KOPLANÁRNE BODY: ROVNICA, PRÍKLAD A RIEŠENÉ CVIČENIA - MATEMATIKA - 2026

Všetky koplanárne body patria do rovnakej roviny. Dva body sú vždy koplanárne, pretože tieto body definujú čiaru, cez ktorú prechádzajú nekonečné roviny. Potom obidva body patria do každej z rovín, ktoré prechádzajú čiarou, a preto budú vždy koplanárne.

Na druhej strane tri body definujú jednu rovinu, z ktorej vyplýva, že tri body budú vždy rovné rovine, ktorú určia.

Obrázok 1. A, B, C a D sú koplanárne k (Ω) rovine. E, F a G nie sú rovnobežné s (Ω), ale sú rovnobežné s rovinou, ktorú definujú. Zdroj: F. Zapata.

Viac ako tri body môžu byť koplanárne alebo nie. Napríklad na obrázku 1 sú body A, B, C a D koplanárne s rovinou (Ω). Ale E, F a G nie sú koplanárne k (Ω), hoci sú koplanárne k rovine, ktorú definujú.

Rovnica lietadla s tromi bodmi

Rovnica roviny určená tromi známymi bodmi A, B, C je matematický vzťah, ktorý zaručuje, že každý bod P so všeobecnými súradnicami (x, y, z), ktorý spĺňa rovnicu, patrí do tejto roviny.

Predchádzajúce tvrdenie je rovnaké ako tvrdenie, že ak P súradníc (x, y, z) spĺňa rovnicu, potom bude uvedený bod koplanárny s tromi bodmi A, B, C, ktoré určujú rovinu.

Ak chcete nájsť rovnicu tejto roviny, začnime nájdením vektorov AB a AC :

AB =

AC =

Výsledkom vektorového produktu AB X AC je vektor kolmý alebo kolmý na rovinu určenú bodmi A, B, C.

Akýkoľvek bod P so súradnicami (x, y, z) patrí do roviny, ak je vektor AP kolmý na vektor AB X AC , čo je zaručené, ak:

AP • (AB X AC) = 0

To sa rovná tvrdeniu, že trojitý produkt AP , AB a AC je nula. Vyššie uvedená rovnica môže byť zapísaná v maticovej forme:

príklad

Nechajte body A (0, 1, 2); B (1,2,3); C (7, 2, 1) a D (a, 0, 1). Aká hodnota musí mať, aby štyri body boli koplanárne?

Riešenie

Na zistenie hodnoty a musí byť bod D súčasťou roviny určenej A, B a C, čo je zaručené, ak vyhovuje rovnici roviny.

Vyvíjame determinant, ktorý máme:

Predchádzajúca rovnica nám hovorí, že a = -1 na splnenie rovnosti. Inými slovami, jediný spôsob, ako je bod D (a, 0,1) koplanárny s bodmi A, B a C, je a. Inak to nebude koplanárne.

Riešené cvičenia

- Cvičenie 1

Rovina pretína karteziánske osi X, Y, Z na 1, 2 a 3. Priesečník tejto roviny s osami určuje body A, B a C. Nájdite komponent Dz bodu D, ktorého karteziánskymi komponentmi sú:

Za predpokladu, že D je koplanárna s bodmi A, B a C.

Riešenie

Ak sú známe priesečníky roviny s karteziánskymi osami, je možné použiť segmentovú formu rovnice:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

Keďže bod D musí patriť do predchádzajúcej roviny, musí:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

To znamená:

-Dz + Dz / 2 + 1 + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = 1/2

Dz = -3

Z vyššie uvedeného vyplýva, že bod D (3, -2, -3) je koplanárny s bodmi A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) a C (0, 0, 3).

- Cvičenie 2

Určite, či body A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) a D (2, 3, 1) sú koplanárne.

Riešenie

Vytvárame maticu, ktorej riadky sú súradnice DA, BA a CA. Potom sa determinant vypočíta a overí sa, či je alebo nie je nula.

Po vykonaní všetkých výpočtov sa dospelo k záveru, že sú koplanárne.

- Cvičenie 3

Vo vesmíre sú dve čiary. Jedným z nich je priamka (R), ktorej parametrická rovnica je:

A druhá je priamka (S), ktorej rovnica je:

Ukážte, že (R) a (S) sú koplanárne čiary, to znamená, že ležia v rovnakej rovine.

Riešenie

Začnime ľubovoľným získavaním dvoch bodov na priamke (R) a dvoch na priamke (S):

Čiara (R): A = 0; A (1, 1, 1) a A = 1; B (3, 0, 1)

Nech x = 0 na priamke (S) => y = ½; C (0, 1, 1). A na druhej strane, ak urobíme y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

To znamená, že sme vzali body A a B, ktoré patria do línie (R), a body C a D, ktoré patria do línie (S). Ak sú tieto body koplanárne, potom budú aj dva riadky.

Teraz vyberieme bod A ako pivot a potom nájdeme súradnice vektorov AB , AC a AD. Týmto spôsobom získate:

B - A: (3-1, 0-1, 1 - 1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

Ďalším krokom je zostavenie a výpočet determinantu, ktorého prvý riadok sú koeficienty vektora AB , druhý riadok sú koeficienty AC a tretí riadok sú koeficienty vektora AD :

Pretože sa zistí, že determinant je neplatný, môžeme konštatovať, že štyri body sú koplanárne. Ďalej možno konštatovať, že čiary (R) a (S) sú tiež koplanárne.

- Cvičenie 4

Čiary (R) a (S) sú koplanárne, ako je znázornené v cvičení 3. Nájdite rovnicu roviny, ktorá ich obsahuje.

Riešenie

Body A, B, C túto rovinu úplne definujú, ale chceme stanoviť, že k nej patrí akýkoľvek bod X súradníc (x, y, z).

Aby X patril do roviny definovanej A, B, C a v ktorej sú obsiahnuté čiary (R) a (S), je potrebné, aby determinant tvoril vo svojom prvom riadku komponenty AX v druhom riadku. u AB a po tretie u AC :

Na základe tohto výsledku sa zoskupujeme týmto spôsobom:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

A hneď uvidíte, že sa dá prepísať takto:

x - 1 + 2r - 2 - z + 1 = 0

Preto x + 2y - z = 2 je rovnica roviny, ktorá obsahuje čiary (R) a (S).

Referencie

1. Fleming, W. 1989. Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. 2006. Lineárna algebra. Pearson Education.
3. Leal, JM 2005. Flat Analytical Geometry. Mérida - Venezuela: Editorial Editorial Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vektory. Obnovené z: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD 2006. Predbežný výpočet. Pearson Education.
6. Prenowitz, W. 2012. Základné pojmy geometrie. Rowman a Littlefield.
7. Sullivan, M. 1997. Precalculus. Pearson Education.