- Aké sú vlastnosti rovnosti?
- Reflexný majetok
- Symetrické vlastníctvo
- Prechodný majetok
- Jednotná vlastnosť
- Zrušenie vlastníctva
- Substitučný majetok
- Majetok moci v rovnosti
- Koreňový majetok v rovnosti
- Referencie
Tieto vlastnosti rovnosti sa vzťahujú na vzťah medzi dvoma matematickými objektmi, či už sú čísla alebo premenné. Označuje sa symbolom „=“, ktorý vždy ide medzi týmito dvoma objektmi. Tento výraz sa používa na preukázanie toho, že dva matematické objekty predstavujú ten istý objekt; inými slovami, tieto dva objekty sú rovnaké.
Existujú prípady, keď je použitie rovnosti rovnaké. Napríklad je zrejmé, že 2 = 2. Pokiaľ však ide o premenné, už nie je bezvýznamná a má osobitné použitie. Napríklad, ak máme, že y = x a na druhej strane x = 7, môžeme dospieť k záveru, že y = 7.
Uvedený príklad je založený na jednej z vlastností rovnosti, ako uvidíte čoskoro. Tieto vlastnosti sú nevyhnutné na riešenie rovníc (rovnice zahŕňajúce premenné), ktoré tvoria veľmi dôležitú súčasť matematiky.
Aké sú vlastnosti rovnosti?
Reflexný majetok
Reflexná vlastnosť v prípade rovnosti uvádza, že každé číslo sa rovná sebe samému a je vyjadrené ako b = b pre akékoľvek skutočné číslo b.
V konkrétnom prípade rovnosti je táto vlastnosť zrejmá, ale v iných typoch vzťahov medzi číslami to tak nie je. Inými slovami, nie každý vzťah so skutočným číslom spĺňa túto vlastnosť. Napríklad taký prípad vzťahu „menej ako“ (<); žiadne číslo nie je menšie ako samotné.
Symetrické vlastníctvo
Symetrická vlastnosť pre rovnosť hovorí, že ak a = b, potom b = a. Bez ohľadu na to, aké poradie sa používa v premenných, zachová sa vzťah rovnosti.
V prípade sčítania sa dá pozorovať určitá analógia tejto vlastnosti s komutatívnou vlastnosťou. Napríklad kvôli tejto vlastnosti je ekvivalentné písať y = 4 alebo 4 = y.
Prechodný majetok
Tranzitívna vlastnosť rovnosti uvádza, že ak a = b a b = c, potom a = c. Napríklad 2 + 7 = 9 a 9 = 6 + 3; preto máme podľa tranzitívnej vlastnosti, že 2 + 7 = 6 + 3.
Jednoduchá aplikácia je nasledujúca: predpokladajme, že Julian má 14 rokov a Mario je rovnako starý ako Rosa. Ak je Rosa rovnaká ako Julián, koľko má rokov Mario?
Za týmto scenárom sa tranzitívna vlastnosť používa dvakrát. Matematicky sa interpretuje takto: nech „a“ je vek Mária, „b“ vek Rosy a „c“ Juliánov vek. Je známe, že b = ca c = 14.
Na základe tranzitívnej vlastnosti máme b = 14; To znamená, že Rosa má 14 rokov. Pretože a = b a b = 14, pri opätovnom použití tranzitívnej vlastnosti máme a = 14; to znamená, že Mario má tiež 14 rokov.
Jednotná vlastnosť
Rovnomerná vlastnosť spočíva v tom, že ak sa obe strany rovnosti pridajú alebo násobia rovnakou sumou, rovnosť sa zachová. Napríklad, ak 2 = 2, potom 2 + 3 = 2 + 3, čo je jasné, pretože 5 = 5. Táto vlastnosť je najužitočnejšia pri riešení rovnice.
Predpokladajme napríklad, že budete musieť vyriešiť rovnicu x-2 = 1. Je vhodné si zapamätať, že riešenie rovnice spočíva v explicitnom určení príslušnej premennej (alebo premenných) na základe konkrétneho čísla alebo skôr špecifikovanej premennej.
Pri návrate k rovnici x-2 = 1 musíte explicitne nájsť, koľko x stojí. Aby ste to mohli urobiť, musíte premennú vymazať.
Bolo nesprávne učené, že v tomto prípade, pretože číslo 2 je záporné, prechádza na druhú stranu rovnosti s pozitívnym znamením. Nie je však správne hovoriť takýmto spôsobom.
V podstate to, čo robíte, je použitie jednotnej vlastnosti, ako uvidíme nižšie. Cieľom je vyčistiť písmeno „x“; to znamená, nechajte ho na jednej strane rovnice. Zvyčajne sa obvykle ponecháva na ľavej strane.
Na tento účel je číslo, ktoré sa má „vylúčiť“, -2. Spôsob, ako to dosiahnuť, by bolo pridaním 2, pretože -2 + 2 = 0 a x + 0 = 0. Aby sa to dosiahlo bez zmeny rovnosti, musí sa rovnaká operácia uplatniť na druhú stranu.
To mu umožňuje realizovať jednotnú vlastnosť: keďže x-2 = 1, ak je číslo 2 pridané na oboch stranách rovnosti, jednotná vlastnosť hovorí, že sa nezmení. Potom máme x-2 + 2 = 1 + 2, čo je ekvivalentné tvrdeniu, že x = 3. Týmto by sa rovnica vyriešila.
Podobne, ak chcete vyriešiť rovnicu (1/5) y-1 = 9, môžete pokračovať s použitím uniformnej vlastnosti nasledovne:
Vo všeobecnosti je možné urobiť nasledujúce vyhlásenia:
- Ak ab = cb, potom a = c.
- Ak xb = y, potom x = y + b.
- Ak (1 / a) z = b, potom z = a ×
- Ak (1 / c) a = (1 / c) b, potom a = b.
Zrušenie vlastníctva
Vlastnosť zrušenia je osobitným prípadom jednotnej vlastnosti, berúc do úvahy najmä prípad odčítania a rozdelenia (ktoré v zásade tiež zodpovedajú sčítaniu a násobeniu). Táto vlastnosť zaobchádza s týmto prípadom osobitne.
Napríklad, ak 7 + 2 = 9, potom 7 = 9-2. Alebo ak 2r = 6, potom y = 3 (delené dvoma na oboch stranách).
Podobne ako v predchádzajúcom prípade je možné prostredníctvom nehnuteľnosti na zrušenie vykonať tieto vyhlásenia:
- Ak a + b = c + b, potom a = c.
- Ak x + b = y, potom x = yb.
- Ak az = b, potom z = b / a.
- Ak ca = cb, potom a = b.
Substitučný majetok
Ak poznáme hodnotu matematického objektu, substitučná vlastnosť uvádza, že túto hodnotu je možné nahradiť ľubovoľnou rovnicou alebo výrazom. Napríklad, ak b = 5 a a = bx, potom nahradením hodnoty „b“ v druhej rovnici máme a = 5x.
Ďalší príklad je nasledujúci: ak „m“ delí „n“ a tiež „n“ delí „m“, potom musíme mať m = n.
Skutočne tvrdenie, že „m“ delí „n“ (alebo rovnocenne, že „m“ je deliteľom „n“) znamená, že delenie m ÷ n je presné; to znamená, že delením "m" číslom "n" sa získa celé číslo, nie desatinné miesto. To možno vyjadriť tvrdením, že existuje celé číslo „k“, takže m = k × n.
Pretože „n“ tiež delí „m“, existuje celé číslo „p“, takže n = p × m. Vzhľadom na substitučnú vlastnosť máme n = p × k × n, a aby sa tak stalo, existujú dve možnosti: n = 0, v takom prípade by sme mali mať identitu 0 = 0; op × k = 1, teda identita n = n.
Predpokladajme, že „n“ je nenulové. Potom nevyhnutne p × k = 1; preto p = 1 a k = 1. Opätovným použitím substitučnej vlastnosti, substitúciou k = 1 v rovnosti m = k × n (alebo ekvivalentne, p = 1 v n = p × m) sa nakoniec získa m = n, čo sme chceli dokázať.
Majetok moci v rovnosti
Rovnako ako predtým sa zistilo, že ak sa operácia, ako je sčítanie, násobenie, odčítanie alebo delenie, uskutočňuje v oboch rovinách, zachováva sa, rovnako sa môžu použiť aj iné operácie, ktoré rovnosť nemenia.
Kľúčom je vždy vykonať to na oboch stranách rovnosti a vopred sa uistiť, že operácia môže byť vykonaná. To je prípad splnomocnenia; to znamená, že ak sú obe strany rovnice povýšené na rovnakú moc, stále máme rovnosť.
Napríklad od 3 = 3, takže 3 2 = 3 2 (9 = 9). Všeobecne je dané celé číslo „n“, ak x = y, potom x n = y n .
Koreňový majetok v rovnosti
Toto je konkrétny prípad posilnenia a používa sa, keď je moc nečíselné racionálne číslo, napríklad ½, ktoré predstavuje druhú odmocninu. Táto vlastnosť uvádza, že ak sa rovnaký koreň aplikuje na obe strany rovnosti (kedykoľvek je to možné), rovnosť sa zachová.
Na rozdiel od predchádzajúceho prípadu tu musíte dávať pozor na paritu koreňového adresára, ktorý sa má použiť, pretože je dobre známe, že párny koreň záporného čísla nie je dobre definovaný.
V prípade, že je radikál párny, nie je problém. Napríklad, ak x 3 = -8, aj keď je to rovnosť, nemôžete použiť napríklad odmocninu na obe strany. Ak však môžete použiť koreň kocky (čo je ešte výhodnejšie, ak chcete explicitne poznať hodnotu x), získajte x = -2.
Referencie
- Aylwin, CU (2011). Logika, množiny a čísla. Mérida - Venezuela: Rada pre publikácie, Universidad de Los Andes.
- Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Prah.
- Lira, ML (1994). Simon a matematika: matematický text pre 2. ročník: študentská kniha. Andres Bello.
- Preciado, CT (2005). Kurz matematiky 3.. Redakčný progres.
- Segovia, BR (2012). Matematické aktivity a hry s Miguelom a Lucíou. Baldomero Rubio Segovia.
- Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2. matematický kurz. Redakčný progres.