Gravicentro je definícia, ktorá sa veľmi používa sa v geometrii pri práci s trojuholníkmi.
Aby sme pochopili definíciu gravitácie, musíme najprv poznať definíciu „mediánov“ trojuholníka.
Mediánmi trojuholníka sú úsečky, ktoré začínajú v každom vrchole a dosahujú do stredu strany oproti tomuto vrcholu.
Priesečník troch mediánov trojuholníka sa nazýva barycenter alebo sa nazýva aj gravicentrum.
Nestačí len poznať definíciu, je zaujímavé vedieť, ako sa tento bod počíta.
Výpočet ťažiska
Vzhľadom na trojuholník ABC so vrcholmi A = (x1, y1), B = (x2, y2) a C = (x3, y3) je gravicentrum priesečníkom troch stredov trojuholníka.
Rýchly vzorec, ktorý umožňuje výpočet ťažiska trojuholníka so znalosťou súradníc jeho vrcholov, je:
G = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3).
Pomocou tohto vzorca môžete zistiť polohu gravitačného centra v karteziánskej rovine.
Charakteristika Gravicentra
Nie je potrebné nakresliť tri mediány trojuholníka, pretože pri kreslení dvoch z nich bude zrejmé, kde je gravicentro.
Gravidentro delí každý stredný bod na 2 časti, ktorých pomer je 2: 1, to znamená, že dva segmenty každého stredného úseku sú rozdelené na segmenty s dĺžkou 2/3 a 1/3 celkovej dĺžky, pričom väčšia vzdialenosť je tu, v ktorej je medzi vrcholom a ťažiskom.
Nasledujúci obrázok lepšie ilustruje túto vlastnosť.
Vzorec na výpočet gravitácie je veľmi jednoduchý. Spôsob, ako získať tento vzorec, je vypočítanie priamkových rovníc, ktoré definujú každý stredný bod a potom nájdenie priesečníka týchto priamok.
cvičenie
Tu je krátky zoznam problémov týkajúcich sa výpočtu ťažiska.
1.- Pri trojuholníku so vrcholmi A = (0,0), B = (1,0) a C = (1,1) sa vypočíta ťažisko tohto trojuholníka.
Na základe uvedeného vzorca je možné rýchlo dospieť k záveru, že ťažisko trojuholníka ABC je:
G = ((0 + 1 + 1) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (2/3, 1/3).
2.- Ak má trojuholník vrcholy A = (0,0), B = (1,0) a C = (1 / 2,1), aké sú súradnice gravicentra?
Pretože vrcholy trojuholníka sú známe, pristúpime k použitiu vzorca na výpočet ťažiska. Preto má gravicentro súradnice:
G = ((0 + 1 + 1/2) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (1/2, 1/3).
3.- Vypočítajte možné gravicentra pre rovnostranný trojuholník tak, že dva jeho vrcholy sú A = (0,0) a B = (2,0).
V tomto cvičení zadávate iba dva vrcholy trojuholníka. Aby sme našli možné gravicentra, musíme najprv vypočítať tretí vrchol trojuholníka.
Pretože trojuholník je rovnostranný a vzdialenosť medzi A a B je 2, tretí vrchol C musí byť vo vzdialenosti 2 od A a B.
Použitím skutočnosti, že v rovnostrannom trojuholníku sa výška zhoduje so strednou hodnotou a tiež s použitím Pytagorovej vety, možno dospieť k záveru, že možnosti súradníc tretieho vrcholu sú C1 = (1, √3) alebo C2 = (1, - - √3).
Súradnice dvoch možných gravitórií sú teda:
G1 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0 + √3) / 3) = (3/3, √3 / 3) = (1, /3 / 3),
G2 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0-√3) / 3) = (3/3, -√3 / 3) = (1, -3 / 3).
Vďaka predchádzajúcim účtom možno tiež poznamenať, že medián bol rozdelený na dve časti, ktorých pomer je 2: 1.
Referencie
- Landaverde, F. d. (1997). Geometria (opakovaná tlač). Progress.
- Leake, D. (2006). Trojuholníky (ilustrované vydanie). Heinemann-Raintree.
- Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
- Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometria. CR technológia.
- Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.
- Sullivan, M. (1997). Trigonometria a analytická geometria. Pearson Education.