UZAMKNÚŤ VLASTNOSŤ ALGEBRY: DÔKAZ, PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2026

Zámok vlastnosť algebry je jav, ktorý sa týka dva prvky sady s operáciou, kde je nutnou podmienkou je, že po 2 prvky sú spracované v uvedenom prevádzke, je výsledok tiež patrí do východiskovej radu.

Napríklad, ak berieme párne čísla ako množinu a sumu ako operáciu, získame zámok tejto množiny vzhľadom na sumu. Je to preto, že súčet 2 párnych čísiel vždy získa ďalšie párne číslo, čím sa splní podmienka uzamknutia.

Zdroj: unsplash.com

vlastnosti

Existuje mnoho vlastností, ktoré určujú algebraické priestory alebo telá, napríklad štruktúry alebo krúžky. Vlastnosť lock je však jednou z najznámejších v základnej algebre.

Nie všetky aplikácie týchto vlastností sú založené na číselných prvkoch alebo javoch. Mnoho každodenných príkladov možno opracovať čisto algebraicko-teoretickým prístupom.

Príkladom môžu byť občania krajiny, ktorí nadobúdajú právny vzťah akéhokoľvek druhu, napríklad obchodné partnerstvo alebo manželstvo. Po vykonaní tejto operácie alebo riadenia zostávajú občanmi krajiny. Týmto spôsobom predstavujú operácie občianstva a riadenia vo vzťahu k dvom občanom zámok.

Numerická algebra

Pokiaľ ide o čísla, existuje mnoho aspektov, ktoré boli predmetom štúdia v rôznych prúdoch matematiky a algebry. Z týchto štúdií vyplynulo veľké množstvo axiómov a teorémov, ktoré slúžia ako teoretický základ pre súčasný výskum a prácu.

Ak pracujeme s číselnými množinami, môžeme pre vlastnosť zámku stanoviť ďalšiu platnú definíciu. O množine A sa hovorí, že je zámkom inej sady B, ak A je najmenšia množina, ktorá obsahuje všetky sady a operácie, ktoré B obsahuje.

demonštrácie

Dôkaz o zámke sa uplatňuje na prvky a operácie prítomné v množine reálnych čísel R.

Nech A a B sú dve čísla, ktoré patria do množiny R, uzavretie týchto prvkov je definované pre každú operáciu obsiahnutú v R.

súčet

- Súčet: ∀ A ˄ B ∈ R → A + B = C ∈ R

Toto je algebraický spôsob, ako povedať, že pre všetky A a B, ktoré patria k skutočným číslam, máme súčet A plus B sa rovná C, ktorý tiež patrí k skutočným.

Je ľahké skontrolovať, či je tento návrh pravdivý; stačí vykonať súčet medzi akýmkoľvek skutočným číslom a overiť, či výsledok tiež patrí k skutočným číslam.

3 + 2 = 5 = R

-2 + (-7) = -9 ° R

-3 + 1/3 = -8/3 ∈R

5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈R

Je potrebné poznamenať, že podmienka zámku je splnená pre skutočné čísla a súčet. Týmto spôsobom je možné dospieť k záveru: Súčet reálnych čísel je algebraický zámok.

násobenie

- Násobenie: ∀ A ˄ B ∈ R → A. B = C = R

Pre všetky A a B, ktoré patria k realite, máme, že násobenie A pomocou B sa rovná C, ktoré tiež patrí k realite.

Pri overovaní rovnakými prvkami ako v predchádzajúcom príklade sa pozorujú nasledujúce výsledky.

3 x 2 = 6 = R

-2 x (-7) = 14 ° R

-3 x 1/3 = -1 ∈R

5/2 x (-2/3) = -5/3 ∈R

Toto je dostatočný dôkaz na vyvodenie záverov, že: Násobenie reálnych čísel je algebraický zámok.

Táto definícia sa môže rozšíriť na všetky operácie reálnych čísel, aj keď nájdeme určité výnimky.

Zdroj: pixabay.com

Osobitné prípady v R.

delenie

Prvým osobitným prípadom je rozdelenie, v ktorom je vidieť táto výnimka:

∀ A ˄ B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0

Pre všetky A a B, ktoré patria do R, máme, že A medzi B nepatrí k realite, iba ak B sa rovná nule.

Tento prípad sa týka obmedzenia nemožnosti deliť nulou. Pretože nula patrí k reálnym číslam, potom to znamená, že delenie nie je zámkom reálov.

podania

Existujú aj operácie na potenciaciu, konkrétne operácie radikalizácie, kde sú uvedené výnimky pre radikálne sily rovnomerného indexu:

Pre všetky A, ktoré patria k realitám, patrí n-tý koreň A k realitám, a iba vtedy, ak A patrí k pozitívnym realitám spojeným s množinou, ktorej jediný prvok je nula.

Týmto spôsobom sa označuje, že párne korene sa vzťahujú iba na pozitívne skutočnosti, a dospelo sa k záveru, že potenciacia nie je zámkom v R.

logaritmus

Homológnym spôsobom to možno vidieť pre logaritmickú funkciu, ktorá nie je definovaná pre hodnoty menšie alebo rovné nule. Ak chcete skontrolovať, či je logaritmus zámkom R, postupujte takto:

Pre všetky A, ktoré patria k realitám, logaritmus A patrí k realitám, iba ak A patrí k pozitívnym realitám.

Vylúčením záporných hodnôt a nuly, ktoré tiež patria do R, možno konštatovať, že:

Logaritmus nie je zámok reálnych čísel.

Príklady

Skontrolujte zámok na sčítanie a odčítanie prirodzených čísel:

Súčet v N

Prvá vec je skontrolovať stav zámku pre rôzne prvky danej množiny, pričom ak sa zistí, že niektorý prvok sa zlomí s podmienkou, existencia zámku sa môže automaticky zamietnuť.

Táto vlastnosť platí pre všetky možné hodnoty A a B, ako je zrejmé z nasledujúcich operácií:

1 + 3 = 4 ° N

5 + 7 = 12 ° N

1 000 + 10 000 = 11 000 ∈ N

Neexistujú žiadne prirodzené hodnoty, ktoré by narušili stav zámku, a preto sa dospelo k záveru:

Súčet je zámok v N.

Odpočítajte v N

Hľadajú sa prírodné prvky schopné narušiť stav; A - B patrí k domorodcom.

Pri obsluhe je ľahké nájsť páry prírodných prvkov, ktoré nespĺňajú stav zámku. Napríklad:

7 - 10 = -3 ∉ a N

Týmto spôsobom môžeme dospieť k záveru, že:

Odčítanie nie je zámok na množine prirodzených čísel.

Navrhované cvičenia

1-Ukáž, či je vlastnosť zámku splnená pre množinu racionálnych čísel Q, pre operácie sčítania, odčítania, násobenia a delenia.

2 - Vysvetlite, či je množina reálnych čísel zámkom množiny celých čísel.

3-Určite, ktorá číselná množina môže byť zámkom reálnych čísel.

4 - Dokážte vlastnosť zámku pre množinu imaginárnych čísel s ohľadom na sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie.

Referencie

1. Panoráma čistej matematiky: Bourbakistova voľba. Jean Dieudonné. Reverte, 1987.
2. Algebraická teória čísel. Alejandro J. Díaz Barriga, Ana Irene Ramírez, Francisco Tomás. Národná autonómna univerzita v Mexiku, 1975.
3. Lineárna algebra a jej aplikácie. Sandra Ibeth Ochoa García, Eduardo Gutiérrez González.
4. Algebraické štruktúry V: teória tela. Hector A. Merklen. Organizácia amerických štátov, Generálny sekretariát, 1979.
5. Úvod do komutatívnej algebry. Michael Francis Atiyah, IG MacDonald. Reverte, 1973.