TEORETICKÁ PRAVDEPODOBNOSŤ: AKO TO DOSIAHNUŤ, PRÍKLADY, CVIČENIA - DUDAS - 2026

Teoretický (alebo Laplace), pravdepodobnosť, že udalosť E stáva, že patrí do vzorky priestoru S, v ktorej všetky udalosti majú rovnakú pravdepodobnosť výskytu, je definovaný v matematickom zápise, ako sú: P (E) = N (E) / N (S)

Kde P (E) je pravdepodobnosť daná ako kvocient medzi celkovým počtom možných výsledkov udalosti E, ktorú nazývame n (E), vydelená celkovým počtom N (S) možných výsledkov vo vzorkovom priestore S.

Obrázok 1. V hádke šesťstrannej matrice je teoretická pravdepodobnosť, že trojbodová hlava je na vrchu, ⅙. Zdroj: Pixabay.

Teoretická pravdepodobnosť je skutočné číslo medzi 0 a 1, ale často sa vyjadruje ako percento, v takom prípade bude pravdepodobnosť medzi 0% a 100%.

Vypočítanie pravdepodobnosti výskytu udalosti je veľmi dôležité v mnohých oblastiach, ako sú obchodovanie, poisťovacie spoločnosti, hazardné hry a mnoho ďalších.

Ako získať teoretickú pravdepodobnosť?

Ilustratívnym prípadom je prípad tombol alebo lotérií. Predpokladajme, že sa vydá 1 000 lístkov na tombola na smartfón. Keďže sa losovanie uskutočňuje náhodne, každá z tiketov má rovnakú šancu stať sa víťazom.

Aby sa zistila pravdepodobnosť, že osoba, ktorá si kúpi lístok s číslom 81, je víťazom, vykoná sa tento teoretický výpočet pravdepodobnosti:

P (1) = 1/1 000 = 0,001 = 0,1%

Vyššie uvedený výsledok sa interpretuje takto: ak by sa losovanie opakovalo nekonečne mnohokrát, každý 1000-násobok vstupenky 81 by sa vybral v priemere raz.

Ak z nejakého dôvodu niekto získa všetky vstupenky, je isté, že vyhrá túto cenu. Pravdepodobnosť výhry, ak máte všetky lístky, sa vypočíta takto:

P (1 000) = 1 000/1 000 = 1 = 100%.

To znamená, že pravdepodobnosť 1 alebo 100% znamená, že je úplne isté, že k tomuto výsledku dôjde.

Ak niekto vlastní 500 lístkov, šance na výhru alebo prehru sú rovnaké. Teoretická pravdepodobnosť výhry v tomto prípade sa vypočíta takto:

P (500) = 500/1 000 = 1 = 0,5 = 50%.

Ten, kto si nekúpi lístok, nemá šancu na výhru a jeho teoretická pravdepodobnosť sa určuje takto:

P (0) = 0/1 000 = 0 = 0%

Príklady

Príklad 1

Máte mincu s tvárou na jednej strane a štítom alebo pečaťou na druhej strane. Aká je teoretická pravdepodobnosť, že po vyhodení mince dôjde k hlavám?

P (tvár) = n (tvár) / N (tvár + štít) = ½ = 0,5 = 50%

Výsledok sa interpretuje takto: ak by sa urobilo veľké množstvo hodov, v priemere by každé 2 hody vyniesli jeden z nich do hlavy.

Interpretácia výsledku v percentuálnom vyjadrení je taká, že ak by sa vykonalo nekonečne veľké množstvo hádzaní, priemerne zo 100 z nich by 50 vyústilo do hlavy.

Príklad 2

V krabici sú 3 modré guličky, 2 červené guličky a 1 zelená. Aká je teoretická pravdepodobnosť, že keď z mramoru vyberiete mramor, bude červená?

Obrázok 2. Pravdepodobnosť extrakcie farebných guličiek. Zdroj: F. Zapata.

Pravdepodobnosť, že vyjde červená, je:

P (červená) = počet priaznivých prípadov / počet možných prípadov

To znamená:

P (červená) = počet červených guličiek / celkový počet guličiek

Nakoniec je pravdepodobné, že sa nakreslí červený mramor:

P (červená) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

Pravdepodobnosť, že pri kreslení zeleného mramoru je:

P (zelená) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%

Teoretická pravdepodobnosť získania modrého mramoru pri slepej extrakcii je:

P (modrá) = 3/6 = 1 = 0,5 = 50%

To znamená, že pre každé dva pokusy bude výsledok modrý v jednom z nich a ďalší v inom pokuse za predpokladu, že extrahovaný mramor je nahradený a že počet pokusov je veľmi, veľmi veľký.

cvičenie

Cvičenie 1

Určite pravdepodobnosť, že valcovaním formy získate hodnotu rovnú alebo menšiu ako 4.

Riešenie

Na výpočet pravdepodobnosti výskytu tejto udalosti sa použije definícia teoretickej pravdepodobnosti:

P (≤4) = počet priaznivých prípadov / počet možných prípadov

P (≤5) = 5/6 = = 83,33%

Cvičenie 2

Nájdite pravdepodobnosť, že na dvoch po sebe idúcich hodoch normálnej šesťstrannej matrice sa 5 prevráti dvakrát.

Riešenie

Ak chcete odpovedať na toto cvičenie, vytvorte tabuľku, ktorá ukáže všetky možnosti. Prvá číslica označuje výsledok prvej matrice a druhá výsledok druhej matrice.

Na výpočet teoretickej pravdepodobnosti potrebujeme poznať celkový počet možných prípadov, v tomto prípade, ako je zrejmé z predchádzajúcej tabuľky, existuje 36 možností.

Z pozorovania tabuľky je tiež zrejmé, že počet prípadov priaznivých pre udalosť, ktorá vychádza z dvoch po sebe nasledujúcich spustení, je iba 1, označený farebne, preto pravdepodobnosť, že k tejto udalosti dôjde, je:

P (5 x 5) = 1/36.

K tomuto výsledku bolo možné dospieť aj pri použití jednej z vlastností teoretickej pravdepodobnosti, ktorá uvádza, že kombinovaná pravdepodobnosť dvoch nezávislých udalostí je výsledkom ich individuálnych pravdepodobností.

V tomto prípade je pravdepodobnosť, že prvý hod bude 5, ⅙. Druhá hod je úplne nezávislá od prvej, preto je tiež pravdepodobnosť, že sa v druhej hodí 5, ⅙. Kombinovaná pravdepodobnosť je teda:

P (5 x 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

Cvičenie 3

Nájdite pravdepodobnosť, že na prvý hod sa hodí číslo menšie ako 2 a na druhú hodí číslo väčšie ako 2.

Riešenie

Znova sa musí zostaviť tabuľka možných udalostí, kde sú podčiarknuté tie udalosti, v ktorých bol prvý hod menší ako 2 a druhý väčší ako 2.

Celkovo existujú 4 možnosti z celkového počtu 36. To znamená, že pravdepodobnosť tejto udalosti je:

P (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0,1111 = 11,11%

Použitie vety pravdepodobnosti, ktorá uvádza:

Rovnaký výsledok sa získa:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0,1111 = 11,11%

Hodnota získaná týmto postupom sa zhoduje s predchádzajúcim výsledkom pomocou teoretickej alebo klasickej definície pravdepodobnosti.

Cvičenie 4

Aká je pravdepodobnosť, že pri hodení dvoma kockami je súčet hodnôt 7.

Riešenie

Na nájdenie riešenia v tomto prípade bola vypracovaná tabuľka možností, v ktorých sú farby, ktoré spĺňajú podmienky, že súčet hodnôt bude 7, označené.

Pri pohľade na tabuľku je možné spočítať 6 možných prípadov, takže pravdepodobnosť je:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

Referencie

1. Canavos, G. 1988. Pravdepodobnosť a štatistika: Aplikácie a metódy. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Pravdepodobnosť a štatistika pre techniku ​​a vedu. 8 .. Vydanie. ABI.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Pravdepodobnosť. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Teória pravdepodobnosti. Redakčná Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Pravdepodobnosť a štatistika pre strojárstvo a vedy. Pearson.