KONVEXNÝ MNOHOUHOLNÍK: DEFINÍCIA, PRVKY, VLASTNOSTI, PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2026

Konvexný polygón je geometrický údaj obsiahnutý v rovine, ktorá sa vyznačuje tým, pretože má všetky uhlopriečky vnútri a jeho uhly meria menej ako 180 °. Medzi jeho vlastnosti patrí:

1) Pozostáva z n po sebe nasledujúcich segmentov, kde sa posledný zo segmentov spojí s prvým. 2) Žiadny zo segmentov sa nepretína takým spôsobom, aby ohraničil rovinu vo vnútornej a vonkajšej oblasti. 3) Každý uhol vo vnútornej oblasti je prísne menší ako rovinný uhol.

Obrázok 1. Polygóny 1, 2 a 6 sú konvexné. (Pripravil Ricardo Pérez).

Jednoduchý spôsob, ako zistiť, či je mnohouholník konvexný alebo nie, je zvážiť čiaru, ktorá prechádza jednou z jeho strán, ktorá určuje dve polovice rovín. Ak v každej línii, ktorá prechádza jednou stranou, sú ostatné strany mnohouholníka v tej istej polovičnej rovine, potom ide o konvexný mnohouholník.

Prvky mnohouholníka

Každý mnohouholník sa skladá z nasledujúcich prvkov:

- Strany

- Vrcholy

Strany sú každý z po sebe nasledujúcich segmentov, ktoré tvoria mnohouholník. V mnohouholníku nemôže mať žiadny zo segmentov, ktoré ho tvoria, otvorený koniec, v tomto prípade by existovala mnohouholníková čiara, ale nie mnohouholník.

Vrcholy sú styčné body dvoch po sebe idúcich segmentov. V mnohouholníku sa počet vrcholov vždy rovná počtu strán.

Ak sa dve strany alebo segmenty mnohouholníka pretínajú, máte krížený mnohouholník. Križovatka sa nepovažuje za vrchol. Krížový mnohouholník je nekonvexný mnohouholník. Hviezdové polygóny sú krížené polygóny, a preto nie sú konvexné.

Keď má mnohouholník všetky jeho strany rovnakú dĺžku, máme pravidelný mnohouholník. Všetky bežné polygóny sú konvexné.

Konvexné a nekonvexné polygóny

Obrázok 1 zobrazuje niekoľko polygónov, niektoré z nich sú konvexné a niektoré z nich nie sú. Poďme ich analyzovať:

Číslo 1 je trojstranný mnohouholník (trojuholník) a všetky vnútorné uhly sú menšie ako 180 °, preto je to konvexný mnohouholník. Všetky trojuholníky sú konvexné polygóny.

Číslo 2 je štvorstranný mnohouholník (štvoruholník), kde sa žiadna zo strán nepretína a každý vnútorný uhol je menší ako 180 °. Potom je to konvexný mnohouholník so štyrmi stranami (konvexný štvoruholník).

Na druhej strane číslo 3 je mnohouholník so štyrmi stranami, ale jeden z jeho vnútorných uhlov je väčší ako 180 °, takže nespĺňa podmienky konvexnosti. To znamená, že ide o nekonvexný štvorstranný mnohouholník nazývaný konkávny štvoruholník.

Číslo 4 je mnohouholník so štyrmi segmentmi (stranami), z ktorých dva sa pretínajú. Štyri vnútorné uhly sú menšie ako 180 °, ale pretože dve strany sa pretínajú, jedná sa o nekonvexný skrížený mnohouholník (prekrížený štvoruholník).

Ďalším prípadom je číslo 5. Toto je mnohouholník s piatimi stranami, ale keďže jeden z jeho vnútorných uhlov je väčší ako 180 °, máme konkávny mnohouholník.

Nakoniec číslo 6, ktoré má tiež päť strán, má všetky svoje vnútorné uhly menšie ako 180 °, takže je to konvexný mnohouholník s piatimi stranami (konvexný päťuholník).

Vlastnosti konvexného mnohouholníka

1 - Nekrížený mnohouholník alebo jednoduchý mnohouholník delí rovinu, ktorá ho obsahuje, na dve oblasti. Vnútorná oblasť a vonkajšia oblasť, pričom mnohouholník je hranicou medzi týmito dvoma oblasťami.

Ak je však mnohouholník dodatočne konvexný, potom máme vnútornú oblasť, ktorá je jednoducho spojená, čo znamená, že ak vezmeme akékoľvek dva body z vnútornej oblasti, môže sa vždy spojiť segment, ktorý úplne patrí do vnútornej oblasti.

Obrázok 2. Konvexný mnohouholník je jednoducho spojený, zatiaľ čo konkávny nie. (Pripravil Ricardo Pérez).

2 - Každý vnútorný uhol konvexného mnohouholníka je menší ako rovinný uhol (180 °).

3 - Všetky vnútorné body konvexného mnohouholníka vždy patria do jednej z polorovín definovaných čiarou, ktorá prechádza dvoma po sebe nasledujúcimi vrcholmi.

4 - V konvexnom mnohouholníku sú všetky uhlopriečky úplne obsiahnuté vo vnútornej polygonálnej oblasti.

5- Vnútorné body konvexného mnohouholníka patria výlučne do konvexného uhlového sektoru definovaného každým vnútorným uhlom.

6. Každý mnohouholník, v ktorom sú všetky jeho vrcholy po obvode, je konvexný mnohouholník, ktorý sa nazýva cyklický mnohouhol.

7- Každý cyklický mnohouholník je konvexný, ale nie každý konvexný mnohouholník je cyklický.

8- Akýkoľvek nekrižovaný mnohouholník (jednoduchý mnohouholník), ktorý má všetky svoje strany rovnakej dĺžky, je konvexný a je známy ako pravidelný mnohouholník.

Diagonály a uhly v konvexných polygónoch

9 - Celkový počet N uhlopriečok konvexného mnohouholníka s n stranami je daný nasledujúcim vzorcom:

N = ½ n (n - 3)

Dôkaz: V konvexnom mnohouholníku s n stranami každého vrcholu sa nakreslí n - 3 uhlopriečky, pretože samotný vrchol a dva susedné sú vylúčené. Pretože existuje n vrcholov, nakreslí sa celkom n (n - 2) uhlopriečok, ale každá uhlopriečka sa nakreslila dvakrát, takže počet uhlopriečok (bez opakovania) je n (n-2) / 2.

10- Súčet S vnútorných uhlov konvexného mnohouholníka s n stranami je daný nasledujúcim vzťahom:

S = (n - 2) 180 °

Príklady

Príklad 1

Cyklický šesťuholník je mnohouholník so šiestimi stranami a šiestimi vrcholmi, ale všetky vrcholy sú na rovnakom obvode. Každý cyklický mnohouholník je konvexný.

Cyklický šesťuholník.

Príklad 2

Určte hodnotu vnútorných uhlov pravidelného obvodu.

Riešenie: Enegon je 9-stranný mnohouholník, ale ak je tiež pravidelný, všetky jeho strany a uhly sú rovnaké.

Súčet všetkých vnútorných uhlov 9-stranného mnohouholníka je:

S = (9 - 2) 180 ° = 7 * 180 ° = 1260 °

Existuje však 9 vnútorných uhlov rovnakej miery α, takže musí byť splnená nasledujúca rovnosť:

S = 9 a = 1260 °

Z toho vyplýva, že miera α každého vnútorného uhla pravidelného bodu je:

a = 1260 ° / 9 = 140 °