PODMIENENÁ PRAVDEPODOBNOSŤ: VZOREC A ROVNICE, VLASTNOSTI, PRÍKLADY - DUDAS

Podmienená pravdepodobnosť je možnosť výskytu určitej udalosti, vzhľadom k tomu, že ďalšie vyskytuje ako podmienku. Tieto doplňujúce informácie môžu (alebo nemusia) zmeniť dojem, že sa niečo stane.

Môžeme sa napríklad opýtať sami seba: „Aká je pravdepodobnosť, že dnes prší, keďže nepršalo dva dni?“ Udalosť, pre ktorú chceme poznať pravdepodobnosť, je, že dnes prší a ďalšou informáciou, ktorá by podmienila odpoveď, je, že „nepršalo dva dni“.

Obrázok 1. Pravdepodobnosť, že dnes prší, keďže pršalo včera, je tiež príkladom podmienenej pravdepodobnosti. Zdroj: Pixabay.

Nech je pravdepodobnostný priestor zložený z Ω (vzorkový priestor), ℬ (náhodné udalosti) a P (pravdepodobnosť každej udalosti) plus udalosti A a B, ktoré patria do ℬ.

Podmienená pravdepodobnosť, že nastane A, vzhľadom na to, že sa vyskytla B, ktorá sa označuje ako P (A│B), je definovaná takto:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A a B) / P (B)

Ak: P (A) je pravdepodobnosť výskytu A, P (B) je pravdepodobnosť udalosti B a líši sa od 0 a P (A∩B) je pravdepodobnosť priesečníka medzi A a B, to znamená, pravdepodobnosť výskytu obidvoch udalostí (pravdepodobnosť kĺbov).

Toto je výraz Bayesovej vety, ktorý sa použil na dve udalosti, ktoré navrhol v roku 1763 anglický teológ a matematik Thomas Bayes.

vlastnosti

-Všetka podmienená pravdepodobnosť je medzi 0 a 1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

- Pravdepodobnosť, že dôjde k udalosti A, je zjavná 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

- Ak sa vylučujú dve udalosti, tj udalosti, ktoré sa nemôžu vyskytnúť súčasne, potom je podmienená pravdepodobnosť, že sa jedna z nich stane, 0, pretože priesečník je nula:

P (A - B) = P (A - B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

- Ak je B podskupinou A, potom je podmienená pravdepodobnosť 1:

P (B = A) = P (A = B) / P (A) = 1

dôležitý

P (A│B) sa vo všeobecnosti nerovná P (B│A), preto musíme pri hľadaní podmienenej pravdepodobnosti zamieňať udalosti.

Všeobecné pravidlo množenia

Mnohokrát chcete nájsť spoločnú pravdepodobnosť P (A∩B), nie podmienenú pravdepodobnosť. Potom máme nasledujúcu vetu:

P (A - B) = P (A a B) = P (A - B). P (B)

Vetu je možné rozšíriť o tri udalosti A, B a C:

P (A∩B∩C) = P (A a B a C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

A tiež pre rôzne udalosti, ako je napríklad A ₁ , A ₂ , A ₃ a viac, môže byť vyjadrený nasledujúcim spôsobom:

P (A ₁ ∩ A2 ₂ A ₃ … ∩ A _n ) = P (A ₁ ). P (A ₂ │A ₁ ). P (A ₃ │ A ₁ ∩ A ₂ )… P (A _n ││ A ₁ ∩ A ₂ ∩… A _n-1 )

Pokiaľ ide o udalosti, ktoré sa vyskytujú postupne a v rôznych fázach, je vhodné usporiadať údaje do schémy alebo tabuľky. To uľahčuje vizualizáciu možností dosiahnutia požadovanej pravdepodobnosti.

Príkladmi sú stromová schéma a kontingenčná tabuľka. Z jedného z nich si môžete vytvoriť ďalšie.

Príklady podmienenej pravdepodobnosti

Pozrime sa na niektoré situácie, v ktorých je pravdepodobnosť jednej udalosti zmenená výskytom inej udalosti:

- Príklad 1

V cukrárni sa predávajú dva druhy koláčov: jahoda a čokoláda. Registráciou preferencií 50 klientov oboch pohlaví boli stanovené nasledujúce hodnoty:

-27 žien, z toho 11 preferuje jahodový koláč a 16 čokolád.

-23 mužov: 15 z nich si vyberie čokoládu a 8 jahôd.

Pravdepodobnosť, že si zákazník vyberie čokoládový koláč, sa dá určiť uplatnením Laplaceovho pravidla, podľa ktorého je pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti:

P = počet priaznivých udalostí / celkový počet udalostí

V tomto prípade, z 50 zákazníkov, celkom 31 uprednostňuje čokoládu, takže pravdepodobnosť by bola P = 31/50 = 0,62. To znamená, že 62% zákazníkov uprednostňuje čokoládový koláč.

Bolo by to však iné, ak je klientkou žena? Toto je prípad podmienenej pravdepodobnosti.

Pohotovostná tabuľka

Použitím kontingenčnej tabuľky, ako je táto, sa súčty ľahko zobrazia:

Potom sú pozorované priaznivé prípady a aplikuje sa Laplaceovo pravidlo, ale najprv definujeme udalosti:

-B je udalosť „zákaznice“.

-A je udalosť „uprednostňovaný čokoládový koláč“ ako žena.

Prejdeme do stĺpca označeného „ženy“ a vidíme, že celkový počet je 27.

Potom sa v riadku „čokoláda“ hľadá priaznivý prípad. Existuje 16 z týchto udalostí, preto je pravdepodobná pravdepodobnosť, že sú priamo:

P (A = B) = 16/27 = 0,5924

Čokoládový koláč preferuje 59,24% žien.

Táto hodnota sa zhoduje, keď ju porovnáme s pôvodne danou definíciou podmienenej pravdepodobnosti:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Zabezpečujeme Laplaceho pravidlo a hodnoty v tabuľke:

P (B) = 27/50

P (A a B) = 16/50

Kde P (A a B) je pravdepodobnosť, že zákazník uprednostňuje čokoládu a je žena. Teraz sú hodnoty nahradené:

P (A - B) = P (A a B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.

A je dokázané, že výsledok je rovnaký.

- Príklad 2

V tomto príklade platí pravidlo množenia. Predpokladajme, že v obchode sú zobrazené nohavice v troch veľkostiach: malé, stredné a veľké.

Aká je pravdepodobnosť vyťaženia dvoch z nich a že sú obaja malé? Celkom s 24 nohavicami, z ktorých je 8 každej veľkosti a všetky sú zmiešané.

Je zrejmé, že pravdepodobnosť odstránenia malých nohavíc pri prvom pokuse je 8/24 = 1/3. Teraz je druhá extrakcia podmienená prvou udalosťou, pretože pri odstraňovaní nohavíc už nie je 24, ale 23. A ak sú odstránené malé nohavice, je tu 7 namiesto 8.

Udalosť A ťahá jedno malé nohavice a pri prvom pokuse vytiahla ďalšie. A udalosť B je prvá s malými nohavicami prvýkrát. teda:

P (B) = 1/3; P (A = B) = 7/24

Nakoniec pomocou pravidla množenia:

P (A = B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097

Cvičenie bolo vyriešené

V štúdii presnosti komerčných leteckých letov sú k dispozícii tieto údaje:

-P (B) = 0,83 je pravdepodobnosť, že lietadlo vzlietne v čase.

-P (A) = 0,81 je pravdepodobnosť pristátia včas.

-P (B∩A) = 0,78 je pravdepodobnosť, že let príde v čase odletu na čas.

Je potrebné vypočítať:

a) Aká je pravdepodobnosť, že lietadlo pristane včas, vzhľadom na to, že vzlietlo včas?

b) Je uvedená pravdepodobnosť rovnaká ako pravdepodobnosť, ktorú ste ponechali načas, ak sa vám podarilo včas pristáť?

c) A nakoniec: Aká je pravdepodobnosť, že príde načas vzhľadom na to, že neodišla načas?

Obrázok 2. Presnosť obchodných letov je dôležitá, pretože meškania spôsobujú straty milióny dolárov. Zdroj: Pixabay.

Riešenie

Na zodpovedanie otázky sa používa definícia podmienenej pravdepodobnosti:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A a B) / P (B) = 0,78 / 0,83 = 0,9398

Riešenie b

V tomto prípade sa vymieňajú udalosti v definícii:

P (B = A) = P (A = B) / P (A) = P (A a B) / P (A) = 0,78 / 0,81 = 0,9630

Všimnite si, že táto pravdepodobnosť sa mierne líši od predchádzajúcej, ako sme už uviedli.

Riešenie c

Pravdepodobnosť, že sa neuvoľní čas, je 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, budeme to nazývať P (B ^C ), pretože je to doplnková udalosť vzlietnuť včas. Požadovaná podmienená pravdepodobnosť je:

P (A│B ^C ) = P (A∩B ^C ) / P (B ^C ) = P (A a B ^C ) / P (B ^C )

Na druhej strane:

P (A∩B ^C ) = P (pristátie v čase) - P (pristátie v čase a vzlet v čase) = 0,81-0,78 = 0,03

V tomto prípade je požadovaná podmienená pravdepodobnosť:

P (A = ^B ) = 0,03 / 0,17 = 0,1765

Referencie

Canavos, G. 1988. Pravdepodobnosť a štatistika: Aplikácie a metódy. McGraw Hill.
Devore, J. 2012. Pravdepodobnosť a štatistika pre techniku a vedu. 8 .. Vydanie. ABI.
Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Pravdepodobnosť. McGraw Hill.
Obregón, I. 1989. Teória pravdepodobnosti. Redakčná Limusa.
Walpole, R. 2007. Pravdepodobnosť a štatistika pre strojárstvo a vedy. Pearson.
Wikipedia. Podmienená pravdepodobnosť. Obnovené z: es.wikipedia.org.

PODMIENENÁ PRAVDEPODOBNOSŤ: VZOREC A ROVNICE, VLASTNOSTI, PRÍKLADY - DUDAS - 2026