KRÍŽOVÝ PRODUKT: VLASTNOSTI, APLIKÁCIE A CVIČENIA - MATEMATIKA - 2026

Produkt kríža alebo vektorový súčin je spôsob vynásobení dva alebo viac vektorov. Existujú tri spôsoby, ako množiť vektory, ale žiadny z nich nie je násobením v obvyklom zmysle slova. Jedna z týchto foriem je známa ako vektorový produkt, ktorého výsledkom je tretí vektor.

Krížový produkt, ktorý sa tiež nazýva krížový produkt alebo vonkajší produkt, má rôzne algebraické a geometrické vlastnosti. Tieto vlastnosti sú veľmi užitočné, najmä pokiaľ ide o štúdium fyziky.

definícia

Formálna definícia vektorového produktu je nasledovná: ak A = (a1, a2, a3) a B = (bl, b2, b3) sú vektory, potom vektorový produkt A a B, ktorý označíme ako AxB, je:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Z dôvodu notácie AxB sa číta ako „A kríž B“.

Príklad použitia vonkajšieho produktu je, že ak A = (1, 2, 3) a B = (3, -2, 4) sú vektory, potom s použitím definície vektorového produktu máme:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Ďalší spôsob vyjadrenia vektorového produktu je daný zápisom determinantov.

Výpočet determinantu druhého poriadku je daný:

Vzorec pre krížový produkt uvedený v definícii sa preto môže prepísať takto:

Zvyčajne sa zjednodušuje na determinanty tretieho rádu takto:

Tam, kde i, j, k predstavujú vektory, ktoré tvoria základ R ³ .

Použitím tohto spôsobu vyjadrenia krížového produktu máme predchádzajúci príklad, ktorý možno prepísať takto:

vlastnosti

Niektoré vlastnosti, ktoré má vektorový produkt, sú nasledujúce:

Majetok 1

Ak A je nejaký vektor v R ³ , my máme:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Tieto vlastnosti sa dajú ľahko skontrolovať pomocou definície. Ak A = (a1, a2, a3) máme:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Ak sa aj, j, k predstavujú jednotky základňu R ³ , ich môžeme napísať takto:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Máme teda nasledujúce vlastnosti:

Ako mnemotechnické pravidlo sa nasledujúci kruh často používa na zapamätanie týchto vlastností:

Tam musíme poznamenať, že akýkoľvek vektor so sebou dáva ako výsledok vektor 0, a ostatné produkty sa dajú získať pomocou nasledujúceho pravidla:

Krížový súčin dvoch po sebe idúcich vektorov v smere hodinových ručičiek poskytuje ďalší vektor; a ak sa uvažuje proti smeru hodinových ručičiek, výsledkom je nasledujúci vektor so záporným znamienkom.

Vďaka týmto vlastnostiam môžeme vidieť, že vektorový produkt nie je komutatívny; napríklad si všimnite, že ixj ≠ jx i. Nasledujúca vlastnosť nám hovorí, ako sú AxB a BxA vo všeobecnosti prepojené.

Nehnuteľnosť 2

Ak A a B sú vektory R ³ , máme:

AxB = - (BxA).

demonštrácie

Ak A = (a1, a2, a3) a B = (bl, b2, b3), podľa definície externého produktu máme:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Vidíme tiež, že tento produkt nie je asociatívny s nasledujúcim príkladom:

ix (ixj) = ixk = - j, ale (ixi) xj = 0xj = 0

Z toho môžeme vidieť, že:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Nehnuteľnosť 3

Ak A, B, C sú vektory R ³ a r je reálne číslo, platí nasledujúce:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Vďaka týmto vlastnostiam môžeme vypočítať vektorový produkt pomocou zákonov algebry za predpokladu, že sa bude rešpektovať objednávka. Napríklad:

Ak je A = (1, 2, 3) a B = (3, -2, 4), môžeme ich prepísať, pokiaľ ide o kanonickej základe R ³ .

A = i + 2j + 3k a B = 3i - 2j + 4k. Potom použite predchádzajúce vlastnosti:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2 k - 4j - 6 k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Nehnuteľnosť 4 (produkt s tromi bodkami)

Ako sme uviedli na začiatku, existujú ďalšie spôsoby, ako množiť vektory okrem vektorového produktu. Jedným z týchto spôsobov je skalárny produkt alebo vnútorný produkt, ktorý sa označuje ako A ∙ B a ktorého definícia je:

Ak A = (a1, a2, a3) a B = (bl, b2, b3), potom A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Vlastnosť, ktorá sa týka obidvoch produktov, sa nazýva trojitý skalárny produkt.

Ak A, B, a C sú vektory R ³ , potom A ∙ BXC = x B ∙ C

Ako príklad uveďme, že pri A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) a C = (- 5, 1, - 4) je táto vlastnosť splnená.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Na druhej strane:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Ďalším trojitým produktom je Ax (BxC), ktorý je známy ako produkt trojitého vektora.

Vlastníctvo 5 (trojitý vektorový produkt)

Ak A, B a C sú vektory R ³ , potom:

Ax (BxC) = (A ° C) B - (A = B) C

Ako príklad uveďme, že pri A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) a C = (- 5, 1, - 4) je táto vlastnosť splnená.

Z predchádzajúceho príkladu vieme, že BxC = (- 18, - 22, 17). Vypočítajme Ax (BxC):

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Na druhej strane musíme:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Preto musíme:

(A - C) B - (A - B) C = 4 (- 3,4,4) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)

Majetok 6

Je to jedna z geometrických vlastností vektorov. Ak A a B sú dva vektory v R ³ a? Je uhol vytvorený medzi nimi, potom:

--AxB-- = --A ---- B - hriech (ϴ), kde - ∙ - označuje modul alebo veľkosť vektora.

Geometrická interpretácia tejto vlastnosti je takáto:

Nech A = PR a B = PQ. Takže uhol tvorený vektormi A a B je uhol P trojuholníka RQP, ako je znázornené na nasledujúcom obrázku.

Preto oblasť rovnobežníka, ktorý má ako susedné strany PR a PQ, je - A ---- B - hriech (ϴ), pretože môžeme brať - A -, pretože jeho základňu a jej výšku udáva - B - hriech (ϴ).

Preto môžeme konštatovať, že - AxB - je oblasť uvedeného rovnobežníka.

príklad

Vzhľadom na nasledujúce vrcholy štvoruholníka P (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) a S (5,7, -3) ukazujú, že uvedený štvoruholník je rovnobežník a nájdite jeho oblasť.

Najprv určíme vektory, ktoré určujú smer strán štvoruholníka. Toto je:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Ako vidíme, A a C majú rovnaký vektor režiséra, pre ktorý máme, že obidve sú paralelné; to isté sa stane s B a D. Preto sme dospeli k záveru, že PQRS je rovnobežník.

Ak chcete mať plochu tohto rovnobežníka, vypočítame BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Preto bude druhá mocnina:

-BxA-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

Možno konštatovať, že plocha rovnobežníka bude druhá odmocnina 89.

Majetok 7

Dva vektory A a B sú rovnobežné v R ^3, ak a iba v prípade, x B = 0

demonštrácie

Je zrejmé, že ak A alebo B sú nulové vektory, je splnené, že AxB = 0. Pretože nulový vektor je rovnobežný s akýmkoľvek iným vektorom, potom je vlastnosť platná.

Ak ani jeden z týchto dvoch vektorov nie je nulovým vektorom, zistíme, že ich veľkosť sa líši od nuly; to znamená, že - A-- and 0 aj - B-- ≠ 0, takže budeme mať --AxB-- = 0 iba vtedy, ak je hriech (ϴ) = 0, a to sa stane iba vtedy, ak ϴ = π alebo ϴ = 0.

Preto môžeme uzavrieť AxB = 0 iba vtedy, ak ϴ = π alebo ϴ = 0, čo sa stane iba vtedy, keď sú oba vektory navzájom rovnobežné.

Nehnuteľnosť 8

Ak A a B sú dva vektory v R ³ , potom x B je kolmá na A a B.

demonštrácie

Na tento dôkaz si nezabudnite, že dva vektory sú kolmé, ak sa A ∙ B rovná nule. Ďalej vieme, že:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, ale AxA sa rovná 0. Preto máme:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Týmto môžeme dospieť k záveru, že A a AxB sú navzájom kolmé. Analogicky musíme:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Pretože BxB = 0, máme:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Preto sú AxB a B navzájom kolmé a tým je demonštrovaná táto vlastnosť. Toto je pre nás veľmi užitočné, pretože nám umožňuje určiť rovnicu lietadla.

Príklad 1

Získaj rovnicu roviny, ktorá prechádza bodmi P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) a R (2, 1, 3).

Nech A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) a B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Potom A = - i + 3j + k a B = i - 2j + k. Na nájdenie roviny tvorenej týmito tromi bodmi stačí nájsť vektor, ktorý je kolmý k rovine, ktorou je AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Pomocou tohto vektora a pri bode P (1, 3, 2) môžeme určiť rovnicu roviny takto:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Máme teda rovnicu rovnice 5x + 2y - z - 9 = 0.

Príklad 2

Nájdite rovnicu roviny, ktorá obsahuje bod P (4, 0, - 2) a ktorá je kolmá na každú z rovín x - y + z = 0 a 2x + y - 4z - 5 = 0.

Keďže vieme, že normálny vektor k rovine ax + + + cz + d = 0 je (a, b, c), máme, že (1, -1,1) je normálny vektor x - y + z = 0 y ( 2,1, - 4) je normálny vektor 2x + y - 4z - 5 = 0.

Preto normálny vektor k hľadanej rovine musí byť kolmý na (1, -1,1) a (2, 1, - 4). Tento vektor je:

(1, -1,1) x (2,1, 4) = 3i + 6j + 3k.

Potom máme hľadanú rovinu, ktorá obsahuje bod P (4,0, - 2) a má vektor (3,6,3) ako normálny vektor.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2r + z - 2 = 0.

aplikácia

Výpočet objemu rovnobežnostena

Aplikácia, ktorá má trojitý skalárny produkt, musí byť schopná vypočítať objem rovnobežníka, ktorého okraje sú dané vektormi A, B a C, ako je to znázornené na obrázku:

Túto aplikáciu môžeme odvodiť nasledujúcim spôsobom: ako sme už povedali, vektor AxB je vektor, ktorý je kolmý k rovine A a B. Tiež máme, že vektor - (AxB) je ďalší vektor kolmý k tejto rovine.

Vyberieme normálny vektor, ktorý tvorí najmenší uhol s vektorom C; Bez straty všeobecnosti nech je AxB vektor, ktorého uhol s C je najmenší.

Máme, že AxB aj C majú rovnaký východiskový bod. Ďalej vieme, že oblasť rovnobežníka, ktorá tvorí základňu rovnobežníka, je - AxB--. Preto, ak je výška rovnobežnostena daná h, máme jej objem:

V = -AxB - h.

Na druhej strane, uvažujme bodový produkt medzi AxB a C, ktorý možno opísať takto:

Avšak trigonometrickými vlastnosťami máme h = - C - cos (ϴ), takže máme:

Takto máme:

Všeobecne platí, že objem rovnobežnostena je daný absolútnou hodnotou trojitého skalárneho produktu AxB ∙ C.

Riešené cvičenia

Cvičenie 1

Vzhľadom na body P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) a S = (2, 6, 9) tieto body tvoria rovnobežník, ktorého hrany sú to PQ, PR a PS. Stanovte objem uvedeného rovnobežnostena.

Riešenie

Ak vezmeme:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Pomocou vlastnosti trojitého skalárneho produktu máme:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ° C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Preto máme objem uvedeného rovnobežnostena 52.

Cvičenie 2

Určite objem rovnobežníka, ktorého okraje sú dané A = PQ, B = PR a C = PS, pričom body P, Q, R a S sú (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) a (2, 2, 5).

Riešenie

Najprv máme, že A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Vypočítame AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Potom vypočítame AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Dospeli sme teda k záveru, že objem uvedeného rovnobežnostena je 1 kubická jednotka.

Referencie

1. Leithold, L. (1992). Výpočet s analytickou geometriou. HARLA, SA
2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. Mexico: Continental.
3. Saenz, J. (nd). Vektorový počet 1ed. Prepona.
4. Spiegel, MR (2011). Vektorová analýza 2ed. Mc Graw Hill.
5. Zill, DG, a Wright, W. (2011). Výpočet niekoľkých premenných 4ed. Mc Graw Hill.