PRINCÍP ADITÍVA: Z ČOHO POZOSTÁVA A PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2026

Princíp aditíva je technika počítania pravdepodobnosti, ktorá nám umožňuje merať, koľko spôsobov sa môže činnosť vykonávať, ktorá má zase niekoľko alternatív, z ktorých je možné vybrať len jednu naraz. Klasickým príkladom je prípad, keď si chcete zvoliť dopravnú linku, ktorá pôjde z jedného miesta na druhé.

V tomto príklade budú alternatívy zodpovedať všetkým možným dopravným trasám, ktoré pokrývajú požadovanú trasu, či už ide o leteckú, námornú alebo pozemnú dopravu. Nemôžeme ísť na miesto pomocou dvoch dopravných prostriedkov súčasne; musíme si vybrať iba jeden.

Princíp aditíva nám hovorí, že počet spôsobov, ako musíme urobiť túto cestu, bude zodpovedať súčtu všetkých možných alternatív (dopravných prostriedkov), ktoré existujú, aby sa dostali na požadované miesto, bude to zahŕňať aj dopravné prostriedky, ktoré niekde zastavujú (alebo miesta) medzi.

Je zrejmé, že v predchádzajúcom príklade vždy vyberieme najpohodlnejšiu alternatívu, ktorá najlepšie vyhovuje našim možnostiam, ale pravdepodobne je nesmierne dôležité vedieť, koľko spôsobov sa môže udalosť uskutočniť.

pravdepodobnosť

Pravdepodobnosť je oblasť matematiky, ktorá je zodpovedná za štúdium udalostí alebo javov a náhodné experimenty.

Experiment alebo náhodný jav je činnosť, ktorá nie vždy vedie k rovnakým výsledkom, aj keď sa vykonáva za rovnakých počiatočných podmienok, bez toho, aby sa pri pôvodnom postupe nič menilo.

Klasický a jednoduchý príklad na pochopenie toho, z čoho pozostáva náhodný experiment, je pôsobenie hodov mincí alebo kockami. Akcia bude vždy rovnaká, ale vždy nebudeme mať napríklad „hlavy“ alebo „šesť“.

Pravdepodobnosť je zodpovedná za poskytnutie techník na určenie toho, ako často sa môže daná náhoda vyskytnúť; okrem iných zámerov je hlavným predpokladať možné budúce udalosti, ktoré sú neisté.

Pravdepodobnosť udalosti

Konkrétnejšie, pravdepodobnosť výskytu udalosti A je skutočné číslo medzi nulou a jedna; to znamená číslo patriace do intervalu. Označuje sa P (A).

Ak P (A) = 1, pravdepodobnosť výskytu udalosti A je 100% a ak je nula, nie je pravdepodobnosť výskytu udalosti A. Vzorkový priestor je súbor všetkých možných výsledkov, ktoré možno získať vykonaním náhodného experimentu.

V závislosti od prípadu existujú najmenej štyri typy alebo koncepty pravdepodobnosti: klasická pravdepodobnosť, pravdepodobnosť častého výskytu, subjektívna pravdepodobnosť a axiomatická pravdepodobnosť. Každý z nich sa zameriava na rôzne prípady.

Klasická pravdepodobnosť zahŕňa prípad, keď priestor vzorky má konečný počet prvkov.

V tomto prípade bude pravdepodobnosťou výskytu udalosti A počet alternatív dostupných na dosiahnutie požadovaného výsledku (to znamená počet prvkov v sade A), vydelený počtom prvkov vo vzorkovacom priestore.

Tu je potrebné vziať do úvahy, že všetky prvky priestoru vzorky musia byť rovnako pravdepodobné (napríklad, keďže sa nezmení daná skutočnosť, v ktorej je pravdepodobnosť získania ktoréhokoľvek zo šiestich čísel rovnaká).

Aká je napríklad pravdepodobnosť, že kockovaním matrice bude párne číslo? V tomto prípade by množina A bola tvorená všetkými nepárnymi číslami medzi 1 a 6 a priestor vzorky by bol tvorený všetkými číslami od 1 do 6. Takže, A má 3 prvky a priestor vzorky má 6. Takže Preto P (A) = 3/6 = 1/2.

Čo je to zásada aditíva?

Ako už bolo uvedené, pravdepodobnosť meria, ako často sa vyskytne určitá udalosť. V rámci schopnosti určiť túto frekvenciu je dôležité vedieť, koľko spôsobov sa môže táto udalosť uskutočniť. Princíp aditíva nám umožňuje vykonať tento výpočet v konkrétnom prípade.

Princíp aditíva stanovuje toto: Ak A je udalosť, ktorá má „a“ spôsoby vykonávania, a B je ďalšia udalosť, ktorá má „b“ spôsoby vykonávania, a ak sa okrem toho môže vyskytnúť iba A alebo B, a nie oboje na v rovnakom čase, potom spôsoby, ktoré majú byť realizované A alebo B (A deB), sú a + b.

Všeobecne sa to uvádza pre spojenie obmedzeného počtu sád (väčších alebo rovných 2).

Príklady

Prvý príklad

Ak kníhkupectvo predáva knihy o literatúre, biológii, medicíne, architektúre a chémii, z ktorých má 15 rôznych typov kníh o literatúre, 25 o biológii, 12 o medicíne, 8 o architektúre a 10 o chémii, koľko možností má človek zvoliť knihu architektúry alebo knihu biológie?

Princíp aditíva nám hovorí, že počet možností alebo spôsobov, ako sa rozhodnúť, je 8 + 25 = 33.

Táto zásada sa môže uplatniť aj v prípade, že ide o jednu udalosť, ktorá má zase rôzne alternatívy.

Predpokladajme, že chcete vykonať určitú činnosť alebo udalosť A a že existuje niekoľko alternatív, napríklad n.

Na druhej strane má prvá alternatíva ₁ spôsob, druhá alternatíva má ₂ spôsoby, a tak alternatívne číslo n sa dá urobiť _n spôsobmi.

V aditívnom princípe sa uvádza, že udalosť A sa môže vykonávať ₁ až ₂ + … + _n spôsobmi.

Druhý príklad

Predpokladajme, že človek chce kúpiť pár topánok. Keď príde do obchodu s obuvou, nájde iba dva rôzne modely svojej veľkosti obuvi.

K dispozícii sú dve farby jednej a päť farieb druhej. Koľko spôsobov musí táto osoba vykonať? Podľa aditívneho princípu je odpoveď 2 + 5 = 7.

Aditívny princíp by sa mal používať, keď chcete vypočítať spôsob, ako vykonať jednu alebo druhú udalosť, nie obidve súčasne.

Na výpočet rôznych spôsobov, ako vykonať udalosť spoločne („a“) s iným - to znamená, že obe udalosti sa musia vyskytnúť súčasne - sa použije multiplikačný princíp.

Princíp aditíva sa môže interpretovať z hľadiska pravdepodobnosti takto: pravdepodobnosť výskytu udalosti A alebo udalosti B, ktorá je označená P (A∪B), s vedomím, že A nemôže nastať súčasne s B, je daná P (A = B) = P (A) + P (B).

Tretí príklad

Aká je pravdepodobnosť získania 5, keď sa hodí do formy alebo na hlavu, keď sa hodí minca?

Ako je uvedené vyššie, vo všeobecnosti je pravdepodobnosť získania akéhokoľvek čísla pri valcovaní formy 1/6.

Pravdepodobnosť získania 5 je tiež 1/6. Podobne je pravdepodobnosť, že sa pri hode mincou dostanú hlavy, 1/2. Odpoveď na predchádzajúcu otázku je preto P (A∪B) = 1/6 + 1/2 = 2/3.

Referencie

1. Bellhouse, DR (2011). Abraham De Moivre: Stanovenie etapy pre klasickú pravdepodobnosť a jej aplikácie. CRC Stlačte.
2. Cifuentes, JF (2002). Úvod do teórie pravdepodobnosti. Štátny príslušník Kolumbie.
3. Daston, L. (1995). Klasická pravdepodobnosť osvietenstva. Princeton University Press.
4. Hopkins, B. (2009). Zdroje pre výučbu diskrétnej matematiky: Projekty v triedach, historické moduly a články.
5. Johnsonbaugh, R. (2005). Diskrétna matematika. Pearson Education.
6. Larson, HJ (1978). Úvod do teórie pravdepodobnosti a štatistické odvodenie. Redakčná Limusa.
7. Lutfiyya, LA (2012). Riešenie konečných a diskrétnych matematických problémov. Redaktori Asociácie pre výskum a vzdelávanie.
8. Martel, PJ a Vegas, FJ (1996). Pravdepodobnosť a matematická štatistika: aplikácie v klinickej praxi a manažmente zdravia. Edície Díaz de Santos.
9. Padró, FC (2001). Diskrétna matematika. Politec. z Catalunya.
10. Steiner, E. (2005). Matematika pre aplikované vedy. Reverte.