ASOCIATÍVNE VLASTNÍCTVO: SČÍTANIE, MNOŽENIE, PRÍKLADY, CVIČENIA - MATEMATIKA - 2026

Asociatívne vlastníctva pridanie predstavuje asociatívne charakter operácie sčítanie v rôznych matematických sadách. V ňom sú spojené tri (alebo viac) prvkov uvedených množín, ktoré sa nazývajú a, b a c, takže je to vždy pravda:

a + (b + c) = (a + b) + c

Týmto spôsobom je zaručené, že bez ohľadu na spôsob zoskupenia na vykonanie operácie je výsledok rovnaký.

Obrázok 1. Pri aritmetických a algebraických operáciách často používame asociatívnu vlastnosť sčítania. (Výkres: freepik Zloženie: F. Zapata)

Malo by sa však poznamenať, že asociatívne vlastníctvo nie je synonymom komutatívneho majetku. To znamená, že vieme, že poradie doplnkov nemení sumu alebo že poradie faktorov nemení produkt. Takže pre sumu, ktorú možno napísať takto: a + b = b + a.

V asociatívnej vlastnosti sa však líši, pretože poradie prvkov, ktoré sa majú pridať, sa zachová a aké zmeny je operácia, ktorá sa vykoná ako prvá. Čo znamená, že pridanie prvého (b + c) a pridanie a do tohto výsledku nezáleží, ako začatie pridávania s pomocou do výsledku pridávania c.

Mnoho dôležitých operácií, ako je sčítanie, je asociatívne, ale nie všetky. Napríklad pri odčítaní reálnych čísel sa stáva, že:

a - (b - c) ≠ (a - b) - c

Ak a = 2, b = 3, c = 1, potom:

2– (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

Asociačné vlastníctvo množenia

Ako sa urobilo na doplnenie, asociatívna vlastnosť multiplikácie uvádza, že:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

V prípade množiny reálnych čísel je ľahké overiť, že to vždy tak je. Napríklad pomocou hodnôt a = 2, b = 3, c = 1 máme:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

Reálne čísla spĺňajú asociatívnu vlastnosť sčítania aj násobenia. Na druhej strane, v inej sade, ako je napríklad vektor, je súčet asociatívny, ale krížový produkt alebo vektorový produkt nie.

Aplikácie asociatívnej vlastnosti množenia

Výhodou operácií, pri ktorých je splnená asociatívna vlastnosť, je možnosť zoskupiť sa najvýhodnejším spôsobom. To uľahčuje rozlíšenie.

Predpokladajme napríklad, že v malej knižnici sú 3 police s 5 policami. V každej poličke je 8 kníh. Koľko kníh je vo všetkých?

Túto operáciu môžeme vykonať takto: spolu knihy = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 kníh.

Alebo takto: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 kníh.

Obrázok 2. Jednou aplikáciou asociatívnej vlastnosti množenia je výpočet počtu kníh na každej polici. Obrázok vytvoril F. Zapata.

Príklady

- V množinách prírodných, celých, racionálnych, reálnych a komplexných čísel je splnená asociatívna vlastnosť sčítania a násobenia.

Obrázok 3. Pre reálne čísla je splnená asociatívna vlastnosť sčítania. Zdroj: Wikimedia Commons.

-Pre polynómy sa tiež uplatňujú v týchto operáciách.

- V prípade odčítania, delenia a exponentácie sa asociatívna vlastnosť netýka reálnych čísel ani polynómov.

- V prípade matíc je asociatívna vlastnosť splnená na sčítanie a množenie, hoci v poslednom prípade nie je splnená komutatívnosť. To znamená, že vzhľadom na matice A, B a C je pravda, že:

(A x B) x C = A x (B x C)

Ale … A x B ≠ B x A

Asociatívna vlastnosť vo vektoroch

Vektory tvoria inú množinu ako skutočné čísla alebo komplexné čísla. Operácie definované pre skupinu vektorov sú trochu odlišné: existujú sčítanie, odčítanie a tri typy produktov.

Súčet vektorov spĺňa asociatívnu vlastnosť, rovnako ako čísla, polynómy a matice. Pokiaľ ide o skalárne produkty, skalárne podľa vektora a kríženia, ktoré sa vytvárajú medzi vektormi, ten ho nespĺňa, ale skalárny produkt, ktorý je ďalším druhom operácie medzi vektormi, ho nespĺňa, pričom sa zohľadňujú tieto skutočnosti:

- Výsledkom skaláru a vektora je vektor.

- Pri skalárnom násobení dvoch vektorov vznikne skalárny výsledok.

Preto vzhľadom na vektory v , u a w a navyše na skalárne λ je možné písať:

- Súčet vektorov: v + ( u + w ) = ( v + u) + w

-Sekárny produkt: λ ( v • u ) = (λ v ) • u

Posledne uvedené je možné vďaka skutočnosti, že v • u je skalár a A v je vektor.

Možno však použiť:

v × ( u × w ) ≠ ( v × u) × w

Faktorizácia polynómov zoskupením pojmov

Táto aplikácia je veľmi zaujímavá, pretože, ako už bolo povedané, asociatívne vlastníctvo pomáha vyriešiť určité problémy. Súčet monomérov je asociatívny a môže sa použiť na faktoring, keď sa na prvý pohľad neobjaví zrejmý spoločný faktor.

Predpokladajme napríklad, že ste povinný faktor: x ³ + 2 x ² + 3 x +6. Tento polynóm nemá spoločný faktor, ale uvidíme, čo sa stane, ak bude zoskupený takto:

Prvá zátvorka má spoločný faktor osi ² :

V druhom je spoločným faktorom 3:

cvičenie

- Cvičenie 1

Budova školy má 4 nadzemné podlažia a každá z nich má 12 tried s vnútorným priestorom 30 pracovísk. Koľko stolov má škola celkovo?

Riešenie

Tento problém je vyriešený použitím asociatívnej vlastnosti multiplikácie, pozrime:

Celkový počet stolov = 4 poschodia x 12 tried / poschodie x 30 stolov / trieda = (4 x 12) x 30 stolov = 48 x 30 = 1440 stolov.

Alebo ak dávate prednosť: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 stolov

- Cvičenie 2

Vzhľadom na polynómy:

A (x) = 5x ³ + 2 ² -7x + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

C (x) = -8x ² + 3 -7

Použite asociatívnu vlastnosť sčítania na nájdenie A (x) + B (x) + C (x).

Riešenie

Prvé dve skupiny môžete zoskupiť a do výsledku pridať tretie:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11 x ³ + 2x ^{2 až 12} x +1

Okamžite sa pridá polynóm C (x):

+ = X ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

Čitateľ môže overiť, či je výsledok identický, ak je vyriešený možnosťou A (x) +.

Referencie

1. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
2. Matematika je zábava, komutatívne, asociatívne a distribučné zákony. Obnovené z: mathisfun.com.
3. Math Warehouse. Definícia asociačného vlastníctva. Obnovené z: mathwarehouse.com.
4. Sciencing. Asociatívna a komutatívna vlastnosť sčítania a násobenia (s príkladmi). Obnovené z: sciencing.com.
5. Wikipedia. Asociačné vlastníctvo. Obnovené z: en.wikipedia.org.