POLYTROPICKÝ PROCES: VLASTNOSTI, APLIKÁCIE A PRÍKLADY - FYZICKÝ - 2026

Polytropické proces je termodynamický proces, ku ktorému dochádza, keď je vzťah medzi tlakom P a objemu V daný PV ⁿ sa udržiava konštantný. Exponent n je skutočné číslo, zvyčajne medzi nulou a nekonečnom, ale v niektorých prípadoch môže byť záporné.

Hodnota n sa nazýva index polytropie a je dôležité si uvedomiť, že počas polytropického termodynamického procesu musí uvedený index udržiavať pevnú hodnotu, inak sa tento proces nebude považovať za polytropický.

Obrázok 1. Charakteristická rovnica polytropického termodynamického procesu. Zdroj: F. Zapata.

Charakteristika polytropických procesov

Niektoré charakteristické prípady polytropických procesov sú:

- Izotermický proces (pri konštantnej teplote T), v ktorom je exponent n = 1.

- Izobarický proces (pri konštantnom tlaku P), v tomto prípade n = 0.

- Izochorický proces (pri konštantnom objeme V), pre ktorý n = + ∞.

- Adiabatické procesy (pri konštantnej S entropii), v ktorých je exponent n = γ, kde γ je adiabatická konštanta. Táto konštanta je kvocient medzi tepelnou kapacitou pri konštantnom tlaku Cp vydelenou tepelnou kapacitou pri konštantnom objeme Cv:

y = Cp / Cv

- Akýkoľvek iný termodynamický proces, ktorý nie je jedným z predchádzajúcich prípadov. ale to, že spĺňa PV ⁿ = ctte so skutočným a konštantným polytropickým indexom n, bude tiež polytropickým procesom.

Obrázok 2. Rôzne charakteristické prípady polytropických termodynamických procesov. Zdroj: Wikimedia Commons.

aplikácia

Jednou z hlavných aplikácií polytropickej rovnice je výpočet práce vykonanej v uzavretom termodynamickom systéme, keď prechádza z počiatočného stavu do konečného stavu kvázistatickým spôsobom, to znamená po slede rovnovážnych stavov.

Práca na polytropických procesoch pre rôzne hodnoty n

Pre n ≠ 1

Mechanická práca W vykonávaná v uzavretom termodynamickom systéme sa vypočíta podľa vzorca:

W = ∫P.dV

Kde P je tlak a V je objem.

Rovnako ako v prípade polytropického procesu je vzťah medzi tlakom a objemom:

Mechanickú prácu vykonávame počas polytropického procesu, ktorý sa začína v pôvodnom stave 1 a končí v konečnom stave 2. To všetko sa zobrazuje v nasledujúcom výraze:

C = P ₁ V ₁ ^N = P ₂ V ₂ ⁿ

Nahradením hodnoty konštanty v pracovnom výraze získame:

W = (P ₂ V ₂ - P ₁ V ₁ ) / (1-n)

V prípade, že pracovnú látku možno modelovať ako ideálny plyn, máme nasledujúcu rovnicu stavu:

PV = mRT

Kde m je počet mólov ideálneho plynu a R je univerzálna plynová konštanta.

U ideálneho plynu, ktorý nasleduje po polytropické proces s indexom polytropy líši od jednoty a, ktorá prechádza od stavu, s počiatočnou teplotou T ₁ do iného stavu s teplotou T ₂ , vykonaná práca je daný nasledujúcim vzorcom:

W = m R (T ₂ - T ₁ ) / (1-n)

Pre n → ∞

Podľa vzorca pre prácu získanú v predchádzajúcej časti máme za to, že práca polytropického procesu s n = ∞ je null, pretože vyjadrenie diela je delené nekonečnom, a preto výsledok má sklon k nule ,

Ďalší spôsob, ako dospieť k tomuto výsledku je začať zo vzťahu P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ , ktoré možno prepísať nasledovne:

(P ₁ / P ₂ ) = (V ₂ / V1) ⁿ

Ak vezmeme n-tého koreňa do každého člena, dostaneme:

(V ₂ / V1) = (P ₁ / P ₂ ) ^{(1 / n)}

V prípade, že n? ∞, máme (V ₂ / V1) = 1, čo znamená, že:

V ₂ = V ₁

To znamená, že objem sa pri polytropickom procese nezmení pomocou n → ∞. Preto je objemový rozdiel dV v integrite mechanickej práce 0. Tento typ polytropických procesov je známy aj ako izochorické procesy alebo procesy s konštantným objemom.

Pre n = 1

Znovu máme výraz výraz pre prácu:

W = ∫P dV

V prípade polytropického procesu s n = 1 je vzťah medzi tlakom a objemom:

PV = konštanta = C

Riešením P z predchádzajúceho výrazu a nahradením máme urobiť prácu, aby sme prešli z počiatočného stavu 1 do konečného stavu 2:

To znamená:

W = C ln (V ₂ / V ₁ ).

Keďže počiatočný a konečný stav je dobre určený, bude to tiež ctte. To znamená:

C = P ₁ V ₁ = P ₂ V ₂

Nakoniec máme nasledujúce užitočné výrazy, aby sme našli mechanickú prácu uzavretého polytropického systému, v ktorom n = 1.

W = P ₁ V ₁ ln (V ₂ / V ₁ ) = P ₂ V ₂ ln (V ₂ / V ₁ )

Ak pracovná látka pozostáva z mólov ideálneho plynu, potom je možné použiť ideálnu plynovú rovnicu stavu: PV = mRT

V tomto prípade, pretože PV ₁ = ctte, máme, že polytropický proces s n = 1 je proces pri konštantnej teplote T (izotermálny), takže pre prácu možno získať nasledujúce výrazy:

W = m RT ₁ ln (V ₂ / V ₁ ) = m RT ₂ ln (V ₂ / V ₁ )

Obrázok 3. Topiaci sa rampouch, príklad izotermického procesu. Zdroj: Pixabay.

Príklady polytropických procesov

- Príklad 1

Predpokladajme valec s pohyblivým piestom naplnený jedným kilogramom vzduchu. Spočiatku vzduch zaberá objem V ₁ = 0,2 m ³ pri tlaku P ₁ = 400 kPa. Polytropické proces nasleduje s n = γ = 1.4, ktorého konečný stav má tlak P ₂ = 100 kPa. Určite prácu vykonanú vzduchom na pieste.

Riešenie

Keď sa index polytropie rovná adiabatickej konštante, existuje proces, v ktorom pracovná látka (vzduch) nevymieňa teplo s prostredím, a preto sa ani entropia nemení.

Pre vzduch, ideálny diatomický plyn, máme:

y = Cp / Cv, s Cp = (7/2) R a Cv = (5/2) R

takže:

y = 7/5 = 1,4

Pomocou vyjadrenia polytropického procesu je možné určiť konečný objem vzduchu:

V ₂ = ^{(1 / 1,4)} = 0,54 m ³ .

Teraz máme podmienky na uplatnenie vzorca práce vykonanej v polytropickom procese pre n ≠ 1 získaný vyššie:

W = (P ₂ V ₂ - P1 V1) / (1-n)

Nahradením vhodných hodnôt máme:

W = (100 kPa 0,54 m ³ - 400 kPa 0,2 m ³ ) / (1 - 1,4) = 65,4 kJ

- Príklad 2

Predpokladajme ten istý valec z príkladu 1 s pohyblivým piestom naplneným jedným kilogramom vzduchu. Spočiatku vzduch zaberá objem V1 = 0,2 m ³ pri tlaku P1 = 400 kPa. Na rozdiel od predchádzajúceho prípadu sa však vzduch izotermicky rozpína, aby dosiahol konečný tlak P2 = 100 kPa. Určite prácu vykonanú vzduchom na pieste.

Riešenie

Ako už bolo uvedené, izotermické procesy sú polytropické procesy s indexom n = 1, takže je pravda, že:

P1 V1 = P2 V2

Týmto spôsobom je možné konečný objem ľahko oddeliť, čím sa získa:

V2 = 0,8 m ³

Potom, s použitím pracovného výrazu získaného predtým pre prípad n = 1, máme za to, že práca vzduchom na pieste v tomto procese je:

W = P1V1n (V2 / V1) = 400000 Pa x 0,2 m ³ ln (0,8 / 0,2) = 110,9 kJ.

Referencie

1. Bauer, W. 2011. Fyzika pre techniku ​​a vedu. Zväzok 1. Mc Graw Hill.
2. Cengel, Y. 2012. Termodynamika. 7. vydanie. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Séria: Fyzika pre vedu a techniku. Objem 4. Kvapaliny a termodynamika. Editoval Douglas Figueroa (USB).
4. López, C. Prvý termodynamický zákon. Získané z: Culturativeifica.com.
5. Knight, R. 2017. Fyzika pre vedcov a techniku: strategický prístup. Pearson.
6. Serway, R., Vulle, C. 2011. Základy fyziky. 9. vydanie Cengage Learning.
7. Sevilla University. Tepelné stroje. Získané z: laplace.us.es.
8. Wikiwand. Polytropický proces. Obnovené z: wikiwand.com.