PRINCÍP ARCHIMEDES: VZOREC, DÔKAZ, APLIKÁCIE - FYZICKÝ - 2026

Princíp Archimedesa uvádza, že telo úplne alebo čiastočne ponorené, dostáva vertikálnu vzostupnú silu nazývanú ťah, ktorá je ekvivalentná hmotnosti objemu kvapaliny vytlačenej týmto telom.

Niektoré objekty plávajú vo vode, iné sa ponoria a niektoré sa čiastočne ponoria. Ak chcete potopiť plážový loptičku, je potrebné vynaložiť úsilie, pretože okamžite je vnímaná sila, ktorá sa snaží vrátiť ju na povrch. Namiesto toho kovová guľa rýchlo klesá.

Obrázok 1. Plávajúce balóniky: Archimedov princíp v akcii. Zdroj: Pixabay.

Na druhej strane sa ponorené predmety javia ľahšie, a preto existuje sila, ktorá pôsobí kvapalinou, ktorá pôsobí proti váhe. Ale nemôže vždy úplne kompenzovať gravitáciu. A hoci je to viac zrejmé u vody, plyny sú tiež schopné vyvolať túto silu na predmetoch, ktoré sú do nich ponorené.

histórie

Archimedes of Syrakúzy (287-212 pred nl) bol ten, kto musel objaviť tento princíp a bol jedným z najväčších vedcov v histórii. Hovorí sa, že kráľ Hiero II. Zo Syrakúz nariadil zlatníkovi, aby pre neho vytvoril novú korunu, za čo mu dal určité množstvo zlata.

Archimedes

Keď kráľ dostal novú korunu, bola to správna váha, ale mal podozrenie, že ho zlatník podviedol pridaním striebra namiesto zlata. Ako to mohol dokázať bez zničenia koruny?

Hiero zavolal Archimedesa, ktorého povesť vedca bola dobre známa, aby mu pomohol tento problém vyriešiť. Legenda hovorí, že Archimedes bol ponorený do vane, keď našiel odpoveď, a taká bola jeho emócia, že bežal nahý ulicami Syrakúz, aby hľadal kráľa, a zakričal „eureka“, čo znamená „našiel som ho“.

Čo Archimedes našiel? Keď sa vykúpate, hladina vody vo vani sa pri vstupe zvýšila, čo znamená, že ponorené telo vytlačí určitý objem kvapaliny.

A ak ponoril korunu do vody, muselo to tiež vytlačiť určitý objem vody, ak bola korunka vyrobená zo zlata a iná, ak bola vyrobená zo zliatiny striebrom.

vzorec

Zdvíhacia sila, na ktorú sa odvoláva Archimedesov princíp, je známa ako hydrostatická sila alebo vztlaková sila a, ako sme povedali, rovná sa hmotnosti objemu tekutiny, ktorú telo pri ponorení vytlačí.

Posunutý objem sa rovná objemu objektu, ktorý je ponorený, úplne alebo čiastočne. Pretože hmotnosť všetkého je mg a hmotnosť tekutiny je hustota x objem, označujúca veľkosť ťahu ako B, matematicky máme:

B = m _tekutina xg = hustota tekutiny x ponorený objem x gravitácia

B = ρ _kvapalina x V _ponorená xg

Ak grécke písmeno ρ („rho“) označuje hustotu.

Zdanlivá váha

Hmotnosť predmetov sa počíta pomocou známeho mg výrazu, ale veci sa po ponorení do vody cítia ľahšie.

Zdanlivá váha predmetu je to, čo má, keď je ponorené do vody alebo inej kvapaliny a po jeho vedomí je možné získať objem nepravidelného predmetu, ako je koruna kráľa Hiera, ako bude uvedené nižšie.

Aby sa to dosiahlo, je úplne ponorený do vody a pripojený k provázku pripojenému k dynamometru - prístroju vybavenému pružinou, ktorá slúži na meranie síl. Čím väčšia je hmotnosť predmetu, tým väčšie je predĺženie pružiny, ktoré sa meria na stupnici poskytnutej v zariadení.

Obrázok 2. Zdanlivá hmotnosť ponoreného objektu. Zdroj: pripravil F. Zapata.

Uplatnenie Newtonovho druhého zákona, ktorý vie, že predmet je v pokoji:

ΣF _y = B + T - W = 0

Zdanlivá hmotnosť W _{a sa} rovná napätiu v reťazci T:

Pretože ťah kompenzuje hmotnosť, pretože časť tekutiny je v pokoji, potom:

Z tohto výrazu vyplýva, že ťah je spôsobený tlakovým rozdielom medzi hornou stranou valca a spodnou stranou. Pretože W = mg = ρ tekutina. V. g, musí:

Čo je presne výraz ťahu uvedeného v predchádzajúcej časti.

aplikácia

Archimedov princíp sa objavuje v mnohých praktických aplikáciách, medzi ktoré môžeme zaradiť:

- Aerostatický balón. Ktoré v dôsledku svojej priemernej hustoty menšej ako je hustota okolitého vzduchu v ňom vznášajú kvôli tlačnej sile.

- Lode. Trup lodí je ťažší ako voda. Ak sa však vezme do úvahy celé trup plus vzduch vo vnútri, pomer celkovej hmotnosti k objemu je menší ako pomer vody a to je dôvod, prečo lode plávajú.

- Záchranné vesty. Sú skonštruované z ľahkých a poréznych materiálov a sú schopné plávať, pretože pomer objemu a objemu je nižší ako pomer vody.

- Plavák na uzavretie plniaceho kohútika vodnej nádrže. Je to veľké množstvo vzduchu naplnenej gule, ktorá pláva na povrchu vody, čo spôsobuje, že tlačná sila - násobená pákovým efektom - keď dosiahne hladinu, uzavrie uzáver plniaceho kohútika vodnej nádrže. Celkom.

Príklady

Príklad 1

Legenda hovorí, že kráľ Hiero dal zlatníkovi určité množstvo zlata na výrobu koruny, ale nedôverčivý panovník si myslel, že zlatník mohol podvádzať umiestnením kovu, ktorý je menej cenný ako zlato, do koruny. Ale ako to mohol vedieť bez toho, aby zničil korunu?

Kráľ zveril tento problém Archimedesovi a tým, že hľadal riešenie, objavil jeho slávny princíp.

Predpokladajme, že koróna váži 2,10 kg-f na vzduchu a 1,95 kg-f, keď je úplne ponorená do vody. V tomto prípade existuje alebo neexistuje podvod?

Obrázok 5. Schéma koruny kráľa Herona vo voľnom tele. Zdroj: pripravil F. Zapata

Schéma síl je znázornené na obrázku vyššie. Tieto sily sú: hmotnosť P koruny, ťah E a napätie T lana visiaceho z stupnice.

Je známe, že P = 2,10 kg-f a T = 1,95 kg-f, zostáva určiť veľkosť tlaku E :

Na druhej strane, podľa Archimedesovho princípu je ťah E ekvivalentný hmotnosti vody vytlačenej z priestoru obsadeného korunkou, to znamená hustota vody vynásobená objemom koruny v dôsledku zrýchlenia gravitácie:

Odkiaľ sa dá vypočítať objem koruny:

Hustota koruny je kvocient medzi hmotnosťou koruny z vody a jej objemom:

Hustota čistého zlata sa môže stanoviť podobným postupom a výsledkom je 19 300 kg / m3.

Z porovnania týchto dvoch hustôt je zrejmé, že koruna nie je čisté zlato!

Príklad 2

Na základe údajov a výsledku z príkladu 1 je možné určiť, koľko zlata ukradol zlatník v prípade, že časť zlata bola nahradená striebrom, ktoré má hustotu 10 500 kg / m3.

Hovoríme hustotu koruny ρc, ρo hustotu zlata a ρ _p hustotu striebra.

Celková hmotnosť koruny je:

M = ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅Vp

Celkový objem koruny je objem striebra plus objem zlata:

V = Vo + Vp ⇒ Vp = V - Vo

Nahradením hmotnosti v rovnici je:

ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅ (V - Vo) ⇒ (ρo - ρ _p ) Vo = (ρc - ρ _p ) V

To znamená, že objem zlata Vo, ktorý obsahuje korunu celkového objemu V, je:

Vo = V⋅ (ρc - ρ _p ) / (ρo - ρ _p ) =…

… = 0,00015 m3 (14000 - 10500) / (19300 - 10500) = 0,00005966 m3.

Aby sme našli váhu v zlate, ktoré koruna obsahuje, vynásobíme Vo hustotou zlata:

Mo = 19300 x 0,00005966 = 1,1514 kg

Keďže hmotnosť koruny je 2,10 kg, vieme, že zlatník ukradol 0,94858 kg zlata a nahradil ho striebrom.

Riešené cvičenia

Cvičenie 1

Obrovský héliónový balón je schopný udržať človeka v rovnováhe (bez toho, aby smeroval nahor alebo nadol).

Predpokladajme, že hmotnosť osoby plus košík, laná a balónik je 70 kg. Aký objem hélia je potrebný na to, aby k tomu došlo? Aký veľký by mal byť balón?

Riešenie

Budeme predpokladať, že ťah je spôsobený hlavne objemom hélia a že ťah ostatných komponentov je veľmi malý v porovnaní s objemom hélia, ktoré zaberá oveľa väčší objem.

V tomto prípade bude vyžadovať objem hélia schopný dosiahnuť ťah 70 kg + hmotnosť hélia.

Obrázok 6. Schéma voľného telesa balóna naplneného héliom. Zdroj: pripravil F. Zapata.

Ťah je súčin objemu hélia krát hustoty hélia a zrýchlenia gravitácie. Tento tlak musí vykompenzovať hmotnosť hélia plus hmotnosť všetkých ostatných.

Da⋅V⋅g = Da⋅V⋅g + M⋅g

z čoho vyplýva, že V = M / (Da - Dh)

V = 70 kg / (1,25 - 0,18) kg / m3 = 65,4 m3

To znamená, že na to, aby sa dalo dvíhať, je pri atmosférickom tlaku potrebné 65,4 m3 hélia.

Ak predpokladáme sférickú zemeguľu, nájdeme jej polomer z vzťahu medzi objemom a polomerom gule:

V = (4/3) ⋅π⋅R ^ 3

Od kde R = 2,49 m. Inými slovami, bude si to vyžadovať balónik s priemerom 5 metrov naplnený héliom.

Cvičenie 2

V ňom plávajú materiály s nižšou hustotou ako voda. Predpokladajme, že máte kocky polystyrénu (biely korok), drevo a ľad. Ich hustoty v kg na meter kubický sú: 20, 450 a 915.

Zistite, aký zlomok celkového objemu je mimo vody a ako vysoko stojí nad hladinou vody. Hustota vody sa rovná 1000 kilogramom na meter kubický.

Riešenie

Vztlak nastáva, keď sa hmotnosť tela rovná úderu spôsobenému vodou:

E = Mg

Obrázok 7. Schéma voľného tela čiastočne ponoreného objektu. Zdroj: pripravil F. Zapata.

Hmotnosť je hustota tela Dc vynásobená jeho objemom V a zrýchlením gravitácie g.

Ťah je hmotnosť tekutiny vytlačenej podľa Archimedovho princípu a vypočíta sa vynásobením hustoty D vody ponoreným objemom V 'a zrýchlením gravitácie.

To znamená:

D⋅V'⋅g = Dc⋅V⋅g

Čo znamená, že frakcia ponoreného objemu sa rovná podielu medzi hustotou tela a hustotou vody.

To znamená, že vynikajúci objemový zlomok (V '' / V) je

Ak h je výška previsu a L je strana kocky, objemová frakcia sa dá zapísať ako

Takže výsledky pre objednané materiály sú:

Polystyrén (biely korok):

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (20/1000) = 98% z vody

Wood:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (450/1000) = 55% z vody

Ice:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (915/1000) = 8,5% z vody

Referencie

1. Bauer, W. 2011. Fyzika pre techniku ​​a vedu. Zväzok 1. Mc Graw Hill. 417-455.
2. Cengel Y, Cimbala J. 2011. Fluid Mechanics. Základy a aplikácie. Prvá edícia. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Séria: Fyzika pre vedu a techniku. Objem 4. Kvapaliny a termodynamika. Editoval Douglas Figueroa (USB). 1 - 42.
4. Giles, R. 2010. Mechanika tekutín a hydrauliky. McGraw Hill.
5. Rex, A. 2011. Základy fyziky. Pearson. 239-263.
6. Tippens, P. 2011. Fyzika: Koncepty a aplikácie. 7. vydanie. McGraw Hill.