HYPERBOLICKÝ PARABOLOID: DEFINÍCIA, VLASTNOSTI A PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2026

Hyperbolický paraboloid je plocha, ktorej všeobecné rovnice v karteziánskych súradniciach (x, y, z) spĺňa nasledujúce rovnice:

(x / a) ² - (y / b) ² - z = 0.

Názov „paraboloid“ vychádza zo skutočnosti, že premenná z závisí od druhých mocnín premenných xay. Zatiaľ čo prídavné meno „hyperbolický“ je spôsobené skutočnosťou, že pri stálych hodnotách z máme rovnicu hyperboly. Tvar tejto plochy je podobný tvaru sedla koňa.

Obrázok 1. Hyperbolic paraboloid z = x ² - y ² . Zdroj: F. Zapata pomocou Wolfram Mathematica.

Opis hyperbolického paraboloidu

Aby sa pochopila povaha hyperbolického paraboloidu, vykoná sa táto analýza:

1.- Vezmeme konkrétny prípad a = 1, b = 1, to znamená, že karteziánska rovnica paraboloidu zostáva ako z = x ² - y ² .

2.- Roviny sa považujú za rovnobežné s rovinou ZX, tj y = ctte.

3.- S y = ctte zostáva z = x ² - C, ktoré predstavujú paraboly s vetvami nahor a vrcholom pod rovinou XY.

Obrázok 2. Rodina kriviek z = x ² - C. Zdroj: F. Zapata pomocou geogebry.

4.- S x = ctte zostáva z = C - y ² , ktoré predstavujú paraboly s vetvami nadol a vrcholmi nad rovinou XY.

Obrázok 3. Rodina kriviek z = C - y ² . Zdroj: F. Zapata cez Geogebra.

5.- Pri z = ctte zostáva C = x ² - y ² , ktoré predstavujú hyperbolas v rovinách rovnobežných s rovinou XY. Ak C = 0, existujú dve priamky (pri + 45 ° a -45 ° vzhľadom na os X), ktoré sa pretínajú na začiatku v rovine XY.

Obrázok 4. Rodina kriviek x ² - y ² = C. Zdroj: F. Zapata pomocou Geogebry.

Vlastnosti hyperbolického paraboloidu

1. - Štyri rôzne body v trojrozmernom priestore definujú jeden a iba jeden hyperbolický paraboloid.

2. Hyperbolický paraboloid je povrchom s dvojnásobnou platnosťou. To znamená, že napriek tomu, že ide o zakrivenú plochu, prechádzajú cez každý bod hyperbolického paraboloidu, ktoré úplne patria k hyperbolickému paraboloidu, dve rôzne línie. Druhým povrchom, ktorý nie je rovinou a je dvojnásobne ovládaný, je hyperboloid revolúcie.

Je to práve druhá vlastnosť hyperbolického paraboloidu, ktorá umožňuje jeho široké využitie v architektúre, pretože povrch môže byť generovaný z lúčov alebo priamych reťazcov.

Druhá vlastnosť hyperbolického paraboloidu umožňuje jeho alternatívnu definíciu: je to povrch, ktorý môže byť vytvorený pohybujúcou sa priamkou rovnobežnou s pevnou rovinou a odreže dve pevné línie, ktoré slúžia ako vodítko. Nasledujúci obrázok objasňuje túto alternatívnu definíciu hyperbolického paraboloidu:

Obrázok 5. Hyperbolický paraboloid je povrch s dvojitou reguláciou. Zdroj: F. Zapata.

Pracovné príklady

- Príklad 1

Ukážte, že rovnica: z = xy, zodpovedá hyperbolickému paraboloidu.

Riešenie

Transformuje sa na premenné xay, ktoré zodpovedajú rotácii karteziánskych osí vzhľadom na os Z + 45 °. Staré súradnice xay sú transformované na nové súradnice x 'a y' podľa nasledujúcich vzťahov:

x = x '- y'

y = x '+ y'

zatiaľ čo súradnica z zostáva rovnaká, tj z = z '.

Nahradením v rovnici z = xy máme:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

Aplikovaním pozoruhodného súčinu rozdielu súčtom rovnajúcim sa rozdielu štvorcov máme:

z '= x' ² - y ' ²

čo jasne zodpovedá pôvodne danej definícii hyperbolického paraboloidu.

Zachytenie rovín rovnobežných s osou XY hyperbolickým paraboloidom z = xy určuje rovnostranné hyperboly, ktoré majú asymptoty rovín x = 0 a y = 0.

- Príklad 2

Stanovte parametre aab b hyperbolického paraboloidu, ktorý prechádza bodmi A (0, 0, 0); B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) a D (2, -1, 32/9).

Riešenie

Podľa svojich vlastností štyri body v trojrozmernom priestore určujú jediný hyperbolický paraboloid. Všeobecná rovnica je:

z = (x / a) ² - (y / b) ²

Uvedené hodnoty nahrádzame:

Pre bod A máme 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ² , rovnicu, ktorá je splnená bez ohľadu na hodnoty parametrov aab.

Nahradením bodu B získame:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

Zatiaľ čo pre bod C zostáva:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Nakoniec pre bod D získame:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Čo je rovnaké ako v predchádzajúcej rovnici. Nakoniec je potrebné systém rovníc vyriešiť:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Odčítaním druhej rovnice od prvej dáva:

27/9 = 3 / a ^2, čo znamená, že a ² = 1.

Podobným spôsobom sa druhá rovnica odpočíta od štvornásobku prvej a získa sa:

(32 - 20) / 9 = 4 / a ² - 4 / a ² -1 / b ² + 4 / b ²

Čo je zjednodušené ako:

12/9 = 3 / b ² ⇒ b ² = 9/4.

Stručne povedané, hyperbolický paraboloid, ktorý prechádza danými bodmi A, B, C a D, má karteziánsku rovnicu danú:

z = x ² - (4/9) y ²

- Príklad 3

Podľa vlastností hyperbolického paraboloidu prechádzajú cez každý bod dva riadky, ktoré sú v ňom úplne obsiahnuté. V prípade z = x ^ 2 - y ^ 2 nájdeme rovnicu dvoch čiar, ktoré prechádzajú bodom P (0, 1, -1), jednoznačne patriacim hyperbolickému paraboloidu, takže všetky body týchto čiar tiež patria do to isté.

Riešenie

Použitím pozoruhodného produktu rozdielu štvorcov možno rovnicu pre hyperbolický paraboloid napísať takto:

(x + y) (x - y) = cz (1 / c)

Kde c je nenulová konštanta.

Rovnica x + y = cz a rovnica x - y = 1 / c zodpovedajú dvom rovinám s normálnymi vektormi n = <1,1, -c> a m = <1, -1,0>. Vektorový produkt mxn = <- c, -c, -2> nám dáva smer priesečníka oboch rovín. Potom jedna z čiar, ktoré prechádzajú bodom P a patria do hyperbolického paraboloidu, má parametrickú rovnicu:

= <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

Na určenie c nahradíme bod P v rovnici x + y = cz, získame:

c = -1

Podobným spôsobom, ale s ohľadom na rovnice (x - y = kz) a (x + y = 1 / k) máme parametrickú rovnicu priamky:

= <0, 1, -1> + s s k = 1.

Stručne povedané, dva riadky:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> a = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

Sú úplne obsiahnuté v hyperbolickom paraboloide z = x ² - y ² prechádzajúcom bodom (0, 1, -1).

Na kontrolu predpokladajme t = 1, ktorý nám dáva bod (1,2, -3) na prvom riadku. Musíte skontrolovať, či je tiež na paraboloide z = x ² - y ² :

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

Čo potvrdzuje, že skutočne patrí na povrch hyperbolického paraboloidu.

Hyperbolický paraboloid v architektúre

Obrázok 6. Oceánografia vo Valencii (Španielsko) Zdroj: Wikimedia Commons.

Hyperbolický paraboloid používali v architektúre veľkí avantgardní architekti, medzi ktorými vynikajú mená španielskeho architekta Antoniho Gaudího (1852-1926) a predovšetkým španielskeho Félixa Candelu (1910 - 1997).

Nižšie sú uvedené niektoré diela založené na hyperbolickom paraboloide:

- Chapel mesta Cuernavaca (Mexiko) dielo architekta Félixa Candelu.

- oceánografický obraz vo Valencii (Španielsko), tiež Félix Candela.

Referencie

1. Encyklopédia matematiky. Vyrovnaný povrch. Obnovené z: encyclopediaofmath.org
2. Llera Rubén. Hyperbolický paraboloid. Obnovené z: rubenllera.wordpress.com
3. Weisstein, Eric W. "Hyperbolický paraboloid." Z MathWorld - webový zdroj Wolfram. Obnovené z: mathworld.wolfram.com
4. Wikipedia. Paraboloid. Obnovené z: en.wikipedia.com
5. Wikipedia. Paraboloid. Obnovené z: es.wikipedia.com
6. Wikipedia. Spevnená plocha. Obnovené z: en.wikipedia.com