ZLOŽENÁ PROPORCIONALITA: VYSVETLENIE, ZLOŽENÉ PRAVIDLO TROCH, CVIČENIA - MATEMATIKA - 2024

Kompozitný alebo viacnásobné úmernosti je pomer viac ako dvoch veličín, ktoré možno pozorovať priamo a nepriamej úmernosti medzi dátami a neznáma. Toto je pokročilejšia verzia jednoduchej proporcionality, aj keď techniky použité v oboch postupoch sú podobné.

Napríklad, ak je potrebných 7 ľudí na vyloženie 10 ton tovaru za 3 hodiny, na výpočet počtu ľudí, ktorí budú potrebovať vyložiť 15 ton za 4 hodiny, je možné použiť zloženú proporcionalitu.

Zdroj: pixabay.com

Na zodpovedanie tejto otázky je vhodné zostaviť tabuľku hodnôt, ktorá bude študovať a vzťahovať veľkosti a neznáme hodnoty.

Pokračujeme v analýze typov vzťahov medzi každou veľkosťou a súčasnou neznámou, čo v tomto prípade zodpovedá počtu ľudí, ktorí budú pracovať.

S rastúcou hmotnosťou tovaru stúpa aj počet ľudí potrebných na jeho vyloženie. Z tohto dôvodu je vzťah medzi hmotnosťou a pracovníkmi priamy.

Na druhej strane, s rastúcim počtom pracovníkov sa znižuje pracovný čas. Vzťah medzi ľuďmi a pracovnými hodinami je preto inverzného typu.

Ako vypočítať zložené proporcie

Na riešenie príkladov, ako je ten vyššie, sa väčšinou používa zložená metóda troch. Spočíva v tom, že sa stanovia typy vzťahov medzi množstvami a neznámymi a potom sa vytvorí produkt medzi frakciami.

Pokiaľ ide o pôvodný príklad, frakcie zodpovedajúce tabuľke hodnôt sú usporiadané takto:

Pred vyriešením a vyriešením neznámeho však musia byť frakcie zodpovedajúce inverznému vzťahu obrátené. Ktoré v tomto prípade zodpovedajú premenlivému času. Týmto spôsobom bude operácia, ktorá sa má vyriešiť:

Ich rozdielom je iba inverzia zlomku zodpovedajúca časovej premennej 4/3. Pokračujeme v prevádzke a vyčistíme hodnotu x.

Preto je potrebných viac ako jedenásť ľudí, aby mohli vyložiť 15 ton tovaru za 4 hodiny alebo menej.

vysvetlenie

Proporcionalita je konštantný vzťah medzi množstvami, ktoré podliehajú zmenám, ktoré budú symetrické pre každé z príslušných množstiev. Existujú priamo a nepriamo úmerné vzťahy, ktoré definujú parametre jednoduchej alebo zloženej proporcionality.

Priame pravidlo troch

Pozostáva z pomerového vzťahu medzi premennými, ktoré pri úprave vykazujú rovnaké správanie. Je veľmi častý pri výpočte percentuálneho podielu vzťahujúceho sa na veličiny iné ako sto, kde sa oceňuje jeho základná štruktúra.

Napríklad sa dá vypočítať 15% zo 63. Na prvý pohľad sa toto percento nedá ľahko oceniť. Ak sa však použije pravidlo troch, je možné nadviazať tento vzťah: ak 100% je 63, potom 15%, koľko to bude?

100% ---- 63

15% ---– X

A zodpovedajúca operácia je:

(15%, 63) / 100% = 9,45

Ak sú percentuálne znaky zjednodušené a získa sa údaj 9.45, čo predstavuje 15% zo 63.

Inverzné pravidlo troch

Ako naznačuje jeho názov, v tomto prípade je vzťah medzi premennými opačný. Predtým, ako sa pristúpi k výpočtu, musí byť vytvorený inverzný vzťah. Jeho postup je homológny s postupom priameho pravidla troch, s výnimkou investícií do vypočítanej frakcie.

Napríklad 3 maliari potrebujú 5 hodín na dokončenie steny. Za koľko hodín by to dokončili 4 maliari?

V tomto prípade je vzťah inverzný, pretože so zvyšujúcim sa počtom maliarov by sa mal pracovný čas skrátiť. Vzťah je nadviazaný;

3 maliari - 5 hodín

4 maliari - X hodín

Keď sa vzťah obráti, zmení sa poradie činnosti. Toto je správna cesta;

(3 maliari). (5 hodín) / 4 maliari = 3,75 hodiny

Výraz maliari sa zjednodušuje a výsledkom je 3,75 hodiny.

podmienka

Aby sme boli v prítomnosti zmesi alebo viacnásobnej proporcionality, je potrebné nájsť oba typy vzťahov medzi veličinami a premennými.

- Priamy: Premenná má rovnaké správanie ako neznáma. To znamená, že keď jeden stúpa alebo klesá, druhý sa mení rovnako.

- Inverzné: Premenná má antonymické správanie ako správanie neznámeho. Zlomok, ktorý definuje uvedenú premennú v tabuľke hodnôt, sa musí prevrátiť, aby predstavoval nepriamo úmerný vzťah medzi premennou a neznámym.

Overovanie výsledkov

Pri práci so zloženými proporciami je veľmi bežné zamieňať si veľkosť rádu, na rozdiel od obvyklých výpočtov pomeru, ktorých povaha je väčšinou priama a riešiteľná jednoduchým pravidlom troch.

Z tohto dôvodu je dôležité preskúmať logické poradie výsledkov a overiť súdržnosť údajov vytvorených zloženým pravidlom troch.

V počiatočnom príklade by takáto chyba viedla k výsledku 20. To znamená, že 20 ľudí vyloží 15 ton tovaru za 4 hodiny.

Na prvý pohľad sa to nezdá byť šialeným výsledkom, je však zvláštne, že sa zvýši počet zamestnancov takmer o 200% (zo 7 na 20 osôb), keď je nárast tovaru o 50%, a to aj s väčším časovým odstupom na vykonanie. práca.

Logické overenie výsledkov teda predstavuje dôležitý krok pri implementácii zloženého pravidla troch.

odbavenie

Aj keď má základný charakter, pokiaľ ide o matematický výcvik, povolenie predstavuje dôležitý krok v prípadoch proporcionality. Zlé povolenie postačuje na zneplatnenie akéhokoľvek výsledku získaného jednoduchým alebo zloženým pravidlom troch.

histórie

Vláda troch sa stala známou na Západe prostredníctvom Arabov, publikáciami rôznych autorov. Medzi nimi Al-Jwarizmi a Al-Biruni.

Al-Biruni mal vďaka svojim multikultúrnym znalostiam počas svojich ciest do Indie prístup k rozsiahlym informáciám o tejto praxi, pričom bol zodpovedný za najrozsiahlejšiu dokumentáciu o pravidle troch.

Vo svojom výskume uvádza, že India bola na prvom mieste, kde sa stalo používanie pravidla troch. Spisovateľ uisťuje, že sa uskutočnil plynulo v jeho priamych, inverzných a dokonca aj zložených verziách.

Presný dátum, kedy sa pravidlo troch stalo súčasťou matematických znalostí Indie, je stále neznámy. Najstarší dokument venovaný tejto praxi, Bakhshaliho rukopis, bol však objavený v roku 1881. V súčasnosti sa nachádza v Oxforde.

Mnohí historici matematiky tvrdia, že tento rukopis pochádza zo začiatku súčasnej doby.

Riešené cvičenia

Cvičenie 1

Letecká spoločnosť musí prepraviť 1 535 osôb. Je známe, že pri 3 lietadlách by posledného cestujúceho do cieľa trvalo 12 dní. Na leteckú spoločnosť pricestovalo 450 ďalších osôb a na pomoc s touto úlohou sa nariadi oprava 2 lietadiel. Koľko dní bude trvať, kým letecká spoločnosť prevedie každého posledného cestujúceho na miesto určenia?

Vzťah medzi počtom ľudí a pracovnými dňami je priamy, pretože čím väčší je počet ľudí, tým viac dní na vykonanie tejto práce bude trvať.

Na druhej strane je vzťah medzi letúnami a dňami nepriamo úmerný. S rastúcim počtom letúnov sa znižuje počet dní potrebných na prepravu všetkých cestujúcich.

Zostaví sa tabuľka hodnôt vzťahujúca sa na tento prípad.

Ako je podrobne uvedené v pôvodnom príklade, čitateľ a menovateľ sa musia prevrátiť na zlomok zodpovedajúci inverznej premennej vzhľadom na neznámy. Operácia je nasledovná:

X = 71460/7675 = 9,31 dní

Ak chcete previesť 1985 ľudí pomocou 5 lietadiel, trvá to viac ako 9 dní.

Cvičenie 2

Do nákladných kamiónov sa odoberie 25-tonová kukurica. Je známe, že v minulom roku im to trvalo 8 hodín so mzdou 150 pracovníkov. Ak sa v tomto roku počet miezd zvýši o 35%, ako dlho bude trvať, kým sa nákladné autá naplnia 40-tonovou plodinou?

Pred predstavením tabuľky hodnôt je potrebné definovať počet pracovníkov pre tento rok. To sa zvýšilo o 35% z pôvodných 150 pracovníkov. Na tento účel sa používa priame pravidlo troch.

100% ---- 150

35% ---– X

X = (35,100) / 100 = 52,5. Je to počet dodatočných pracovníkov v porovnaní s predchádzajúcim rokom, ktorý po zaokrúhľovaní získaného množstva získa celkový počet 203 pracovníkov.

Pokračujeme v definovaní zodpovedajúcej tabuľky údajov

V tomto prípade predstavuje hmotnosť premennú priamo súvisiacu s neznámym časom. Na druhej strane premenná pracovníkov má nepriamy vzťah k času. Čím väčší je počet pracovníkov, tým kratší je pracovný deň.

Berúc do úvahy tieto úvahy a obrátime zlomok zodpovedajúci premennej pracovníkov, pristúpime k výpočtu.

X = 40600/6000 = 6,76 hodín

Cesta bude trvať necelých 7 hodín.

Navrhované cvičenia

- Definujte 73% z 2875.

- Vypočítajte počet hodín, ktoré Teresa spí, ak je známe, že za deň spí iba 7% z celkovej sumy. Definujte, koľko hodín týždenne spíte.

- Denník vydáva 2000 kópií každých 5 hodín, pričom používa iba 2 tlačiarenské stroje. Koľko kópií vyrobí za 1 hodinu, ak použije 7 strojov? Ako dlho bude trvať 4 000 na výrobu 10 000 kópií?

Referencie

1. Encyklopédia Alvarez-iniciácia. A. Álvarez, Antonio Álvarez Pérez. EDAF, 2001.
2. Kompletná príručka základnej a vyššej základnej výučby: pre začínajúcich učiteľov, najmä pre študentov normálnych škôl v provincii, zväzok 1. Joaquín Avendaño. Printing D. Dionisio Hidalgo, 1844.
3. Racionálna aproximácia skutočných funkcií. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3. marca. 2011.
4. Elementárna aritmetika pre výučbu na školách a vysokých školách v Strednej Amerike. Darío González. Tip. Arenales, 1926.
5. Štúdium matematiky: O štúdiu a ťažkostiach z matematiky. Augustus De Morgan. Baldwin a Cradock, 1830.