z čoho dostaneme, že x = 1.

Pri hodnotení x = 1 v E1 dostaneme 1 + y = 2, z čoho vyplýva, že y = 1.

Preto x = 1, y = 1 je jediným riešením súbežných rovníc Eq1 a Eq2.

Štvrté cvičenie

Vyriešte systém simultánnych rovníc Eq1: 2x-3y = 8 a Eq2: 4x-3y = 12.

Riešenie

V tomto cvičení nie je potrebná žiadna konkrétna metóda, preto je možné použiť metódu, ktorá je pre každého čitateľa najpohodlnejšia.

V tomto prípade sa použije metóda redukcie. Vynásobením Eq1 koeficientom 2 sa získa rovnica Eq3: -4x + 6y = -16. Teraz, pridaním Eq3 a Eq2 dostaneme, že 3y = -4, teda y = -4 / 3.

Teraz, keď hodnotíme y = -4 / 3 v Eq1, dostaneme, že 2x-3 (-4/3) = 8, z čoho 2x + 4 = 8, teda x = 2.

Na záver, jediné riešenie pre systém simultánnych rovníc Eq1 a Eq2 je x = 2, y = -4 / 3.

pozorovanie

Metódy opísané v tomto článku sa môžu uplatniť na systémy s viac ako dvoma simultánnymi rovnicami.

Čím viac rovníc a čím viac neznámych, tým zložitejší je postup riešenia systému.

Akákoľvek metóda riešenia systémov rovníc poskytne rovnaké riešenia, to znamená, že riešenia nezávisia od použitej metódy.

Referencie

1. Fuentes, A. (2016). ZÁKLADNÁ MATH. Úvod do počtu. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratické rovnice: Ako vyriešiť kvadratickú rovnicu. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF, a Paul, RS (2003). Matematika pre riadenie a ekonomiku. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Prah.
5. Preciado, CT (2005). Kurz matematiky 3.. Redakčný progres.
6. Rock, NM (2006). Algebra I Is Easy! Tak ľahké. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra a trigonometria. Pearson Education.